“特殊化”策略在課標卷數學試題中的應用賞析

福建省莆田第六中學　(351111)

陳瑞清

福建省漳州一中　　　(363000)

林新建

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“特殊化”策略在課標卷數學試題中的應用賞析

福建省莆田第六中學(351111)

陳瑞清

福建省漳州一中(363000)

林新建

“特殊化”是重要的數學解題策略之一，是“特殊與一般思想”在數學解題中的應用.

它是通過選取特殊元素，依據問題在一般情況下真則在特殊情況下亦真，反之，在特殊情況下不真則在一般情況下亦不真的原理——肯定某一結論或否定其余結論的過程.

特殊化策略在解決某些數學選擇題與填空題上有重要的作用，可以幫助我們快捷地得到問題的答案.

以下就它在課標卷試題中的應用舉例賞析，以饗讀者.

例1(2014年高考課標全國卷Ⅰ第8題)

例2(2010年高考新課標卷Ⅰ理科11題)

A．(1,10)B．(5,6)

C．(10,12)D．(20,24)

例3(2009年高考全國卷Ⅰ理科11題)

函數f(x)的定義域為R，若f(x+1)與f(x-1)都是奇函數，則().

A.f(x)是偶函數B.f(x)是奇函數

C.f(x)=f(x+2)D.f(x+3)是奇函數

解析：本題涉及抽象函數，直接求解難度較大，需由f(x+1)是奇函數得到f(-x+1)=-f(x+1)，由f(x-1)是奇函數得到f(-x-1)=-f(x-1)，進而得到f(-x+1)=f(-x-3)，故f(x)是以4為周期的周期函數，從而由f(x-1)是奇函數知f(x+3)也是奇函數，所以正確答案為D.

其實，本題是一個一般性問題，若運用特殊化策略予以求解輕松異常.

例4(2012年高考全國新課標卷理科16題)

數列{an}滿足an+1+(-1)nan=2n-1，則{an}的前60項和為_________.

例5(2013年高考新課標卷Ⅰ理科11題)

A．(-∞,0]B．(-∞,1]

C．[-2,1] D．[-2,0]

解析：本題按常規方法求解較為繁瑣，若能結合選擇題的特征運用特殊化策略予以求解，簡直不費吹灰之力.取x=-1，得a≥-3，可排除選項A、B；取x=1，則a≤ln2<1，可排除選項C，故正確選項為D.

例6(2015年高考新課標卷Ⅰ理科12題)

設函數f(x)=ex(2x-1)-ax+a，其中a<1，若存在唯一的整數x0使得f(x0)<0，則a的取值范圍是().

例7(2013年高考新課標卷Ⅰ理科16題)

若函數f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的圖像關于直線x=-2對稱，則f(x)的最大值是_________.

解析：本題也是個難題，求解的難點在于如何求出a、b的值.其實，若運用特殊化策略取特值可輕松求出a、b的值.由f(-4)=f(0)，f(-3)=f(-1)得-15(16-4a+b)=b，-8(9-3a+b)=0，聯立解得a=8，b=15，從而f(x)=(1-x2)(x2+8x+15)=-(x+1)(x-1)(x+3)(x+5)=-(x2+4x+3)(x2+4x-5).令x2+4x=t，則t≥-4，y=-(t+3)(t-5)=-(t2-2t-15)=-(t-1)2+16≤16，當且僅當t=1時“=”成立，所以f(x)的最大值為16.