改進的雙約束穩健Capon波束形成算法

李立欣　白童童　張會生　包　濤　申禮斌（西北工業大學電子信息學院西安710129）

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改進的雙約束穩健Capon波束形成算法

李立欣*白童童張會生包濤申禮斌
（西北工業大學電子信息學院西安710129）

傳統雙約束穩健Capon波束形成算法采用牛頓迭代法求解最優加載量，存在計算精度低且運算量大的問題。該文提出一種改進的雙約束穩健Capon波束形成（DCRCB）算法，該算法對信號協方差矩陣進行重構，基于期望信號導向矢量在噪聲子空間的投影最優，將重構后的干擾加噪聲協方差矩陣投影到噪聲子空間，得到基于噪聲子空間的雙約束算法模型。該算法中通過模約束的輔助約束作用，將改進的雙約束算法模型轉化為單約束問題，最終解得最優對角加載量的解析表達式。仿真結果表明改進算法能通過調整主瓣寬度優化波束旁瓣，有效提高了抗矢量偏差的魯棒性，同時降低了運算量。

自適應波束形成；雙約束Capon波束形成；信號協方差矩陣重構；噪聲子空間

1　引言

波束形成是陣列信號處理的一項重要技術，廣泛應用于無線通信、聲吶、雷達和麥克風語音陣列處理等領域［14］-。然而，在實際工程應用中，當基陣位置的偏差較大、各陣元通道幅度和相位響應不一致、陣型失配時，算法性能會受到嚴重影響［57］-。因此，如何有效改善自適應波束形成的穩健性具有重要意義。

文獻［8～10］提出了一類有嚴格理論基礎的基于導向矢量不確定集的穩健Capon波束形成算法，在此基礎上，近年來出現了許多新的改進的穩健Capon波束形成算法［1115］-。其中文獻［10］提出了強加導向矢量不確定集和模值約束以改善其穩健性，即雙約束穩健Cpaon波束形成（Double Constraint Robust Capon Beam former，DCRCB）算法，該算法屬于對角加載算法的一種，可以根據不同的導向矢量誤差得到合適的加載量。其最優對角加載量通過牛頓迭代法求解，但是迭代的運算量一般比較大而且收斂速度慢。文獻［15］提出一種新的基于導向矢量不確定集的穩健Capon波束形成算法，并且利用特征向量的結構特性推導出了最優對角加載量的解析表達式，但是基于單約束的Capon波束形成算法魯棒性不高，無法使所提算法的性能達到最優。本文基于期望信號導向矢量在噪聲子空間的投影最優，并對信號協方差矩陣進行重構，提出一種改進的雙約束穩健Capon波束形成算法。通過分析求解不確定集約束下的Capon波束形成算法可知，不確定集約束決定該算法的性能，導向矢量的模約束只起輔助約束作用，因此可以去掉改進的雙約束穩健Capon波束形成算法模型中的模約束，將算法模型轉化為單約束問題，求解單約束問題的最優對角加載量，然后對其進行標量化。該算法運算量低于迭代求解的方法，提高了加載量的計算精度，并且因為進行了信號協方差矩陣重構，算法的魯棒性提高，旁瓣增益大大降低。

2　雙約束波束形成算法及其求解

考慮陣列是由M個陣元組成的理想均勻線陣，遠場空間存在一個目標信號和互不相關的P個干擾信號。則第k次快拍陣列的接收數據矢量可以表示為

對接收數據進行波束形成，則波束形成器的輸出為

根據陣列信號模型，雙約束波束形成算法的優化模型可以描述為

利用Lagrange因子方法求解式（3），可以得出方向向量的估計值。需最小化目標函數為

式中，，λμ為實數的Lagrange因子，對式（4）求解可得出方向向量的估計值。

將方向向量代入，可得

將式（6）對μ求導并令其等于零，可得

將μ代入式（6），可得

Lagrange因子λ可以通過式（9）求得

把式（7）代入式（5），可得信號方向向量的估計值為

又解得λ的取值范圍為

利用牛頓法解式（9）求出中滿足式（11）的拉格朗日因子λ，將λ代入式（7）得到μ，進而求解式（5），得出方向向量的估計值。從而得到權重向量公式為

由于雙約束波束形成算法沒有對信號協方差矩陣進行重構，所以在抑制干擾信號的同時也抑制了期望信號，導致對干擾信號零陷不夠深。并且此算法對角加載值通過牛頓迭代法求得，計算量較大。因此，提出改進的雙約束波束形成算法對上述問題進行改進，提高算法性能。

