凸分析觀點下的庫侖摩擦定律

富立 孫舒 巴穎（華北理工大學理學院，河北唐山 063000）

凸分析觀點下的庫侖摩擦定律

富立 孫舒 巴穎
（華北理工大學理學院，河北唐山 063000）

以凸分析理論為工具，從非光滑分析的角度分析經典的庫侖摩擦定律。站在更高的數學理論基礎上，重新審視我們熟知的庫侖摩擦定律，會有許多新的理解與發現。采用凸分析理論工具重新認識經典的庫侖摩擦定律。首先介紹凸分析理論的若干基本概念。然后從兩方面對庫侖摩擦定律進行分析。一方面是摩擦力與速度勢能的廣義微分關系；另一方面速度與共軛勢能的廣義微分關系。最后給出速度在摩擦力凸集的法錐上以及庫侖摩擦力與相對滑動方向不一定相反的結論。

庫侖摩擦 凸分析 集值函數 速度勢能 共軛勢能

1 凸分析若干基本概念

1.1 集值函數

集（合）值函數是函數概念的擴展。集值函數是定義域與值域之間的多值映射，它將定義域中的點映射為值域中的集合。以集值符號函數 Sgn（）x為例：

由定義可見，集值符號函數 Sgn（·）是對普通符號函數 Sgn（·）的擴展。普通符號函數 Sgn（·）在 x = 0處的函數值定義為0；而集值符號函數 Sgn（·）在 x = 0處的函數值定義為集合［-1，+1］，在 x = 0處，函數 Sgn（·）的圖形是一條垂直線段，如圖1（a）所示。

在凸分析理論中，函數在非光滑處的廣義導數（又稱次微分）定義為左、右導數之間的取值集合，如絕對值函數在 x = 0處的廣義導數為［-1，+1］。因此，絕對值函數（圖1（b））與集值函數 Sgn（x）（圖1 （a））是原函數與導函數的關系，絕對值函數的次微分是集值函數Sgn（x），如圖1所示。即：

1.2 凸集的示性函數

凸分析理論中，集合C的示性函數（indicator function）定義為，

根據凸分析理論，如果集合C是凸集，則其示性函數一定是凸函數，并且示性函數的次微分恰是凸集的法錐［1］ NC，即：

公式（4）對凸集建立了分析與拓撲兩個方面之間的聯系，在本文的分析中起至關重要的作用。

2 凸分析觀點下的庫侖摩擦定律

2.1 經典的摩擦定律

1791 年，法國科學家庫侖提出了著名的庫侖摩擦定律。

其中， FT表示接觸面切向庫侖摩擦力， FN表示接觸面的法向反力， μ為摩擦系數， v表示接觸面切向滑動速度。

以下借助凸分析理論工具，采用圖文結合的方式，以圖2中的四個集合值函數為主線對庫侖摩擦定律進行剖析。如圖2所示。

2.2 摩擦力與速度勢能

在凸分析觀點下，圖2中的右側兩個函數，即圖2（d）中的摩擦力函數 FT（ v）和圖2（b）中的速度勢能函數 π（ v）是導函數與原函數的關系。如圖2所示。

圖2（d）表示摩擦力 FT是速度 v的集合值函數 Sgn（·）。借助集值函數 Sgn（·），摩擦力 FT可表示為，

根據式（2），庫侖摩擦定律可以表示為絕對值函數的次微分形式：

定義： π（ v） = μFN|v |，則式（7）可寫為，

摩擦力- FT（v）是速度勢能 π（ v）的次微分，與經典力學中廣義力是勢能的負梯度相對應。速度勢能是勢能概念的進一步推廣。

2.3 運動速度與共軛勢能

根據次微分定義，由圖2不難發現，圖2（c）中的速度函數 v（-FT）和圖2（a）中的示性函數ψC（- FT）也是導函數和原函數的關系，即T

另外，從圖2橫向看，圖2（c）中的速度函數 v是摩擦力 FT的集合值函數，與圖2（d）中的摩擦力函數 FT是函數與反函數的關系。因此，圖2（b）中的函數 π（ ·）和圖2（a）中的函數ψCT（- FT）分別是摩擦力- FT（ v）及其反函數 v（- FT）的原函數，這種關系在凸分析理論中被稱為共軛關系［2］，故函數 π*（·）= ψC T（- FT）為摩擦力的共扼勢能函數。

