論數學教學和學習策略

申淑波

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論數學教學和學習策略

申淑波

（綏化市第四中學，黑龍江 綏化 152054）

基于學生反饋初高中數學銜接不好，大部分初中數學成績優異的學生到高中數學成績一落千丈，導致學生的學習狀態不佳，情緒低迷，信心不足。與學生們系統地研究了學習方法、解題方案、學習信念，并結合自身教學經驗，提出指向“方法”的學習和“思維”的訓練，優化解題方案，重“基礎”、識“陷阱”，形成知識網絡系統。

數學教學；學習策略；學習興趣

1　指向“方法”的學習和“思維”的訓練

重“方法”。常言道：學習有法但無定法。學習數學，不是教授學生怎么去解一道題、記下解題步驟，而是教會學生學會這道題的思維方法，并能將其運用于同種類型的解題上，甚至能將其補充，拓展出去。單純學解題步驟，那是學不盡的，因為題目千變萬化，而學會一種思維方法，便能將它運用到千萬道數學題中去。還要補充的是，解題的最好方法是能夠自己得出來的，因為別人教你的方法容易忘記，而自己得出的方法卻記憶深刻。如果自己實在得不出方法，一定要將別人的方法在題中多揣摩幾遍，以確保自己完全掌握。

重“思維”。高中數學與初中數學的學習有著巨大的不同，高中數學更講究靈活性和延伸性，題目靈活，需要思維的發散性。我認為在學習數學上應有一套完整有效的方法，即歸納整理的方法。每周學完整理這一周所學的知識，將作業中應該重點掌握和做錯的題目整理出來，且每次考試結束后，都將扣分題或有多種解題方法的數學題進行整理。由此，長期累計，把典型題或一類題歸納，在考前復習的時候就會輕松很多。而且這種方法也利于平時思路的清晰，避免拿到題后思路混亂，出現無從下手的情況，這種方法我認為是十分有效的。除此以外，在做題過程中應當先獨立思考，再相互交流。獨立思考自己有什么方法能解題，之后再相互交流，取他人之長補自己之短，應當發散思維，盡可能在平時的做題過程中多積累方法、技巧，以此來訓練自己的思維方式。

例如在橢圓的性質教學中，除了研究橢圓的“范圍”、“對稱性”、“頂點”三條性質外，還要繼續研究橢圓的“焦半徑”及“焦點弦”的最值問題，下面僅以“焦半徑”為例來說明如何探討解題方法、拓展學生思維的問題。

解：

由于教材中沒有涉及橢圓的第二定義，因此，學生只能想到兩點間的距離公式，只有少數學生能應用橢圓的標準方程把y用x代換，但化簡不到完全平方這一步，個別學生化簡到一次函數形式，并求出最值。學生的思維在“受阻”、“前進”，“再受阻”、“再前進”中得到了良好的訓練。

2　優化解題方案

數學是進行一種邏輯思維的學習與鍛煉，有時上課時雖然聽懂了，但做習題時也不能如魚得水，成績也不高。學習數學最主要的是運用的問題，用正確的思維去解決實際問題，所以，在課堂上進行經典問題的研究，研究同一問題的多種解法，從中優化解題方案，再以必要性的習題輔助訓練，就能達到訓練思維的目的，使之靈活而不呆板，做題也會越來越順。學習數學最主要的問題是有些公式定理雖然記住了，但卻不能靈活運用，所以要對每一個定理、公式進行自我的推理過程，搞清這些定理，公式的本質，自然會事半功倍，所以，一定要理解數學的本質。

下面以點到直線距離公式的推導為例研究如何優化解題方案，點到直線距離公式有多種推理方法，這里寫出三種方法，供優化解題方案參考。

方法一：直接法。作直線PQ 直線l，垂足為Q，解直線l與PQ的聯立方程組，求出Q點的坐標，再應用兩點間的距離公式求出PQ的長，此種方法容易入手但計算很復雜，學生不易接受，不可取。

（直線L的斜率不存在或為零時仍然成立），此法學生欣然接受。

A資助方法三：向量法（1）

向量法（2）

同學們還發現了很多證法，課堂氣氛十分活躍，激發了大家的學習興趣。針對上述問題的研究，學生自然得出了最佳的解題方法，從而優化了解題方案。

3　重“基礎”、識“陷阱”，形成知識網絡系統

注重“基礎”。何為基礎，基礎是一切之本。有些人忽視基礎知識，一是因為它簡單，二是因為考試一般不會直接了當去考它。但是基礎知識是最重要的，學好基礎知識才能學好更難的東西，基礎打扎實了，再學習才不會吃力。另外，解題時不是一下子能想出巧妙、簡單個基礎上得出好的方法。同時要特別注意，遇到難題時不能慌張，運用基礎知識，一步步仔細去分析，定能解決問題。因此，上課一定要認真聽講，將基礎的東西牢牢地掌握好。

