初中概率問題求解的基本方法

劉佳

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初中概率問題求解的基本方法

劉佳

概率問題的背景材料各種各樣，與我們的生活越來越貼近，我們在解決概率問題時，需要根據題目的特點選擇合適的方法.在初中階段，我們主要接觸到三類概率問題：第一種是利用頻率估計概率；第二種是可以列舉出所有實驗結果的，我們用列舉法；第三種是實驗結果無限，不能使用列舉法的，我們采用幾何法解決.

一、估算法

例1歷史上曾有人做過拋擲硬幣的大量重復實驗，結果如下表所示：

則估計拋擲一枚硬幣正面朝上的概率為________.

人們在長期的實踐中發現，在隨機試驗中，由于眾多偶然因素的影響，每次測得的結果雖不盡相同，但大量的重復試驗結果卻能反映客觀規律，這稱為大數法則.因此我們可以通過多次試驗，用一個事件發生的頻率來估計這個事件發生的概率.

二、公式法

公式法主要解決一步試驗發生的概率.

一般地，對于一個事件，所有可能出現的結果數共n種，其中滿足某個條件的事件A出現的結果數是m種，那么事件A發生的概率為：

例2在一個不透明的袋中裝有2個黃球，3個黑球和5個紅球，它們除顏色外其他都相同.

（1）將袋中的球搖均勻后，求從袋中隨機摸出一個球是黃球的概率；

解：（1）∵共10個球，有2個黃球，

故后來放入袋中的紅球有5個.

三、列表法和畫樹狀圖法

列表法和畫樹狀圖法主要用于兩步試驗發生的概率，它是將所有事件的可能結果畫出來，再根據所有的結果求事件發生的概率.

例3為弘揚“東亞文化”，某單位開展了“東亞文化之都”演講比賽，在安排1位女選手和3位男選手的出場順序時，采

（2）設有x個紅球，根據題意得：用隨機抽簽方式.

請你用畫樹狀圖或列表的方法表示第一、二位出場選手的所有等可能結果，并求出他們都是男選手的概率.

解：列表得：

所有等可能的情況有12種，其中第一、二位出場都是男選手的情況有6種，即：

例4在一個口袋中有4個完全相同的小球，把它們分別標上1、2、3、4.小明先隨機摸出一個小球，小強再隨機摸出一個小球.記小明摸出的球標號為x，小強摸出的球標號為y.小明和小強在此基礎上共同協商一個游戲規則：當x＞y時小明獲勝，否則小強獲勝.

（1）若小明摸出的球不放回，求小明獲勝的概率.

【分析】首先根據題意畫出樹狀圖，由樹狀圖求得所有等可能的結果與小明獲勝的情況，繼而利用概率公式即可求得答案，注意此題屬于不放回實驗；

解：畫樹狀圖得：

∵共有12種等可能的結果，小明獲勝的有（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3）共6種情況，

（2）若小明摸出的球放回后小強再隨機摸球，問他們制定的游戲規則公平嗎？請說明理由.

【分析】首先根據題意畫出樹狀圖，由樹狀圖求得所有等可能的結果與小明、小強獲勝的情況，繼而利用概率公式求得其概率，比較概率，則可得到他們制定的游戲規則是否公平，注意此題屬于放回實驗.

解：畫樹狀圖得：

∵共有16種等可能的結果，小明獲勝的有（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3）共6種情況，

∵P（小明獲勝）≠P（小強獲勝），

∴他們制定的游戲規則不公平.

四、幾何法

有一類隨機試驗的結果是無限的，其概率的計算方法：設試驗結果落在某個區域S中的每一點的機會均等，用A表示事件“試驗結果落在S中的一個小區域M中”，那

例5有一塊邊長為30 cm的正方形飛鏢游戲板ABCD，假設飛鏢投在游戲板上的每一點的機會均等.求下列事件發生的概率：

（1）在飛鏢游戲板上畫有半徑為5 cm的一個圓（如圖1），求飛鏢落在圓內的概率；

（2）飛鏢在游戲板上的落點記為點O，求△OAB為鈍角三角形的概率.

圖1　

備用圖

【分析】（1）分別計算半徑為5cm的圓的面積和邊長為30 cm的正方形ABCD的面積，即可求出飛鏢落在圓內的概率；

（2）根據題意及結合圖形可得：當點O落在以AB為直徑的半圓內時，△OAB為鈍角三角形.計算以AB為直徑的半圓的面積，用半圓的面積除以正方形的面積即可求△OAB為鈍角三角形的概率.

解：（1）圓的面積為π·52=25π（cm2），

正方形的面積為302=900（cm2），

（2）如圖2可得：當點O落在以AB為直徑的半圓內時，△OAB為鈍角三角形.

圖2　

如果每個事件發生的概率只與構成該事件區域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱為幾何概型.幾何概型的具體內容到高中才學習，但中考中常作為材料閱讀題，考查同學們對材料的理解和運用能力，這一類幾何概率問題也是可以解決的.因此，幾何法也可作為初中求解概率問題的一種方法.

（作者單位：江蘇省常州外國語學校）