梵天塔游戲中的數(shù)學

梁媛媛

【摘 要】 在梵天塔游戲中除了蘊含有趣的邏輯推理外，還可以抽象出數(shù)列，深入研究會發(fā)現(xiàn)，數(shù)字中藏著很多秘密。數(shù)列通項公式的得到可以用不完全歸納法猜想得到，然后用數(shù)學歸納法證明，也可以用疊加法推導，這些都是數(shù)學中非常重要和常用的思想和方法。

【關(guān) 鍵 詞】 梵天塔游戲；教學；數(shù)學

數(shù)學家陳省身曾為少年兒童題詞寫下“數(shù)學好玩”四個大字，數(shù)學家張景中著有《好玩的數(shù)學》叢書，談祥柏著有《樂在其中的數(shù)學》，數(shù)學的好玩在數(shù)學游戲中有，又不限于數(shù)學游戲，在數(shù)學游戲中感受數(shù)學的好玩也有不同層次和境界，梵天塔游戲能啟迪學生心智、開闊視野、增長知識、鍛煉思維、提高數(shù)學修養(yǎng)。在梵天塔游戲中蘊含許多值得研究的數(shù)學問題，在玩游戲之前是預料不到的，而且這樣的數(shù)學學習是有趣的、有用的，更是必要的，值得我們認真深入挖掘。

有關(guān)梵天塔游戲有一個傳說，說的是在古印度有一座大寺廟，有一方形底座，上面立著三根鉆石做的圓柱，在其中一根上穿了64個大小不同的金環(huán)，依照下面大上面小的順序排列著。上帝命令僧侶要將64個金環(huán)移到另一根圓柱上，移動規(guī)則是每一次只能移動一個金環(huán)，而且大的金環(huán)不能放在小的金環(huán)上。如果這些工作完成，就是世界消失的日子。

從這個傳說自然會產(chǎn)生這樣的問題：要移動多少次？需要多長時間？

從傳說的故事開始激發(fā)學生研究數(shù)學問題的興趣，于是又進一步引導學生發(fā)現(xiàn)，為了解決上面的問題，先從圓環(huán)數(shù)目少的情況研究開始。可以發(fā)現(xiàn)，一個圓環(huán)，移動1次即可；兩個圓環(huán)，需要移動3次；三個圓環(huán)，需要移動7次；四個圓環(huán)，需要移動15次；五個圓環(huán)，需要移動31次……

猜想：n個圓環(huán)，需要移動多少次？

若把每種情況的移動次數(shù)依次記下來，就形成了一個數(shù)列1，3，7，15，31，……于是上面的問題就轉(zhuǎn)化為一個數(shù)學問題：數(shù)列的第n項是多少？也就是說數(shù)列通項公式是什么？項數(shù)表示圓環(huán)個數(shù)，數(shù)列的項表示按要求移動圓環(huán)到目標柱上所用的步驟數(shù)。

在移動過程中能夠發(fā)現(xiàn)這樣的規(guī)律：n個圓環(huán)最初按下面大上面小的順序穿在第一根柱子上，要移動最下面最大的第n個圓環(huán)，首先必須把它上面的其他n-1個圓環(huán)移到另一根柱子上，再把第n個圓環(huán)移到第三根目標柱上，最后再把其他n-1個圓環(huán)移到第n個圓環(huán)的上面即可完成所有的任務。

若按要求移動n個圓環(huán)到目標柱上所用的步驟數(shù)記為an，按要求移動n-1個圓環(huán)到目標柱上所用的步驟數(shù)記為an-1，則由上面的分析知道：an=2an-1+1

從這個數(shù)列的遞推公式出發(fā)有三種方法得到數(shù)列的通項公式。

②式兩邊同乘2，③式兩邊同乘22，④式兩邊同乘23……，最后一個式子式兩邊同乘2n-2，然后把①式和這些得到的式子相加得：

an=1+2+22+23+24+……+2n-1

即得：an=2n-1

總之，在知道數(shù)列的遞推公式的情況下，與方法一一樣使用疊加法來推導數(shù)列的通項公式。

方法三：

從a1=1=2-1，a2=3=22-1，a3=7=23-1，a4=15=24-1，a5=31=25-1……

可以歸納出結(jié)論：an=2n-1

用不完全歸納法得到的結(jié)論需要證明，我們可以用數(shù)學歸納法證明，證明如下：

（1）當n=1時，也就是只有一個圓環(huán)時，顯然移動1次即可，a1=2-1=1，說明式子當n=1時成立。

（2）假設當n=k時式子成立，即ak=2k-1，也就是按規(guī)則移動k個圓環(huán)到指定柱子時，顯然移動2k-1次。從前面的分析我們已經(jīng)知道，要移動最大的第n個圓環(huán)，首先必須把它上面的其他n-1個圓環(huán)移到另一根柱子上，再把第n個圓環(huán)移到第三根柱子上，最后再把其他n-1個圓環(huán)移到第n個圓環(huán)的上面即可完成任務。也就是an=2an-1+1，類似容易知道ak+1=2ak+1，于是ak+1=2（2k-1）+1=2k+1-1，也就證明了當n=k+1時式子an=2n-1成立。

利用數(shù)學歸納法，由上面兩點證明了移動n個圓環(huán)到目標柱上所用的步驟數(shù)為：an=2n-1

再回到最初的故事，要移動64個金環(huán)，就是當n=64時，移動次數(shù)為：

a64=264-1=18，446，744，073，709，551，615次

若每移動一次用一秒，一小時3600秒，一天24小時，一年365天，一共大約需5840億年，才能移完。學生從來不會想到264竟然是那么大的數(shù)字，有了這次經(jīng)歷，他們對數(shù)的認識又加深了。

上面的問題如果再加一限制條件，每次移動金環(huán)只能移到相鄰的圓柱上，問需多少次才能移完？可以作為另外的思考題目，讓學生進一步課下研究。

總之，在梵天塔游戲中，除了蘊含有趣的邏輯推理外，還可以抽象出數(shù)列，深入研究會發(fā)現(xiàn)，數(shù)字中藏著很多秘密。數(shù)列通項公式的得到可以用不完全歸納法猜想得到，然后用數(shù)學歸納法證明，也可以用疊加法推導，這些都是數(shù)學中非常重要和常用的思想和方法。

【參考文獻】

[1] 劉淑珍. 游戲中的數(shù)學[J]. 文理導航（教育研究與實踐），201（5）.

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