球柱結合殼焊趾表面裂紋坐標變換有限元建模方法及應力強度因子計算

閆小順，周心桃，黃小平

1中國艦船研究設計中心，湖北武漢4300642上海交通大學海洋工程國家重點實驗室，上海200240

球柱結合殼焊趾表面裂紋坐標變換有限元建模方法及應力強度因子計算

閆小順1，周心桃1，黃小平2

1中國艦船研究設計中心，湖北武漢430064
2上海交通大學海洋工程國家重點實驗室，上海200240

深潛器的上浮和下沉會使得耐壓殼體艙口球柱連接位置存在隨時間變化的交變應力，這有可能引起疲勞破壞，運用裂紋擴展理論進行疲勞預報時需要解決艙口球柱連接位置的應力強度因子計算問題。推薦一種坐標變換建模法，能夠解決球柱結合殼焊趾表面裂紋有限元建模的問題；通過圓管、T型相貫管節點表面裂紋的計算，驗證所推薦方法的精度；以4 500 m級載人深潛器為研究對象，計算一定潛深時耐壓殼艙口焊趾表面裂紋的應力強度因子。所推薦的方法同樣適用于圓柱體、圓錐體、球體或其組合體型式的耐壓結構典型節點三維裂紋應力強度因子計算。

表面裂紋；裂紋擴展；疲勞強度；載人潛器；應力強度因子

0　引　言

載人深潛器耐壓殼體的強度關系到下潛人員的安全。由于幾何特征的變化，使得潛器艙口處產生應力集中，而潛水器的下沉與上浮也使得該位置存在均值和幅值均較大的交變應力，疲勞強度成為設計人員進行強度校核的重要內容。

關鍵承載結構上疲勞裂紋的出現是結構疲勞損傷的必然結果。對含裂紋的結構進行疲勞裂紋擴展預報或進行斷裂評估時，應力強度因子是評估它們失效的重要參量，在裂紋體分析中占據著重要地位［1］。

目前，求解應力強度因子較為典型的方法有解析法、有限元法、權函數法、邊界元法和彈簧法等，應力強度因子手冊［2］中收集的結果大都是根據解析法和有限元法計算結果整理而來。由于解析法只能解決很簡單的穿透裂紋等問題，因此有限元法在求解應力強度因子方面得到廣泛應用。Newman和Raju［3］根據有限元結果給出了平板表面裂紋的應力強度因子計算經驗公式，Bowness和Lee［4］在此基礎上經過大量有限元計算，整理出了T型焊接接頭焊趾放大系數經驗公式。

無論是平板表面裂紋，還是T型接頭、肘板焊趾裂紋，它們的裂紋均在平板上，裂紋面是平面。然而，海洋結構物中還有一些相貫體焊接接頭也是我們需要關心的疲勞熱點，例如，T型管節點（圖1（a））、載人深潛器耐壓殼艙口（圖1（b））、海洋平臺橫撐交叉連接體等（圖1（c））。這些結構焊趾裂紋常常不再是一個平面，而是沿著相貫線的三維曲面，這就使得這些疲勞熱點焊趾表面裂紋的建模及應力強度因子求解變得困難，有關研究也相對較少。邵永波等［5］通過自編單元和程序生成了海洋平臺KK管節點焊趾表面裂紋附近的網格并計算了應力強度因子，顧敏等［6］則利用ANSYS/APDL自編程序縫合得到T型管節點冠點焊趾表面裂紋附近的網格，而關于球柱結合體焊趾表面裂紋應力強度因子計算的相關研究則未見報道。

本文為計算球柱結合殼焊趾表面裂紋的應力強度因子，將首先研究含復雜裂紋相貫體結構的有限元建模方法，并提出思路簡單的坐標變換建模法。然后，通過以圓管周向表面裂紋、T型管節點鞍點表面裂紋為對象，對坐標變換建模法進行詳細描述，并對結果進行驗證。最后，對坐標變換建模法進行應用，計算某載人深潛器耐壓殼艙口焊趾表面裂紋的應力強度因子。

圖1　海洋結構物典型相貫體結構Fig.1　Intersecting structures in ocean engineering

1　有限元法求解應力強度因子

由于當裂紋遇到焊趾時，J積分喪失了積分路徑的獨立性，因此本文選用位移外推法計算應力強度因子。利用Westergaard復變應力函數，可以得到裂紋前緣處位移的理論解，即

式中：u,v,w分別為徑向位移、法向位移和切向位移；r為節點與裂紋尖端的距離；θ為張開角度；o（r）為高階無窮小量；，其中μ為泊松比；KI，KII，KIII分別為裂紋的I，II，III型應力強度因子；G為剪切模量。當已知裂紋前沿位移時，即可通過上式計算三維裂紋I，II，III型應力強度因子KI，KII和KIII的值。

