基于影長的數學建模分析及其在地理定位方面的應用～以2015年全國大學生數學建模競賽的數據為依托

■李昂

（吉林大學地球科學學院吉林長春130021）

基于影長的數學建模分析及其在地理定位方面的應用～以2015年全國大學生數學建模競賽的數據為依托

■李昂

（吉林大學地球科學學院吉林長春130021）

在地質工作乃至其他各行各業，定位技術都有著廣泛的應用?，F有的定位方式以衛星定位為主要技術手段，通過GPS接收裝置接收位置信息，完成所在經緯度和其他位置信息的采取。本文則在衛星定位之外，以天體運行的軌道內在規律為理論基礎，借助太陽光照射角度及其產生的影子長度，通過枚舉法，最小方差模型，以及二次擬合等方法對于數據進行數學處理，最終得出定位模型。

太陽高度 角影長 最小方差 枚舉 經緯度

1　基于已知時間地點的基礎上進行影長的預測

在建立地理定位模型之前，本文首先做了一個逆推的模型，即在地點和時間已知的情況下計算影長，為后續研究做理論基礎。

通過前人的研究，我們已知太陽照射地面所形成的角度，即太陽高度角符合一個基本的數學關系。

太陽高度角模型

其中a為緯度，c為赤緯，w為太陽時角。

1.1對于上述公式的分析和計算

（1）赤緯δ計算方法：

sinδ=0.39795cos[0.98563(N～173)]式中N為日數，自每年1月1日開始計算。

（2）真太陽時：是以真太陽視圓面中心的時角來計量的，它的起算點是真太陽上中天。由于在中國境內普遍使用的時間是北京時間，即東經120度位置處的真太陽時。由于地球自轉一圈時間為24 h,自轉角度為360度，我們可以得出地球每小時的自轉角度為15度。由此，我們可以計算出經度為b的地區的真太陽時。

根據太陽時角（ω）計算公式

可以得出太陽時角ω的值。

根據以上數值，我們可以較容易的計算出太陽高度角h

1.2考慮大氣折射影響，對太陽高度角進行修正

參考斯涅爾定律，得修正后的太陽高度角

為了印證上述模型，進行模型演繹，即預測2015年10月22日北京時間9:00～15:00之間天安門廣場（北緯39度54分26秒,東經116度23分29秒）3米高的直桿的太陽影子長度的變化曲線。將影長變化模型在MATLAB中編程實現，時間從9點到15點，步長取0.001。

上述預測結論在全國大學生數學建模競賽云南總審核階段結論得到印證。

2　反演上述模型，在已知影長及時刻的基礎上，獲得地理位置信息

要根據物體影子頂點的坐標數據確定投射影子的直桿所處的地點，即找到直桿所在的經緯度，實際上就是對第一章內容的反推，包括以下經度獲取和緯度獲取兩個方面。

（1）計算經度：固定直桿在太陽光照射下產生的影長從上午到正午再到下午是先變短后變長的，與二次函數曲線吻合，所以我們采用二次擬合法。建立物體影長與時間的擬合曲線，通過微分法找到最短影長所對應的時刻，即為當地時間正午。同時根據當地時間正午所對應的北京時間和北京的經度，通過時差轉換，即可得當地的經度值。

（2）計算緯度：采用近似逼近法求緯度?，F已知當地的經度，將緯度從～90度到90度，取步長為1°遍歷。在每次遍歷下，假設當地某一直桿L,可以利用問題1中所建立的模型求出其在已知經度下21個時刻所對應的影長。在21個時刻下直桿L影長與題目所給數據影長二者比值的方差最小值所對應的緯度即為當地的緯度，此過程由MATLAB7.8編程實現。

2.1經度的求解

二次擬合就是把已知的數據用二次曲線近似的表示出來，由于影長隨太陽高度及方位的變化先變長再變短再變長，因此可以采用二次曲線進行擬合。

（1）首先我們把影子長度的數據導入矩陣中(以2015年全國大學生數學建模競賽的數據為例，長度由坐標投影方法獲得)。

得=[1.1496 1.1822 1.2153 1.2491 1.2832 1.3180 1.3534 1.3894 1.4262 1.4634 1.5015 1.5402 1.5799 1.6201 1.6613 1.7033 1.7462 1.7901 1.8350 1.8809 1.9279]

（2）數據源信息是，時間是從14點42分一直到15點42分，每隔3分鐘記錄一次。本文用MATLAB對時間和影長進行二次擬合，得到擬合系數A。

A=[0.1489～3.7519 24.1275]

（3）利用系數A進行擬合，得到擬合曲線。

通過微分法找到最短影長為0.4936m,所對應的時刻為15.599時，即為太陽直射此經度的北京時間。然后以北京的經度（120度）為基準，按每隔1小時經度相差15度進行換算，得到所在地的經度為°，即東經111°0'51''。

2.2緯度的求解

（1）現已知當地的經度，可假設桿長為L，將緯度從～90度到90度，取步長為1°(可在MATLAB中不斷縮小范圍調節經度）進行遍歷。

（2）利用第一章中所建立的模型求出其在東經111.015度下L在每一緯度所對應的影長。

（3）在緯度i情況下，對21個L影長與實際影長求方差，最小方差對應的緯度即為當地緯度。

但此解法中L的長度會帶來較大誤差，為了除去桿長的影響，改進解法如下：

（1）由于同一時刻同一地點，物體的高度與其影長成正比，故L的影長與實際數據影長的比值等于L與實際桿的比值，即

（2）在緯度i情況下，求出每個時刻的影長比值，再求得21個時刻影長比值的方差。

（3）對每個緯度下的方差進行比較，最小方差對應的緯度即為當地的緯度，此過程由MATLAB7.8編程實現。

具體模型如下：

通過遍歷微分法令S2達到最小，則可得到最佳的緯度點。最佳緯度點為北緯20°，相應數據結果如下（假設L=1m)：

1m桿對應的21個影長（m)：l=[1.1551.1821.211

1.2411.2711.303 1.3351.3691.4031.439 1.4761.5151.5551.5961.6391.684 1.730 1.7791.8291.8821.937]

實際物體的21個影長（m):S=[1.1501.1821.215

1.2491.2831.318 1.3531.3891.4261.463 1.5011.5401.5801.6201.6611.703 1.746 1.7901.8351.8811.928]

影長的比值：l=[1.001.00 1.00 0.99 0.99 0.99 0.99 S 0.99 0.980.98 0.98 0.98 0.98 0.99 0.99 0.99 0.99 0.99 1.00 1.00 1.00]

最小方差為min S2=0.0010267,求得相應的緯度為北緯24.4121度，即北緯24°24'44''。

綜上所述，可能的地點為東經111°0'51''，北緯20°。結論后由2015年全國數學建模評審委員會印證。

注釋：

[1]本文數據來源于2015年全國大學生數學建模競賽，本文獲得全國大學生數學建模競賽二等獎。

[1]張文華，司德亮，徐淑通，祁東婷，太陽影子倍率的計算方法及其對光伏陣列布局的影響，內蒙古光伏電力有限公司，2011.9。

[2]林根石，利用太陽視坐標的計算進行物高測量與定位，南京林業大學學報，第15卷第3期，1991.9。

P2[文獻碼]B

1000～405X（2016）～4～227～2

李昂（1995～），男，吉林大學地球科學學院地質學專業，在讀本科。