以小見大
——統計圖表中的數學思想

沈良琴

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以小見大
——統計圖表中的數學思想

沈良琴

數學思想是數學知識的提煉與升華，是分析問題、解決問題的好幫手.在本章的學習中，我們不僅要學習統計的相關概念，還要體會其中的數學思想.下面舉例剖析.

一、用樣本估計總體的思想

例1（2015·海南中考）為了治理大氣污染，我國中部某市抽取了該市2014年中120天的空氣質量指數，繪制了如下不完整的統計圖表：

空氣質量指數統計表

圖1-1　空氣質量指數條形統計圖

請根據圖表中提供的信息，解答下面的問題：

（1）空氣質量指數統計表中的a=______，m=______；

（2）請把空氣質量指數條形統計圖補充完整；

（3）若繪制“空氣質量指數扇形統計圖”，級別為“優”所對應扇形的圓心角是_______度；

（4）估計該市2014年（365天）中空氣質量指數大于100的天數約有_______天.

【思路剖析】本題主要考查了頻數分布表、頻數分布直方圖和扇形統計圖的有關概念，以及用樣本估計總體的統計思想，解題的關鍵是正確從頻數分布統計表和直方圖中獲取有用信息.

（1）頻率=頻數÷數據總數；

（2）根據a的值補充完整統計圖；

（3）扇形的圓心角=該部分所占百分比×360°；

（4）圖上天數之和120天，利用樣本估計總體的方法，用365ד空氣質量指數大于100的天數”頻率（或所占百分比）即可.

解：（1）a=120×40%=48，

m=24÷120×100%=20%；

（2）補充完整統計圖（圖1-2）如下：

圖1-2　空氣質量指數條形統計圖

（3）360°×20%=72°；

（4）365×（15%+12.5%+7.5%+5%）= 146（天）.

易錯點：此類問題容易出錯的地方是：

”認識不清或掌握不夠，不會運用公式或出現變形錯誤.

圖2　

例2（2015·北京中考）北京市2009～2014年軌道交通日均客運量統計如圖2所示.根據統計圖中提供的信息，預估2015年北京市軌道交通日均客運量約_______萬人次，你的預估理由是_________.

【思路剖析】本題主要考查了折線統計圖，值得一提的是本題還考查了用樣本中的數據估算未來一段時間內事物發展變化的趨勢.解題的關鍵是能根據北京市2009～2014年軌道交通日均客運量的變化情況大致預估出未來一年內軌道交通日均客運量.

思路1：根據北京市2009～2014年軌道交通日均客運量計算出客運量平均增長人數，再將2014年日均客運量加上客運量平均增長人數即可預估2015年日均客運量；

思路2：按照2013～2014年的增長情況直接進行估算；

思路3：按照2012～2013年的增長情況直接進行估算.

因此，答案是不唯一的，結果在980至1140之間即可，參考答案如下：

方法1：2009～2014年客運量平均增長人數為（930-390）÷5=108（萬人次），

∴預估2015年北京市軌道交通日均客運量約930+108=1038（萬人次），故答案為1038.

方法2：2013～2014年客運量增長人數為930-880=50（萬人次），

∴預估2015年北京市軌道交通日均客運量約930+50=980（萬人次），故答案為980.

方法3：2012～2013年客運量增長人數為880-670=210（萬人次），

∴2014～2015年的增長客運量可能為210萬人次，

∴預估2015年北京市軌道交通日均客運量約930+210=1140（萬人次），故答案為1140.

【點評】折線統計圖不但可以表示出數量的多少，還能清楚地表示出數量增減變化的情況，并對未來一段時間內事物的發展情況進行預估和推斷.

二、數形結合的思想

例3（2015·湖北恩施州中考）某中學開展“陽光體育一小時”活動，根據學校實際情況，決定開設“A.踢毽子；B.籃球；C.跳繩；D.乒乓球”四項運動項目（每位學生必須選擇一項）.為了解學生最喜歡哪一項運動項目，隨機抽取了一部分學生進行調查，并將調查結果繪制成如圖3所示的統計圖，則參加調查的學生中最喜歡跳繩運動項目的學生數為（）.

A.240B.120

C.80D.40

圖3　

【思路剖析】本題考查條形圖和扇形統計圖，解題的關鍵是從統計圖中獲取相關數據的信息.根據學生最喜歡A.踢毽子項目的人數是80人，而相應人數所占的百分比是40%，即可求得總人數為80÷40%=200（人），然后把總人數減去喜歡A、B、D項目的學生數，得：200-80-30-50=40，因此最喜歡跳繩運動項目的學生數為40人.故選D.

易錯點：此類問題容易出錯的地方是讀錯條形圖與扇形圖之間的關系.

例4（2015·浙江省杭州中考）杭州市推行垃圾分類已經多年，但在廚余垃圾中除了廚余類垃圾還混雜著非廚余類垃圾.如圖4是杭州市某一天收到的廚余類垃圾的統計圖.

（1）試求出m的值；

（2）杭州市那天收到廚余垃圾共約200噸，請計算其中混雜著的玻璃類垃圾的噸數.

圖4　

【思路剖析】本題考查了扇形統計圖的識別與計算，解題的關鍵是從統計圖中獲取解題所需要的信息.

（1）利用各部分百分比之和等于1求得m，（2）利用總量乘百分比得部分噸數解答.

解：（1）m=100-（22.39+0.9+7.55+0.15）=69.01；

（2）其中混雜著的玻璃類垃圾的噸數約為200×0.9%=1.8（噸）.

規律總結：在扇形統計圖中，以整個圓面積代表統計項目的總體，每一統計項目分別用圓中不同的扇形面積表示，扇形面積占圓面積的百分之幾就代表該統計項目占總體的百分之幾.扇形各部分的百分比之和等于1.

（作者單位：江蘇省常州市北環中學）