在利用位移插值法時，為了計算的準確性，一般要借助奇異單元來描述裂紋前緣應力的奇異性。相關研究表明［7］，計算裂紋尖端應力強度因子的有限元模型（FEM）中，20節點奇異單元的有限元模型穩定可靠，它所計算的應力強度因子與裂紋尖端附近區域的網格狀態無關，在數值模擬分析中能夠得到穩定的計算結果。因此，本文奇異單元均采用20節點奇異單元。

2　坐標變換建模法及其驗證

2.1圓管周向表面裂紋

本節以圓管周向表面裂紋為研究對象，詳細闡述坐標變換建模法的過程，并進行精度驗證。圓管的幾何尺寸和裂紋大小如圖2所示，該裂紋存在于圓管上，并不是常見的平板裂紋，但它可由平板裂紋變換得到，因為平板是可以彎成曲面板的。

圖2　含周向裂紋圓管示意圖Fig.2　Schematic diagram of a pipe with circumferential crack

如圖3所示，設在xyz坐標系下，模型中任意一點的坐標是（x0，y0，z0）。經式（2）變換后，該點的坐標在x'y'z'下的坐標為（x1，y1，z1），此時的模型就是曲面板模型。

式中，ri為任意節點i的曲率半徑。

圖3　坐標變換坐標系Fig.3　Coordinate system in transformation

坐標變換建模法利用的就是這個原理，即首先在大型商業軟件ANSYS中建立平板有限元模型，其中，體單元采用20節點的Solid 95，裂紋尖端采用20節點奇異單元（下同）。然后，保存節點間的拓撲結構、單元屬性等信息。最后，將節點進行坐標變換，重新生成新的帶裂紋有限元模型，如圖4所示。

圖4　坐標變換前、后的有限元模型Fig.4　Finite element model in coordinate transformation process

為檢驗坐標變換法的精度，本文在圓管兩端加載10 MPa的拉伸應力，求解應力強度因子，并與BS7910［8］提供的公式計算值進行對比，如圖5所示（圖中a/c為表面裂紋深度與裂紋半長的比例）。不難看出，本文推薦的這種有限元方法的計算結果與BS7910公式計算結果吻合較好，從而說明這種建模方法和應力強度因子計算結果是準確可信的。

圖5　圓管周向裂紋應力強度因子對比結果Fig.5　Comparison of SIF results between BS7910 and the proposed method

2.2T型管節點鞍點焊趾表面裂紋

T型管節點是海洋結構物中的典型接頭，也是疲勞破壞容易發生的位置，但由于其裂紋面是一個三維曲面，尤其是鞍點裂紋面，使得該處表面裂紋的應力強度因子求解變得困難。本文嘗試用坐標變換的方法求解，并與實驗歸納結果進行對比。T型管節點鞍點位置處表面裂紋的位置和尺寸如圖6所示。

圖6　T型管節點及鞍點裂紋尺寸示意圖Fig.6　Schematic diagram of saddle point

這里采用子模型技術，粗糙模型如圖7所示。子模型區域則由如圖8所示的T型焊接接頭分兩步進行坐標變換。第1步，從T型焊接接頭變換成一個曲度模型，第2步，再變成T型管節點鞍點處帶裂紋的子模型，如圖9所示。

第1步變換的公式是：

圖7　T型管節點有限元粗糙模型Fig.7　Coarse model of T-type pipe joint

圖8　T型焊接接頭尺寸示意圖Fig.8　Diagram of T-type plate joint

圖9　T型管節點坐標變換建模過程圖Fig.9　Finite element model in coordinate transformation process

為進一步驗證坐標變換的精度，本文在支管加載0.2 MPa的軸向拉伸應力，求解應力強度因子，并與應力強度因子手冊［3］進行對比，對比結果如圖10所示。從圖中可以看出，本文推薦的這種有限元法所得結果與應力強度因子手冊計算結果吻合較好，再次說明了所推薦方法是準確可信的。

圖10　T型管節點鞍點表面裂紋應力強度因子對比圖Fig.10　Comparison of SIF results between empirical formula and the proposed method

3　球柱結合殼焊趾表面裂紋應力強度因子計算

球柱結合殼在船舶及海洋工程領域，尤其是在深潛器耐壓殼體上應用較多。為了基于裂紋擴展理論對深潛器耐壓殼體進行疲勞強度校核，首先要計算典型疲勞熱點處的應力強度因子。某4 500 m級載人潛器耐壓殼體可簡化成如圖1（b）中所示的球柱結合殼［9］，其幾何參數為［10］：耐壓球殼內半徑r0=1 000 mm，厚度t0=52 mm，球殼最大人孔半徑r1=240 mm，如圖11所示。其材料采用Ti80鈦合金，屈服強度為780 MPa，彈性模量為110 GPa，泊松比為0.3。

