不同比賽氣候條件對乒乓球飛行軌跡影響研究

余　萬，李　春，朱　玲，陽　君，楊　陽，季云峰

（1.上海理工大學能源與動力工程學院，上海 200093；2.上海體育學院，上海 200093）

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不同比賽氣候條件對乒乓球飛行軌跡影響研究

余萬1，李春1，朱玲2，陽君1，楊陽1，季云峰2

（1.上海理工大學能源與動力工程學院，上海 200093；2.上海體育學院，上海 200093）

本文根據空氣動力學原理，考慮乒乓球在旋轉飛行過程中的浮力、重力、阻力和Magnus力，建立乒乓球飛行的動力學方程，數值求解得到乒乓球三維空間的飛行軌跡，對比分析了溫度和空氣對飛行軌跡的影響。結果表明，乒乓球飛行時保持轉速不變情況下，隨溫度的升高和空氣濕度增大，其飛行軌跡和高度都有增加。

空氣動力學；乒乓球；Magnus力；環境物性參數

乒乓球的飛行具有旋轉快（通常3 000rpm）、速度高（通常5m/s）的特點，加之乒乓球比賽戰術多變，故其為一項極具觀賞性和競技難度的運動。在各類球體運動中，乒乓球的旋轉球、排球的側旋球以及足球的“香蕉球”有著相似的形成力學原理，即旋轉球在飛行過程中的飛行軌跡產生彎曲，這種現象稱作為Magnus效應。軌跡產生彎曲是因其受到力的作用，Magnus力大小與球體轉速以及環境條件密切相關，其方向與速度方向和旋轉方向有關；在乒乓球旋轉飛行過程中，Magnus力的方向會影響乒乓球飛行軌跡以及落點。在乒乓球比賽中，乒乓球6大旋轉球，即上旋、下旋、左側旋、右側旋、順旋以及逆旋都是有著極大威脅的乒乓球攻擊技術，不僅因為乒乓球飛行速度快，更由于旋轉球飛行過程中受到Magnus力飛行軌跡發生偏離使得在比賽過程中對判斷能力提出較高要求。在二維平面中建立乒乓球弧圈球運動方程，分析其空氣動力原理以及飛行軌跡的仿真分析，結果發現，乒乓球轉速對乒乓球軌跡有直接影響，不同轉速的弧圈球的軌跡有著很明顯的差異，Magnus力大小和方向直接導致乒乓球速度以及轉速變化?；贠DE（Open Dynamics Engine）交互式可視化仿真環境，并借鑒網球阻力系數和升力系數，在三維空間對乒乓球旋轉球軌跡進行仿真研究。本文建立乒乓球和球桌三維坐標系，計算乒乓球載荷，建立運動學方程以及給出初始條件，并采用實驗研究所得乒乓球升力系數和阻力系數，探討空氣物性對乒乓球飛行軌跡以及落點的影響。

1　坐標系建立

1.1球桌坐標系

球桌坐標系以球桌一角為坐標原點，在平行球桌長度指向球網方向為X軸方向，平行寬度方向為Y軸，垂直球桌向上為Z軸方向，建立的空間坐標系為右手坐標系；乒乓球飛行軌跡以球桌坐標系為參考，由乒乓球位置參數描述。

1.2乒乓球隨體坐標系

乒乓球隨體坐標X、Y以及Z軸方向分別與球桌坐標系X、Y以及Z軸方向平行，隨體坐標系隨著乒乓球飛行軌跡運動；乒乓球在空中飛行在隨體坐標系坐標軸方向上分解其速度和受力方向，分解得到隨體坐標系下個方向速度參量，從而得到乒乓球在飛行時的位置參量。

2　載荷計算

乒乓球在飛行過程中受到較為多種外力的綜合作用：浮力、重力、空氣阻力以及由于乒乓球旋轉產生的Magnus力。乒乓球飛行中某空間點乒乓球的飛行速度和旋轉軸垂直時，乒乓球旋轉球在飛行過程中所受到的作用力主要有Magnus升力、空氣阻力以及重力；其中重力是垂直向下的，空氣阻力與飛行速度在一條直線上方向相反，Magnus升力垂直飛行速度與旋轉速度所在平面，且三者成右手螺旋定則。

國際乒聯規定比賽所使用乒乓球球和球桌，其幾何參數分別為：乒乓球半徑2cm、乒乓球質量2.7g、球桌尺寸274× 152.5×76 cm以及球桌網高15.25cm。

2.1空氣阻力

乒乓球在飛行過程中受到空氣阻力，其方向與速度方向相反，速度越大，空氣阻力越大，其計算表達式為：

式中：ρ—空氣密度，kg.m-3；r—乒乓球半徑，m；V—乒乓球速度，m.s-1；Cd—阻力系數，實驗研究表明阻力系數由雷諾數Re 和速比SP 的函數決定，Cd表達式為：

