基于超松弛解析迭代方法的多導體傳輸線電磁脈沖響應計算方法

郭俊，李妮，張建功，謝彥召

1西安交通大學電氣工程學院，陜西西安7100492電力設備電氣絕緣國家重點實驗室，陜西西安7100493中國電力科學研究院，湖北武漢4300744電網環境保護湖北省重點實驗室，湖北武漢430074

基于超松弛解析迭代方法的多導體傳輸線電磁脈沖響應計算方法

郭俊1，2，李妮3，4，張建功3，4，謝彥召1，2

1西安交通大學電氣工程學院，陜西西安710049
2電力設備電氣絕緣國家重點實驗室，陜西西安710049
3中國電力科學研究院，湖北武漢430074
4電網環境保護湖北省重點實驗室，湖北武漢430074

電磁脈沖會在多導體傳輸線中感應出較高幅值的感應電壓和電流，對傳輸線端接設備等具有嚴重威脅。所以，對多導體傳輸線進行建模，分析多導體傳輸線電磁脈沖響應對于預測電力線的電磁脈沖效應，研究其保護方法具有重要的意義。在多導體傳輸線建模方面，傳統的鏈參數矩陣算法由于存在大量的矩陣求逆運算，在存在大量線纜時其計算速度較慢?；诖藛栴}，提出了基于解析迭代方法的多導體傳輸線電磁脈沖響應計算方法（DARIT-field），該方法在求解每根線纜上的響應時，將臨近線纜的串擾耦合效應等效為在臨近線纜上均勻分布的激勵源，計算過程得到了大幅簡化。并對基于不同迭代方法的多導體傳輸線電磁脈沖響應計算方法進行了對比，最后利用實例對每種方法的優、缺點進行了對比。

解析方法；電磁脈沖；迭代方法；暫態分析；傳輸線模型；波形松弛

0　引　言

高空核爆電磁脈沖（HEMP）一般由爆高在30 km以上的核爆炸產生，其中的E1成分頻譜覆蓋范圍包括中頻、高頻、甚高頻甚至一些超高頻波段的信號，具有輻射范圍廣，峰值場強高和頻譜寬的特點［1-5］，會在艦船上的多導體傳輸線上耦合感應出幅值較高的感應電壓和電流，嚴重威脅到傳輸線終端端接的各類負載設備［6-16］。因此，多導體傳輸線電磁脈沖響應建模計算對于艦船電磁脈沖響應評估具有重要意義。

傳統的對多導體傳輸線電磁脈沖響應計算方法是鏈參數矩陣算法，該算法通過對傳輸線電報方程矩陣進行相模變換求解，可以準確地得到線纜中的響應電壓和電流。但由于多導體傳輸線中所有線纜都存在串擾耦合效應，該方法在計算過程中需要進行大量的矩陣求逆運算來進行解耦，計算效率低下。為了應對這一問題，基于解析迭代算法的多導體傳輸線電磁脈沖響應計算方法（DARIT-field算法）是較好的解決方法［17］。該算法利用解析迭代的方法來對傳輸線電磁脈沖響應進行計算，該方法在求解每根線纜上的響應時將臨近線纜的串擾耦合效應等效為臨近線纜上分布的激勵源，而在求解過程中采用迭代的方法進行逐步求解。在第一步迭代時，只考慮電磁波對各線纜的作用，而從第二步迭代開始，將考慮線纜之間的串擾效應。相比傳統算法，其計算效率大幅提高。但是，以往的DARIT-field算法都是基于Jacobi迭代以及Gauss-Seidel迭代等傳統迭代方法。而從迭代方法來說，Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代方法分別是超松弛迭代方法JOR迭代和SOR迭代方法的特殊情形。在JOR迭代和SOR迭代中的松弛因子等于1的情況下，此兩種迭代方法就分別等于Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代方法。而當松弛因子等于最佳值時，JOR算法或SOR算法可能會具有相比Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代更高的收斂速度［18］。本文將提出一種基于超松弛迭代的多導體傳輸線電磁脈沖響應解析迭代算法，并將該算法與基于傳統迭代的算法進行對比。

1　理　論

所研究的場線耦合問題如圖1所示。

圖1　多導體傳輸線結構示意圖Fig.1　The configuration of the MTLs model

如圖1所示，多導體傳輸線由N根導線組成，長度為L，導體兩端均端接線性負載。所有導體均處于電磁脈沖的輻照之下，在計算中，首先將電磁脈沖激勵變換到頻域，對每一個頻率下的響應進行求解，最后再將其響應變換到時域即可得到傳輸線兩端的電壓和電流的時域響應結果。頻域下多導體傳輸線的電報方程矩陣形式如下：

式中：V（x,s）為傳輸線的沿線電壓矩陣；I（x,s）為傳輸線沿線電流矩陣；Z'為傳輸線的波阻抗矩陣；Y'為傳輸線的導納矩陣；s為拉普拉斯算子。

將方程寫為離散形式，則第i根導線的電報方程為：j≠i

Jacobi迭代：

Gauss-Seidel迭代：

由上述方程可以看出，迭代公式等式的右邊分為兩部分，第一部分（A部分）為與每一步迭代后的電壓和電流值有關的迭代項，第二部分（B部分）為一個常數項，其在每一步迭代中都相等。由于上述微分方程為二元一階微分方程，為了求解，對式（3）進行如下變換：其中：