3　改進的雙約束波束形成算法及其求解

3.1改進的雙約束波束形成算法

目前，有很多對信號協方差矩陣進行重構的方法，比如利用窗函數進行重構［16］，構造平均協方差矩陣［17］，重新定義一個譜來構造干擾加噪聲協方差矩陣［18］，空間功率譜估計［19］等。前面3種方法側重于對干擾零陷的展寬，并且在展寬零陷的同時使得零陷深度變淺，因為本文的研究重點在于濾除協方差矩陣中的期望信號，加深零陷深度，提高算法抗導向矢量偏差的魯棒性，而且利用空間譜估計來重構信號協方差矩陣這種方法的復雜度較低，并且性能良好，在多篇論文中也已經得到驗證，綜合考慮后，故采用空間功率譜估計的方法來重構信號協方差矩陣。

下面針對導向矢量失配問題，對信號協方差矩陣進行重構

式中，（）Pθ為空間譜函數，式（13）中?in+R是重構的干擾加噪聲協方差矩陣，Ω為定義的干擾區間，實際應用中，對Ω的選擇沒有特別嚴格的要求，只需保證所有干擾分量均包含于Ω內，而期望分量不在Ω內即可。假設θ代表期望信號區間，滿足θΩ∩=?，θΩ∪為整個觀測區間?；诖朔椒ǎ{整Ω和θ的大小可獲得不同的波束響應特性。例如，增加θ減小Ω會使主瓣變寬，導致波束分辨率降低，但能獲得更低的旁瓣級；減小θ增大Ω則會有相反的效果。實際應用中，Ω和θ的大小根據需求設定。

將式（14）代入式（13）可得

式（15）為重構后的干擾加噪聲協方差矩陣。

在仿真中，我們采用的是求和的方法來對此式進行求解，將干擾區間Ω分為L個方向，每一個方向的導向矢量為進行L次積分求和，公式為

用重構后的協方差矩陣?in+R代替式（3）中的那么DCRCB算法可描述為

在進行分析之前，假定天線陣列接收端總共有P+1

式中，a表示組合系數組成的列向量。

把式（19）和式（18）代入式（17）中，可得

3.2改進的雙約束波束形成算法的求解

通過分析求解雙約束下的Capon波束形成算法，可以得到導向矢量的模約束只是起輔助約束的作用，這是因為對于滿足不確定約束的解進行標量化，使其滿足模約束，然后代入信號功率的估計式中，只是相當于增加了一常數因子。因此，對于式（22）的求解可以轉化為求解單約束波束形成算法。

這樣把式（23）中的不等式約束轉化為等式約束。

式（25）的最優解是利用拉格朗日因子的方法最小化函數f：

這樣，最優對角導向矢量的求解將依賴于λ值，為求解λ，將式（27）代入式（26）可得

將式（31）代入式（28）可得

解式（33），由于0λ≥，因而可以得到其解為

將式（34）代入式（27）就可得最優導向矢量的精確解，因此，本文提出的改進的雙約束波束形成算法的求解步驟就能得到了。但是需要注意的是，本文算法需要準確知道噪聲子空間的維數，因此需要估計信號源的數目，當信號和干擾功率較強時，可以直接從特征值的界限加以判斷。但是當功率較弱時，無法直接判斷，這時則可以通過信源估計方法［20］估計。算法的實現步驟如下：

步驟1對信號協方差矩陣進行重構，濾除協方差矩陣中的有用信號。

步驟2對重構后的干擾加噪聲協方差矩陣進行特征值分解，求出噪聲子空間的特征向量矩陣。

步驟3根據NU求z，得到z后，把選定的約束參數?代入到式（34）很容易求得最優λ，將λ代入式（27），得到最優對角加載量，對進行標量化，使其滿足如令即得滿足雙約束的最優解。

步驟4計算最優權矢量

4　仿真分析

為了驗證算法的正確性，進行如下的仿真實驗?？紤]陣列陣元數為50，陣元間隔為半個信號波長的理想均勻線陣。本文假設信源的數目已知，且信號互不相關。假設空間存在一個有用信號和2個互不相關的干擾信號，其中假定期望信號來波方向為0o，實際來波方向為2o。信噪比為0 dB。兩個干擾信號功率分別為40 dB，50 dB，相應的干擾信號方向為-60o，40o。

為了驗證本文算法的穩健性，圖1給出了幾種Capon波束形成算法方向圖。其中RCB算法和DCRCB算法分別為文獻［8］提出的穩健Capon波束形成算法和文獻［10］提出的雙約束穩健Capon波束形成算法，算法1表示文獻［15］提出的新的穩健Capon波束形成算法。算法的參數?根據經驗選擇為3.2。

從圖1可以看出，本文算法能夠準確地指向信號真實的期望方向，并且具有較低的旁瓣，而且在兩個干擾方向均能形成零陷。因為對信號協方差矩陣進行了重構，將期望信號濾除，因此能提高算法的魯棒性。并且因為本文算法使期望信號導向矢量在噪聲子空間的投影最優，因此算法的旁瓣較低。DCRCB算法雖然也具有較低的旁瓣，且在干擾方向形成零陷，但是在期望信號方向也能形成零陷。RCB算法和算法1旁瓣增益太大，效果較差。

