高中數學函數和數列結合的解題方法

■趙一鳴

隨著新課改的不斷深入與發展,高中數學學科領域也提出了更高的標準和要求。數學課程邏輯性較強且前后知識相關性強,這就更加需要我們在學習數學課程時,重視前后內容的聯系,從而不斷提高分析問題的能力,拓寬解題思維。

一、高中數學函數與數列知識的聯系

數列屬于特殊的一種函數,也稱為整標函數,是定義域為正整數集的函數,自變量是項數,數列的各項值即函數值。按函數的定義,函數的自變量自小到大地依序排列,能夠得到相對應的數值。函數具有自身的特征,數列通項求和公式相對應的是函數特性的意義,在解答高中數學數列問題時,靈活引入函數知識,能方便數列問題的順利解決,通過圖像及特征分析,幫助我們了解數列和函數間的聯系。故在解答數列問題時,我們要巧妙應用函數概念將函數與數列二者有效結合。探索函數與數列的關系,能更好地幫助我們學習數列的相關知識內容。

二、高中數學函數與數列結合思路探析

1.函數和等比數列的結合。在高中數學等比數列知識的學習中,將其與函數有效地結合,可以鍛煉我們的解題思維能力。此種題目的難度比較大,可將等比數列公式和函數有效地轉換,畫出相應的函數圖像,將這種數量關系有效結合,完成問題的解答。

在解答這樣的問題時,需要明確解題思路,尋找函數和等比數列之間的數量關系,根據之間的數量關系對其深入分析,完成問題的快速解答。在解題的過程中,要根據已知條件中圖像經過的兩點,求解出a和b的值。根據題目中的條件,判斷數列{an}的性質,求解出數列的通項公式,有效解決數學問題。

2.函數和等差數列的結合。在等差數列知識的學習中,根據等差數列的通項公式an=a1+(n-1)d可以轉化為an=dn+(a1-d),可以將其看成an=pn+q,當p≠0時,其是關于n的一次函數。有效利用一次函數關系,對函數和等差數列的關系深入分析,可順利解答等差數列問題。

例題已知二次函數f(x)=x2+2(10-3n)x+9n2-61n+100(n∈N)。(1)如果二次函數的頂點橫坐標構成數列{an},證明數列{an}是等差數列;(2)假設函數y=f(x)圖像的頂點到x軸的距離構成數列{dn},求解數列{dn}的通項公式。

在解答這樣的問題時,我們需要對題干進行分析,找出已知條件和隱藏條件,分析數列和函數之間的聯系和區別,同時畫出二次函數的圖像,對其坐標深入分析,可通過這樣的解題思路寫出關于n的函數表達式。問題(1)在解答的過程中,根據函數f(x)可以得出頂點的橫坐標,得出數列{an}的通項表達式,根據通項表達式判斷數列是等差數列。在問題(2)的解答中,根據函數f(x)的表達式,求解y軸和頂點之間的距離,得出數列{dn}的通項公式,根據題意列出相應的不等式,解決問題。

總結：數列和函數作為高中數學的重要知識點,兩者存在著特殊的關系。因此,在高中數學知識學習的過程中,我們需要將函數和數列知識有效地結合,從中找出解決數列問題的切入點,擴展數學問題解題思路,鍛煉自身的解題能力,有效解答數列難題。