一道調研試題的解題分析

浙江省寧波市第四中學　(315016)

張延斌

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一道調研試題的解題分析

浙江省寧波市第四中學(315016)

張延斌

一、問題的提出

本題是浙江省新一輪課改高考前的調研試題，是其中選擇題的最后一題.本文將全方位剖析這個問題.

二、選擇題解法

圖1

作為選擇題，無論是教師還是學生，首先關心的是答案的確定.

圖2

在對學生的測試調查中，發現大多數學生感覺無法直接下手，都是采用選擇題的特殊化解法，但由于解決問題的思維力度不夠，大多出錯，另外一些學生屬于“對而不會”.事實上，對于此題的分析，與一般的選擇題解法一樣，通過直覺思維直接進入解題環節.雖然運用了雙曲線方程與最大(小)值的概念，這其中滲透了極限的思想，還需要有合乎邏輯的推理和解題的智慧性.

三、“錯解”的啟發

圖3

顯然這個解法是錯誤的，但給我們提供了一條解題思路，即先固定A(x1,y1)，令z=x1x+y1y，問題轉化為直線z=x1x+y1y與雙曲線C右支有公共點時z的最小值z(x,y)，然后再求z(x,y)的最小值.

由于是個多變量的條件最值問題，從最小值的概念出發，可將y1,y2調控為y1y2≤0.據此，還可得如下的簡捷解法：

四、解法的完善

1 對參數方程的調控

2　對聯立方程的調控

五、解題分析的反思

解題研究無禁區，課堂教學有范圍，上述各個解法，書寫長度與思維深度都會有所差異，哪些適于全體學生，哪些適于部分學生，作為課堂教學的試卷講評分析，我們不能只讓學生被這些解題技巧所吸引、震撼，而是要讓各個層次的學生都得收益.為此，筆者以此題為素材開設了一堂探究性的解題教學課，取得較好的效果.其教學程序如下：

1．選項確定

作為一個選擇題，確定它的答案是每個學生首先關心的.學生運用解答選擇題的方法，通過特殊定位，一般核對，達到問題的“粗略”解答.

2．演繹推理

此時，學生興奮點上來了，迫切希望問題嚴謹的解答.在這里選擇二種學生上手后不能解決的方法進行分析.

3． 挖掘運用

由于本節課的核心問題是圓錐曲線與向量的數量積問題，如果把問題延伸到橢圓上，覺得意義不大.于是，在學生的學習激情不減的情況下，再燃一把火，推出三個習題加以操練.

(A)CM⊥AB (B)CM⊥CB

(C)CM⊥CA(D)CM⊥l

(A)-15(B)-9(C)-7(D)-6

[1]羅增儒，數學解題引論[M].西安,陜西師范大學出版社.2007(7)：40-41.