圖2（a）給出了不同快拍數對波束形成器輸出SINR的影響。顯然本文提出的新的雙約束魯棒波束形成算法輸出SINR性能明顯高于其他3種算法，這是因為新算法旁瓣較低。DCRCB算法性能優于RCB算法和算法1，并且算法的輸出性能隨著快拍數的增大逐漸趨于平穩，RCB算法和算法1在快拍數較大時性能比較接近。

圖2（b）給出了幾種算法的不同輸入SNR的變化對輸出SINR的影響?？梢钥闯鲭S著輸入SNR的增大，4種算法的輸出SINR都在逐漸增大，并且本文算法與算法1的曲線斜率基本一致，DCRCB算法與RCB算法曲線斜率基本一致，這是由算法的最優對角加載量的求解方式決定的。由圖2可知，本文算法在輸入SNR相同時輸出SINR至少比其他算法大10 dB，并且隨著輸入SNR的增大，該算法的優勢體現的越來越大。算法1在SNR較大時性能優于DCRCB和RCB兩種算法。

圖3（a）給出了不同約束參數對輸出SINR的影響。4種算法的輸出SINR受約束參數的影響都不大，因為本文算法對信號協方差矩陣進行重構且期望信號導向矢量在噪聲子空間投影最優，所以其旁瓣低，主瓣寬，因此其輸出SINR性能明顯高于其他3種算法，且約束參數為3到7之間時輸出性能比較穩定。其他3種算法的輸出性能受約束參數的影響差別不大。

圖3（b）給出了不同角度誤差對輸出SINR的影響。本文提出的新的雙約束魯棒波束形成算法輸出SINR性能明顯高于其他3種算法，這是因為該算法在對信號協方差矩陣進行重構時，合理選擇積分范圍能夠使得方向圖主瓣變寬，旁瓣降低，使得算法在角度誤差較大時仍能保持較好的性能。RCB和DCRCB算法抗角度誤差性能較差，算法1較兩種算法抗角度誤差性能有了一定提升，但是當角度誤差大于1o時，性能下降比較嚴重。

圖1　 Capon波束形成算法的方向圖

圖2　輸出SINR相對于不同參量的變化

圖3　輸出SINR相對于不同參量的變化

5　結論

基于雙約束穩健Capon波束形成算法，本文提出一種新的雙約束穩健Capon波束形成算法。該算法基于期望信號導向矢量在噪聲子空間的投影最優，并對干擾協方差矩陣進行重構，給出了該算法的最優對角加載量的解析表達式。理論分析和仿真實驗表明，本文提出的新的DCRCB算法運算量小且旁瓣低于其他算法。不管在何種情況下，其輸出性能均優于其他算法。

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李立欣：男，1979年生，副教授，研究方向為通信信號處理.

白童童：女，1993年生，碩士，研究方向為陣列信號處理.

張會生：男，1955年生，教授，研究方向為通信信號處理.

Improved Double Constraint Robust Capon Beam form ing Algorithm

LILixin BAITongtong ZHANG Huisheng BAO Tao SHEN Libin
（School ofElectronics and Information，Northwestern Polytechnical University，Xi，an 710129，China）

Trad itional doub le constraint robust Capon beam form ing algorithm uses New ton iterativem ethod for solving the optimal loading，presenting the prob lem s of low accuracy and large amount of computation.An im proved Doub le Constraint Robust Capon Beam form ing（DCRCB）algorithm is proposed in this paper.The algorithm reconstructs the signal convariancematrix，and by optim izing the projection of signal steering vector onto the noise subspace，it p rojects the reconstructed interference-plus-noise convariance matrix onto the noise subspace，obtaining the doub le constrain t algorithm m odel based on the noise subspace.For the norm constraint is accessorial，the algorithm model can be converted into a single constraint issue and be solved into an analytical expression of optimal diagonal loading finally.Simulation results show that the im proved algorithm can op tim ize the side lobe by ad justing the beam wid th of themain lobe，im prove effectively the anti-vector error robustness，and reduce the amount of com putation.

Adaptive beam form ing；Double constraint Capon beam form ing；Signal convariance matrix reconstrcting；Noise subspace

s:The Fundamental Research Funds for the Central Universities（3102014JCQ01052，3102014KYJD034，3102014KYJD040），The Natural Science Foundation Research Project of Shaanxi Province（2016JM 6062），The Aerospace Science and Technology Innovation Fund of CASC

TN911.7

A

1009-5896（2016）08-2014-06

10.11999/JEIT 151213

2015-11-03；改回日期：2016-03-31；網絡出版：2016-05-24

李立欣lilixin@nwpu.edu.cn

中央高?；究蒲袠I務費專項資金（3102014JCQ01052，3102014KYJD034，3102014KYJD040），陜西省自然科學基礎研究計劃（2016JM 6062），中國航天科技集團公司航天科技創新基金