深入本質 一通百通

江美紅

?

深入本質 一通百通

江美紅

整式的乘法是一種重要的代數恒等變換，它是今后學習分式運算、解一元二次方程等內容的基礎，是中考必不可少的一部分內容.面對這部分內容，許多同學的反應往往是：“老師講的聽不懂，煩，愁.”“每次我都很認真地聽，可總似懂非懂，考試總考不好，我頭痛.”要改變現狀，我們需要打好基礎，尋找規律，舉一反三、一通百通.

一、問題解答

例1計算：（x+2y-1）（x-2y+1）.

【解析1】

【點評】利用多項式乘多項式的法則解題，三項式乘三項式，展開得九項式，再合并同類項.

【解析2】

【點評】利用整體思想，轉化為二項式乘二項式，展開得四項式，再利用平方差公式展開，最后合并同類項.

【解析3】

【點評】利用整體思想構造平方差公式，再利用完全平方公式展開.

二、尋找規律

此題還有更多的解法.那么為什么有這么多的解法呢？這些解法是怎么想出來的？這其中有什么秘密嗎？

這其中蘊含了很多的規律.

1.知識規律

這中間包含了多項式與多項式的乘法、平方差公式和完全平方公式，它們之間的聯系如圖所示.正是因為有了這些關系，才會使題目有多種解法.

2.解題規律

（1）選用多項式與多項式的乘法計算與選用平方差公式和完全平方公式計算都能解決問題，這是因為這三個公式是“一伙”的.

（2）題中若有“形”，則選定一種公式直接解題.比如出現（a+b）（a-b）形，則選用平方差公式；若出現（a+b）2與（a-b）2形，則選用完全平方公式.

（3）題中若無“形”，選定一種方法，造出它的“形”，比如解析3運用平方差公式，那就要把2y-1看作整體，造出平方差公式的“形”，即［x+（2y-1）］［x-（2y-1）］，再用平方差公式解題.而在解析2中要用平方差公式，就把x+2y與x-2y看作整體，造出（x+2y）·（x-2y），再利用平方差公式解題.

值得一提的是，雖然各種方法都能到達成功的彼岸，但還是要在平時的練習中積累經驗，選擇最佳方法解題.

三、一通百通

例2計算：（x+2y）（x-2y）（x2+4y2）.

【分析】題中有平方差公式的“形”，直接利用公式計算.

例3計算：（2x+3y）2（2x-3y）2.

【分析】題中雖無“形”，但有“隱形”，逆用積的乘方，造出平方差公式的“形”，再利用完全平方公式計算.

例4計算：（m-n-3）2.

【分析】題中雖無“形”，但也有“隱形”，可把m-n看作整體，造出完全平方公式的“形”.

例5計算：20152-2014×2016.

【分析】題中無“形”，也無“隱形”，利用數字之間的關系造出公式的“形”.

例6已知a2-b2=6，a-b=-3，求a+b的值.

【分析】題中有平方差公式的“形”，直接利用公式計算.

例7已知a-b=3，ab=2，求a2+b2的值.

【分析】題中雖無“形”，但也有“隱形”，即（a-b）2=a2-2ab+b2，直接利用公式計算.

在初中數學的每一章、每一節中都有知識規律與解題規律，掌握了規律，就能把難題變簡單；解題找規律，就能一看就會、一通百通，你將會變得更有智慧，學習數學更輕松.

（作者單位：江蘇省太倉市實驗中學）