式中，v—空氣運動粘度，m2s-1。

2.2Magnus 力

旋轉球在飛行過程因旋轉受到力的作用使其實際軌跡偏離其原有軌跡的現象稱為Magnus 效應，產生這種效力稱為Magnus 力。1852 年，Magnus（Heinrich Gustav Magnus）實驗研究了旋轉圓柱體的Magnus 效應。流體（空氣）經過旋轉球下方因球體旋轉速度方向與流體速度方向相反，因球體表面粘性作用使得流體速度減少，在其上方旋轉速度方向與流體速度方向相同使得流體速度增大。根據伯努利方程可知：球體下方壓力大于上方壓力，從而受到向上的作用力，該作用力大小以及作用力方向也就是Magnus力大小和方向。

研究提出，Magnus力的計算公式以及實驗研究升力系數是雷諾數Re和速比SP的函數，Magnus力計算表達式為：

3　動力學求解

3.1動力學方程

乒乓球在隨體坐標內進行受力分析，如圖1所示。

根據牛頓第二定律在各方向分解作用力以及加速度，建立三維力學方程：

圖1　旋轉乒乓球三維受力示意圖

圖3　乒乓球飛行軌跡

3.2初始條件

在圖3中給出3種不同情況下的初始條件，算例1的初始位置（X，Y，Z）為（0，3，0），環境溫度15℃，壓強1atm，空氣濕度0，初始速度8.34 m.s-1，角度為14℃，角度 為0℃，轉速54rps，旋轉軸角度（定義：沿水平速度方向，旋轉軸與垂直方向所夾的銳角）為-7℃；算例2相比較算例1僅環境溫度不同，算例2環境溫度為32度；算例3相比較算例2僅空氣相對濕度不同，算例3空氣相對濕度為1。

3.3數值求解

以乒乓球初始參數為計算輸入初始條件，采用如圖2所示的程序算法流程求解運動方程得到乒乓球飛行軌跡。在程序計算中當乒乓球未過網超界、碰網以及過網超界，則判定為無效球，輸出其軌跡；當乒乓球過網未超界且落回桌面判定為有效球并輸出軌跡；因無效球軌跡短飛行時間段，為避免誤差僅以有效球軌跡作為結果分析分析對象。

圖2　程序算法流程

注：m—乒乓球質量，g；t—時間，s。

4　結果與分析

如圖3所示，乒乓球飛行軌跡圖分別給出3個算例在X軸位移和Y軸位移軌跡，Z軸方向高度和X軸方向位移軌跡圖。

綜合分析乒乓球飛行各方向上的運動軌跡，乒乓球飛行軌跡圖顯示，算例1在X軸方向最大位移199.34cm，Y軸方向最大位移131.72cm，Z軸方向最大高度19.79cm；算例2在X軸方向最大位移205.90cm，Y軸方向最大位移128.20cm，Z軸方向最大高度19.87cm；算例3在X軸方向最大位移208.19cm，Y軸方向最大位移127.97cm，Z軸方向最大高度19.89cm。

對比分析算例1和算例2，兩者初始條件僅有環境溫度不同，前者溫度15 ，而后者溫度為32℃，由圖3中XZ平面坐標可知后者相對于前者即環境溫度高的X軸方向位移偏大以及Z軸方向高度偏高，圖3表明后者相對于前者Y軸方向位移偏小；分析對比算例2和算例3，兩者僅在初濕度不同，僅在X軸方向位移表現出明顯差別，在其他方向上沒有明顯差別；乒乓球軌跡變化是因為環境溫度以及空氣濕度變化影響密度變化，從而影響Magnus力大小變化。

5　結 論

給定不同的初始條件，求解動力學方程得到不同初始條件下乒乓球飛行軌跡，對結果進行分析，主要得出以下結論。第一，環境溫度高時相比于環境溫度低時，在X軸方向位移大6.56cm，Y軸方向位移小3.52cm，Z軸方向位移大0.08cm；環境溫度變高使得乒乓球軌跡X軸方向邊長，Y軸方向位移縮短，Z軸方向高度變高；第二，空氣濕度大的相比于濕度小的在X軸方向位移大2.28cm，其他方向沒有明顯影響；第三，環境溫度的變化相比于空氣濕度的變化對乒乓球軌跡的影響更明顯。

［ 1 ］劉北湘.運動生物力學運動技術分析與評價［ M ］.成都：四川科學技術出版社.

［ 2 ］岳湘安. 液-固兩相流基礎［ M ］.北京：石油工業出版社，1996.

［ 3 ］楊燁. 全國體育院校2005屆本科生優秀畢業學士論文集［ M ］.北京：人民體育出版社， 2006.

G846

A

1674-151X（2016）05-023-02

10.3969/j.issn.1674-151x.2016.10.012

投稿日期：2015-04-07

余萬（1994—），在讀碩士研究生。研究方向：計算方法和數值模擬。