巧用面積法解決問題

劉國成

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巧用面積法解決問題

劉國成

面積法解決幾何問題是一種常用的重要方法，巧用面積法解題有時顯得特別簡捷，有出奇制勝、事半功倍之效.現就幾種類型舉例說明，供同學們參考.

一、巧用面積法求線段長

圖1

例1 如圖1，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC=6，BC=8.現將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，則CD的長為（）.

A.4B.3C.2D.1

【分析】由折疊的性質和勾股定理列式求出AB，從而求出BE，設CD=DE=x，表示出BD，然后在Rt△DEB中，利用勾股定理列式計算即可得解.但我們發現用面積法來求CD較為簡便.

解：∵直角邊AC沿直線AD折疊，與AE重合，

∴CD=DE.

由S△ABC=S△ACD+S△ABD，

解得CD=3.故選B.

【點評】本題考查了翻折變換的性質，由角平分線性質得CD=DE，再利用勾股定理的應用，求出斜邊AB，然后由AD把Rt△ABC分成△ACD和△ADB，利用面積法建立方程求出CD=3.

二、巧用面積法證明線段相等

例2 如圖2，已知△ABC≌△A′B′C′，AD、A′D′分別是BC、B′C′邊上的高，AD和A′D′相等嗎？請說明理由.

圖2

【分析】同學們常常用證全等的方法來說明兩條線段相等.我們也可根據三角形的高，聯想到用三角形的面積來說明線段相等.

解：AD=A′D′.理由如下：

∵△ABC≌△A′B′C′，

∴S△ABC=S△A′B′C′，CB=C′B′，

∵AD、A′D′分別是BC、B′C′邊上的高，

∴AD=A′D′.

【點評】這種方法簡潔明了.如果出現了高，要聯想三角形的面積，有時會出現事半功倍的效果.

三、巧用面積法證明線段比相等

圖3

例3如圖3，AD是△ABC的角平分線.求證：AB∶AC=BD∶DC.

【分析】本題我們可采用過C作AD的平行線，用平行線分線段成比例來證明，但由于AD是△ABC的角平分線，我們想到AD上的點到角兩邊距離相等，再想到三角形的面積，思路更為簡潔.

證明：過D點作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F.

∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE=DF，則有S△ABD∶S△ACD=AB∶AC.

過A點作AH⊥BC，垂足為H，

則有S△ABD∶S△ACD=BD∶DC.

∴AB∶AC=BD∶DC.

【點評】本題要證明線段的比相等，正常的思路是用相似來解決問題，但我們用面積法來證明則更加簡單明了.

四、巧用面積法證明線段和差

例4（2014·鹽城，有刪減）【問題情境】張老師給愛好學習的小軍和小俊提出這樣一個問題：如圖4，在△ABC中，AB=AC，點P為邊BC上的任一點，過點P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別為D、E，過點C作CF⊥AB，垂足為F.求證：PD+PE=CF.

圖4

圖5

小軍的證明思路是：如圖5，連接AP，由△ABP與△ACP面積之和等于△ABC的面積可以證得：PD+PE=CF.

小俊的證明思路是：如圖5，過點P作PG⊥CF，垂足為G，可以證得：PD=GF，PE= CG，則PD+PE=CF.

請完成小軍和小俊的證明過程.

【變式探究】如圖6，當點P在BC延長線上時，其余條件不變，求證：PD-PE=CF.

圖6

【分析】【問題情境】如圖5，按照小軍、小俊的證明思路即可解決問題.

【變式探究】如圖6，借鑒小軍、小俊的證明思路即可解決問題.但細細閱讀可知小軍的解答思路簡潔，用面積法出奇制勝，節約時間.

證明：【問題情境】（小軍）連接AP，如圖5，

∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，

且S△ABC=S△ABP+S△ACP，

∵AB=AC，∴CF=PD+PE.

（小俊）過點P作PG⊥CF，垂足為G，如圖5.

先證明：△PGC≌△CEP（AAS），

∴CG=PE，

∴CF=CG+FG=PE+PD.

【變式探究】

（小軍）連接AP，如圖6.

∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，

且S△ABC=S△ABP-S△ACP，

∵AB=AC，∴CF=PD-PE.

（小俊）過點C作CG⊥DP，垂足為G，如圖6.

易證：△CGP≌△CEP（AAS），

∴PG=PE，

∴CF=DG=DP-PG=DP-PE.

【點評】本題考查了矩形的性質與判定、等腰三角形的性質與判定、全等三角形的性質與判定.考查了用面積法證明幾何問題，考查了運用已有的經驗解決問題的能力.在解題中，如遇有多條垂線就可聯想到用三角形的面積，巧妙地將三角形的面積分解成幾個三角形面積的和或差解題較為簡便.

面積法不僅可以巧妙地求出線段的長、證明線段相等、證明線段比相等、求線段和差，而且可以從一點到一個角的兩邊的距離相等，證明這個點在角平分線上，希望同學們加以體會，細心研究，靈活應用面積法解題.

（作者單位：江蘇省鹽城市明達中學）