識別“陷阱”。現在的考試題，特別是高考題中，許多題目都不難，一張考試卷，百分之八十都是基礎，但很多題目會設下陷阱，雖然你會做，但一不小心還是會錯，因此，在審題中要格外小心；另外，還可以總結一下哪類題目會設“陷阱”，大多會出現怎樣的“陷阱”。如果掌握了這些，那么看到題目就大致能猜到可能會有什么樣的陷阱出現，錯誤率就會大大地減少。

學習數學在夯實“基礎”、認清“陷阱”的前提下，就會在頭腦中逐漸形成自己的知識網絡系統。這個知識系統應該像一個網絡一樣，網絡的交匯點往往是激發學生思維的關鍵之處，又常常是考試出題的關鍵所在。例如在代數、幾何、三角這三大體系中，解析幾何中的直線、圓、橢圓、雙曲線都可用三角代換法轉化為三角函數來求解問題。關于“基礎”和“陷阱”的例子比比皆是，這里不再贅述，只舉例說明知識網絡的問題。

例1：設實數x、y滿足3x2+2y2≤b，求2x+y的最大值。

例2：設a、b分別是方程log2x+x-3=0和2x+x-3=0的根，求：a+b及log2a+2b的值

解：在直角坐標系中分別作出函數y=2x和y=log2x的圖像，再作出直線y=x和y=-x+3

多年來，我一直關注薩爾加多（Sebasti?o Salgado）和史蒂夫·麥凱瑞的職業生涯。雖然他們有著完全不同的創作風格，但我從他們身上獲得了靈感：薩爾加多對于拍攝有著影像記錄和社會學式的工作方法，史蒂夫·麥凱瑞則善于制造鮮明的色彩和醒目的構圖。

由于y=2x和y=log2x互為反函數，故他們的圖像關于y=x對稱

方程log2x+x-3=0的根a就是直線y=-x+3與對數曲線log2x的交點A的橫坐標

方程2x+x-3=0的根b就是直線y=-x+3與指數曲線y=2x的交點B的橫坐標

故有中點坐標公式得：a+b=3；log2a+2b=3

例1說明了橢圓和三角函數的性質在求函數最值上的應用，例2充份體現了函數與方程以及數形結合的數學思想，反映了指數函數對數函數與直線方程之間的內在聯系。通過研究知識之間的內在聯系，學生會對三角與幾何之間知識的交匯點產生極大的興趣，會產生刻骨銘心之印象，數學開發思維的目的也會達到。

4　“興趣”是確立學習信念的關鍵

丟什么都不能丟興趣。數學是一門嚴謹的學科，需要高度嚴密的邏輯，且必須源于其扎實的基礎。我學習和教數學的心得是必須踏踏實實的研究每一個問題，并總結解題方法和解題技巧，遇到難題絕不能放棄，要仔細審題，一步一步，由淺入深，直至問題解決，從中體會解決數學問題的樂趣，逐步培養學生的學習興趣。數學教學興趣最重要，丟什么都不能丟興趣，這是學習數學的底線，很多學不好數學的人，往往是從對數學沒有興趣開始的，逐漸產生恐懼心理，這種心態絕對要克服，其根本方法就是有意識培養自己對數學的興趣，正視數學，調整好自己的心態，上課認真聽講，把基礎知識和解題結合起來，尤其掌握解題思路，畢竟題目都是萬變不離其宗的。研究問題時要靜心，平心靜氣的去讀題，分析題設條件，研究解題的思維方法，使難點一一化解，使問題由復雜變簡單。確切地說，數學教師就是學科教學中使數學由復雜到簡單的探索者和領路人。下面看一道趣味數學。

兩個男孩各騎一輛自行車，從相距20英里（1英里合1.6093千米）的兩個地方，開始沿直線相向騎行。在他們起步的那一瞬間，一輛自行車車把上的一只蒼蠅，開始向另一輛自行車徑直飛去。它一到達另一輛自行車車把，就立即轉向往回飛行。這只蒼蠅如此往返，在兩輛自行車的車把之間來回飛行，直到兩輛自行車相遇為止。如果每輛自行車都以每小時10英里的等速前進，蒼蠅以每小時15英里的等速飛行，那么，蒼蠅總共飛行了多少英里？