圖11　載人潛器耐壓殼剖面幾何尺寸圖Fig.11　Dimension of the manned submersible

球柱結合殼焊趾表面裂紋采用本文推薦的方法進行建模，同樣運用子模型技術，首先建立1/8粗糙模型，如圖12所示。

子模型區域可用如圖13所示的板結構坐標變換得到，具體分兩步進行變換（圖14），第1步變換公式為：

圖12　耐壓殼粗糙有限元模型Fig.12　Finite element model of the pressure hull

圖13　坐標變換前結構及其尺寸示意圖Fig.13　Structure dimension before transformation

圖14　含裂紋球柱結合殼坐標變換建模過程圖Fig.14　Finite element model in coordinate transformation process

計算應力強度因子時，對深潛器的外表面加海水靜壓力，本文采用GL規范［11］推薦公式對有限元模型進行加載計算：

式中：P為球殼所受外壓，MPa；d為下潛深度，m。考慮焊接殘余應力σr的影響，且取σr為材料屈服應力的0.3倍；考慮裂紋面接觸的影響，摩擦系數取0.3。由于耐壓殼的受力特點，KII，KIII不容忽略，因此本文采用應變能釋放率相等原則對應力強度因子進行等效，即

本文重點是闡述方法，因此為了便于闡述，圖15僅給出了深潛器下潛500 m時，不同裂紋尺寸組合的表面裂紋表面點和最深點的等效應力強度因子曲線，圖中單位應力強度因子是指將實際計算結果除以殘余應力得到的值。改變深潛器耐壓殼外表面載荷大小，即可得到其他潛深下深潛器耐壓殼焊趾表面裂紋的應力強度因子，而且參數化易于實現變換和計算。

圖15　球柱結合殼焊趾表面裂紋應力強度因子計算結果Fig.15　SIF results of surface crack at weld toe of sphere-cylinder shell

4　結　語

本文研究球柱結合殼焊趾表面裂紋應力強度因子的計算方法，針對較復雜的結構焊趾表面裂紋，提出了一種坐標變換建模法。通過圓管周向裂紋、T型管節點鞍點表面裂紋的建模，詳細描述了這種建模方法；將計算結果分別與BS7910、應力強度因子手冊進行對比，驗證了該方法的精度。以4 500 m級載人深潛器耐壓殼為研究對象，計算了球柱結合殼受外壓下焊趾表面裂紋不同尺寸時的應力強度因子值。

本文推薦的建模方法可以計算外壓、內壓下球柱結合殼、錐柱結合殼、相貫管節點等形式的組合結構焊趾表面裂紋應力強度因子，可為基于斷裂力學分析海洋結構物強度問題提供參考。

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Stress intensity factor calculation for surface cracks at weld toe of sphere-cylinder shells

YAN Xiaoshun1，ZHOU Xintao1，HUANG Xiaoping2

1 China Ship Development and Design Center，Wuhan 430064，China
2 State Key Laboratory of Ocean Engineering，Shanghai Jiao Tong University，Shanghai 200240，China

The sphere-cylinder shell is widely used on ships and ocean engineering，especially in submersible pressure hulls.Submersible floating and sinking process yields alternating stress at the connection part of the sphere and cylinder，causing fatigue damage.However，due to the complexity of the connection around the hatch，the Stress Intensity Factor（SIF）computation of 3D crack at weld toe lacks sufficient research.In this paper，A modeling method based on coordinate transformation is proposed，which can solve the SIF of 3D crack at weld toe of sphere-cylinder combined shells.The accuracy of the proposed method is then verified by calculating surface cracks in pipe and T-shape intersections.Meanwhile，the SIF of surface cracks at hatch weld toe of a 4 500 m manned submersible is also calculated.Furthermore，the method is feasible in calculating SIF of 3D cracks in other types of pressure structures，including cylinders，cones，spheres，or combined ones.

surface crack；crack growth；fatigue strength；manned submersible；stress intensity factor

U661.4

A

10.3969/j.issn.1673-3185.2016.04.009

2016-01-27網絡出版時間：2016-7-29 9:45

閆小順（通信作者），男，1990年生，碩士，助理工程師。研究方向：海洋結構物疲勞與斷裂

分析。E-mail：xsyan701@163.com

周心桃，女，1970年生，研究員。研究方向：船舶結構強度

黃小平，男，1963年生，博士，副教授。研究方向：船舶與海洋結構物疲勞與斷裂