由圖2（a），共軛勢能函數 π*（·）是定義在摩擦力凸集 CT上的，

共軛勢能函數π*（·）就是摩擦力凸集 CT的示性函數ψC（- FT）。根據式（4），示性函數ψC（- FT）的次微分就是摩擦力凸集 CT的法錐。由此得出結論：速度在摩擦力凸集的法錐上。如圖2所示。

3 庫侖摩擦力與運動方向相反嗎

考慮二維摩擦情形，如圖3所示。對于各向同性（沿各方向的摩擦系數相同）的理想情況，摩擦力集合是一個圓，如圖3（a）。由凸分析中法錐的定義，圓內的點，法錐為零，表示當摩擦力小于最大摩擦力時，速度為0。圓外的點法錐不存在，說明摩擦力不能大于臨界值。圓邊界上的點，法錐就是圓的外法線。速度在摩擦力凸集的法錐上，因此速度方向與摩擦力方向相反。

實際問題中沒有絕對的各向同性摩擦。圖3（b）中的摩擦力集合是橢圓，顯然為各向異性的情況。由法錐的定義，橢圓內的點，法錐為零，表示速度為0。橢圓外的點法錐不存在，說明摩擦力不能超越臨界值。橢圓邊界上的點，法錐就是橢圓的外法線。速度在摩擦力凸集的法錐上，表示速度方向沿著橢圓的法線方向。在一般情況下，橢圓的法線與半徑不在一條一直線上，即速度方向與摩擦力的方向不在一條直線上，它們之間的夾角不等于 π，因此摩擦力并不與運動方向完全反向。

雖然摩擦力不與速度方向完全反向，但它在速度方向上的投影依然與速度方向相反，即在物體相對滑動過程中摩擦力總是做負功的。在這個意義上，摩擦力還是和運動方向相反的，只不過這個反向的概念是對以前嚴格反向概念的進一步擴展。

進一步地，對給定的相對滑動速度 v，其對應的摩擦力 FT使內積-FT·v 達到最大值，參見圖3（b）。由圖3（b），滑動速度矢量 v在摩擦力凸集C的邊界上確定了唯一的切平面， n是該切平面的單位法向量。在摩擦力凸集C的范圍內，真實的摩擦力 FT使得-FT在法向上 n的投影達到最大值，即使得耗散功率-FTv達到最大值。這一規律稱為最大耗散原理［1，2］，它是庫侖摩擦定律的另一種表述。如圖3所示。

4 結語

以凸分析理論為工具重新認識經典的庫侖摩擦定律。新的數學理論工具使得原有的概念和理論得到擴展，如函數的概念擴充為集合值函數，導數的概念擴充為廣義導數或次微分，勢能的概念擴展為速度勢能及共扼勢能等等。由共軛勢能與速度的微分關系，滑動速度必在摩擦力凸集的法錐上，由此有以下結論，對各向同性摩擦，摩擦力與滑動速度反向；對各向異性摩擦，摩擦力與滑動速度不再嚴格反向。但庫侖摩擦力依然做負功，符合最大耗散原理。

［1］伯特塞卡斯.凸分析與優化［J］.清華大學出版社，2006.

［2］科拉克.非光滑分析和控制論［J］.世界圖書出版公司，2009.

In theory， convex analysis tools， from the perspective of a non-smooth analysis， analysis of classical Coulomb friction law.Standing on a higher mathematical theory， to re-examine our well-known Coulomb friction law， there will be many new understanding and discovery.Convex analysis using theoretical tools rediscover classical Coulomb friction law.First introduced some basic concepts of the theory of convex analysis.Then two aspects Coulomb friction law analysis.On the one hand is the relationship between generalized differential friction and speed potential energy； the other hand， the speed of the conjugated generalized differential relations potential energy.Finally， the speed of the cone friction law convex sets and Coulomb friction relative sliding direction is not necessarily the opposite conclusion.

Coulomb friction； convex analysis； set-valued function； speed potential； conjugate potential

富立（1965—），男，北京人，博士，副教授，研究方向：多體系統動力學、非線性動力學。