答案：每輛自行車運動的速度是每小時10英里，兩者將在1小時后相遇于2O英里距離的中點。蒼蠅飛行的速度是每小時15英里，因此在1小時中，它總共飛行了15英里。

許多人試圖用復雜的方法求解這道題。他們計算蒼蠅在兩輛自行車車把之間的第一次路程，然后是返回的路程，依此類推，算出那些越來越短的路程。但這將涉及所謂無窮級數求和，這是非常復雜的高等數學。據說，在一次雞尾酒會上，有人向約翰——馮·諾伊曼（John von Neumann，1903——1957年，20世紀最偉大的數學家之一）提出這個問題，他思索片刻便給出正確答案。提問者顯得有點沮喪，解釋說，絕大多數數學家總是忽略能解決這個問題的簡單方法，而去采用無窮級數求和的復雜方法。馮·諾伊曼臉上露出驚奇的神色：“可是，我用的是無窮級數求和的方法”。

學生自己或通過老師的啟發引導對趣味性數學題目給出圓滿的解答，他（她）們會產生對數學的極大興趣和成功的感覺，會激發學生學習數學的積極性，意義非同一般。

數學是一門鍛煉思維的學科，也是學習其他學科的基礎和前提，要學好數學與平時是否勤于思考和是否多做難題有關，也與有沒有扎實的基礎有關。當然，有好的基礎是學好數學的必要條件，卻不是充分條件，會不會做適量難題是關鍵。一個人如果習慣了在山路上奔跑，在平地上跑起來就易如反掌了。平時做慣了適量的難題，一般的題目還有什么難度呢？對于優秀學生來說，平時一般的題做多了，只是掌握了知識點，要拔尖兒的話就必須做適量的難題，當然這個過程是很辛苦的，但對于喜歡思考的學生來說，數學就不再是一件苦差事，反而是一件樂事了。我得出一個結論，要想學好、學活數學，關鍵是要熱愛思考。面對較難的數學題目，更應該刻苦去做，認真分析已知條件和未知結論間的聯系，就像高明的偵探破案一樣，抓住一點蛛絲馬跡分析判斷直到解決問題，將所有的知識融匯貫通，當所有的知識都了然于心，數學水平才會達到一個高度。當然，數學學習的過程也不是只做難題，它是一個循序漸進的過程，不可能一日求成，最重要的在于學習思考的過程，這個過程是不容忽視的。我們往往有這樣的機會，做同樣一道題目，卻有幾種不同的解法，難易程度也不盡相同，在做練習時非常重要的是要學會思考。在思考的過程中，你或許會想出多種解題方法，從多種方法中篩選出最簡單的方法，久而久之，經過這種長期的思考后，解題技巧就學會了，解題思路也就有了，由此，可訓練學生思維的敏捷性和全面性，從而使學生學到數學學習的真諦——訓練思維的敏捷性，使學生受用終生，我想這也是數學教學的終極目標吧。

在數學活動課中，我和學生們研究了下列問題的簡單解法：

例：已知圓內接正n邊形的中心為o，A1、A2、...、An.

證明：

成立。

此題也可應用三角中的積化和差公式，這里不再證明。兩個方法應用下來，學生對向量與復數以及數列、解析幾何之間的關系感悟頗深，大大提高了學生對數學的感悟能力。

學習信念絕不容忽視。何為學習信念？我個人認為對學習數學的認識、目的。現代的中學數學教學是很功利的，問學生為什么學習數學，學生會毫不猶豫的回答為考大學、考名牌大學，家長老師以及學校領導大多都是這個觀點，這也無可非議。我認為應該把眼光再放遠一點：學習數學是為了使人的頭腦更靈活，使人的思維更靈活、更嚴密、更全面，即使學生參加工作時不從事數學方面的工作，哪怕是將數學公式忘得一干二凈，可數學思維的靈活性、嚴密性和全面性會在無意之間指導他們的工作，這才是數學教學的精髓。

Discussion on mathematics teaching and learning strategies

SHENShu-bo
（Suihua Fourth school，Suihua 152054，China）

The convergence of mathematics from middle school to high school is not good from the feedback of students，which makes the performance of excellent students in math plummeted in high schools，resulting in poor learning state，depressed mood and lacking of confidence.Combining own teaching experience with study of learning method，problem-solving programs and learning faith，this paper proposed to have oriented-learning method and thinking training，optimize problem-solving programs，emphasize on basis and formknowledge network system.

Mathematics teaching；Learningstrategy；Learninginterest

G633.6

B

1674-8646（2016）15-0070-04

2016-06-14