小學問 大用途

薛秋萍

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小學問 大用途

薛秋萍

因式分解是把一個多項式寫成幾個整式乘積的形式，如果從運算角度上考慮，也就是把一個和在保持大小不變的條件下，寫成一個乘積的形式.在解決問題時，如能靈活巧妙地利用因式分解，往往能起到化繁為簡，方便快捷的效果.

例1 電學公式：U=IR1+IR2+IR3，當R1= 12.9Ω，R2=18.5Ω，R3=18.6Ω，I=2 A時，求U的值.

【分析】直接代入數值，

如果直接計算，太麻煩，不妨提取公因式.

例2某市為適應經濟的快速發展，現需要將一條長3 300 m的道路重新拓寬，預計3個月完成，已知第一個月完成34％，第二月完成36％，問這兩個月共完成多少米的拓寬任務？

【分析】總共有3 300 m的道路，第一個月完成了34％，即完成了3 300×34％；第二月完成了36％，即完成了3300×36％.

兩個月共完成了3 300×34％+3300× 36％，如果直接運算的話，顯然麻煩些，如果對3 300×34％+3 300×36％提取公因式，就簡單多了.

所以這兩個月共完成2310m拓寬任務.

【點評】某些實際問題，如果列出的代數式中含有公因式，而且提取公因式后，另一因式能夠湊整，用提取公因式計算較簡單.

例3學校在一塊邊長為13.2 m的正方形場地，準備在四個角落各建一個邊長為3.4 m的正方形噴水池，剩余的部分修成綠地，若購買130 m2的草坪，夠不夠鋪綠地？

【分析】原有的面積為13.22，四個正方形水池的面積為4×3.42，剩余部分的面積為13.22-4×3.42，如果先乘方，再減法，運算量較大，如果按照平方差公式分解因式，較簡單.

解：依題意得

因為130＞128，

所以購買130 m2的草坪，夠鋪綠地.

例4一種圓筒狀包裝的保鮮膜，如圖1所示，其規格為“20cm×60 m”，經測量這筒保鮮膜的內徑φ1、外徑φ的長分別為3.6cm、4.4cm，則該種保鮮膜的厚度約為_______cm（結果保留π）.

圖1

【分析】圓筒狀包裝的保鮮膜展開與未展開體積是相同的.

設厚度為xcm，展開時體積為x×20× 6 000（cm3），

解：設厚度為xcm，依題意得：

【點評】如果由實際問題得到的代數式，滿足平方差公式的結構特點，而且分解后，兩個數的和或兩個數的差運算較簡單，通常應用平方差公式.

例5某公園有一塊長為51.2 m的正方形綠地，為了便于游人通行，決定修兩條互相垂直的小路，如圖2小路寬1.2 m，問剩余綠地的面積是多少？

圖2

【分析】用整塊綠地的面積減去小路的面積就是剩余綠地的面積.

所以剩余綠地的面積為2 500 m2.

例6如圖3，開發商要在原來小區（正方形）的基礎上進行征地擴建，且使擴建后的小區平面仍舊是正方形.如果土地的成本價是1 500元/m2，開發商在整個小區的土地成本投資應是多少萬元？

圖3

【分析】根據題意可知，土地的總面積=原居民區面積+新建住房區面積，可發現整個式子是一個完全平方式，可利用因式分解簡化計算過程.

所以土地的投資成本為：

答：土地成本投資應是1 500萬元.

【點評】由實際問題列出的代數式滿足完全平方公式的結構特點，且寫成兩個數的和或兩個數的差的平方又容易計算，通常應用完全平方公式.

例7在日常生活中如取款、上網等都需要密碼.有一種用“因式分解”法產生的密碼，方便記憶.原理是：如對于多項式x4-y4，因式分解的結果是（x-y）（x+y）（x2+y2），若取x=9，y=9時，則各個因式的值是：（x-y）=0，（x+y）=18，（x2+y2）=162，于是就可以把“018162”作為一個六位數的密碼.對于多項式4x3-xy2，取x=10，y=10時，用上述方法產生的密碼是：_______（寫出一個即可）.

【分析】按照原理，需把4x3-xy2分解因式，再代入求值，就可以產生密碼.

當x=10，y=10時，各因式的值是：

又因為這六個數字不考慮順序，所以產生的密碼為103010；101030；301010.

【點評】在進行因式分解時，首先提取公因式，然后再考慮用公式，注意每一個因式要分解徹底.

（作者單位：江蘇省太倉市第二中學）