式中：zc,i為第i根傳輸線的特征阻抗。聯立方程（8）進行求解。其初始值利用BLT方程求解，其BLT方程的源項為：

式中：γi為第i根傳輸線的傳播因子。由式（12）可知，每一步迭代的BLT源項分為A，B兩部分，A部分與每一步的電壓和電流值有關，在每一步迭代中都是不同的，而B部分與外加電磁場有關，其值在每一步迭代中都相同。

JOR迭代方法和SOR迭代方法可分別由Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代方法擴展而來。其每一步迭代后的結果分別為基于Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代本步迭代和上一步迭代的加權平均，加權因子即為松弛因子。其迭代過程如下。

JOR迭代：

式中：ωJOR為JOR迭代中的超松弛因子；ωSOR為SOR迭代中的超松弛因子；vJOR，iJOR為JOR迭代的電壓和電流計算結果；vj，ij為Jacobi迭代中的電壓和電流計算結果；vSOR，iSOR為SOR迭代的電壓和電流計算結果；vGS，iGS為Gauss-Seidel迭代中的電壓和電流計算結果。

2　算例及模型驗證

為了對基于幾種不同迭代方法的多導體傳輸線電磁脈沖響應計算方法進行驗證，本節將設置具體算例來對算法進行驗證，在每種算例下，均利用4種迭代算法與常規算法進行計算，并進行對比，以說明算法的有效性。入射波形均為1996年頒布的IEC61000-2-9中所規定的標準波形，該波形為雙指數波形，定義為

式中：E0為峰值場強，數值為50 kV/m；k為修正系數，數值為1.3；α為表征脈沖前沿的參數，數值為6.0×108s-1；β為表征脈沖后沿的參數，數值為4.0×107s-1。

考慮平行放置的3根導線，長度為0.5 m，高度為0.01 m，線纜距離為0.01 m，線纜半徑為0.001 m，線纜兩端端接負載均為50 Ω，地面為有損大地，其介電常數為10，電導率為0.01 S/m。電磁波入射角度為α=0°，ψ=30°，φ=0°。JOR算法的松弛因子為0.52，SOR算法的松弛因子為0.8。則經過幾種算法計算后的線纜1末端電壓與經過常規算法計算所得結果對比如圖2所示。由圖中可以看出，幾種迭代算法得到的結果與傳統算法均具有不同程度的一致性。幾種不同算法的耗時對比如表1所示（采樣點數為1 024，電腦配置為Core i5 2.8 GHz，8 GB RAM）

圖2　線纜1末端電壓迭代算法與常規算法計算結果對比圖Fig.2　The far-end response of wire 1 with different methods

表1　計算時間的比較Tab.1　Comparison of the CPU cost

由表1可以看出，迭代方法所用時間大幅少于傳統方法。

為了定量比較幾種算法的精確度，引入了基于頻域能量的相對誤差，其定義式為

式中：Nf為計算中的采樣點數；fk為波形在第k個頻點的幅值；S1與S2為待比較的2個波形。本算例中頻點數為512個，則幾種算法的相對誤差如表2所示。不同迭代步數下幾種算法的相對誤差如圖3所示。

表2　幾種算法的相對誤差比較Tab.2　Relative errors of each method

圖3　不同迭代步數下幾種算法的相對誤差Fig.3　The relative error of the four methods at different iteration steps

由表2可以看出，不同的算法其精度不同，且都隨著迭代步數的增加，誤差減小。相比而言，在松弛因子取值合適的情況下基于超松弛迭代的傳輸線響應計算方法相比傳統Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代算法具有較好的精度。

3　結　語

本 文 分 別 對 Jacobi-DARIT-field算 法 、Seidel-DARIT-field算法、JOR-DARIT-field算法和SOR-DARIT-field算法這4種基于不同迭代方法的傳輸線電磁脈沖響應解析迭代算法進行了介紹。通過模型算例的驗證，可知所提出的迭代方法在保證計算精度的前提下具有較高的計算效率。在幾種不同迭代算法的比較中，在松弛因子取值合適的情況下，JOR-DARIT-field算法和SOR-DARIT-field算法相比Jacobi-DARIT-field算法和Seidel-DARIT-field算法具有更好的計算精度。而最佳松弛因子的選取標準則較為復雜，還需進行更深入的研究。

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Prediction of EMP coupling to multi-conductor transmission lines with the over relaxation analytical iterative methods

GUO Jun1，2，LI Ni3，4，ZHANG Jiangong3，4，XIE Yanzhao1，2

1 School of Electrical Engineering，Xi'an Jiaotong University，Xi'an 710049，China
2 State Key Laboratory of Electrical Insulation and Power Equipment，Xi'an 710049，China
3 China Electric Power Research Institute，Wuhan 430074，China
4 Hubei Province Key Laboratory of Power Network Environmental Protection，Wuhan 430074，China

The Distributed Analytical Representation and Iterative Technique（DARIT）is proposed in this paper for the calculation of electromagnetic pulse（EMP）radiated field coupling to multi-conductor transmissionlines（MTLs）.Traditionally，thetechniqueadoptstheJacobi iterationscheme（Jacobi-DARIT-field）or the Gauss-Seidel iteration scheme（Seidel-DARIT-field）.More recently，based on these two methods，the JOR-DARIT-field and SOR-DARIT-field methods have been developed as well.This paper compares the four methods from the perspectives of accuracy and convergence speed，etc.

analytical solution；electromagnetic pulse；iterative method；transient analysis；transmission line modeling；waveform relaxation

U665.26；TJ91

A

10.3969/j.issn.1673-3185.2016.04.018

2015-10-15網絡出版時間：2016-7-29 9:45

國家自然科學基金面上項目（51277148）；國家電網公司基礎性前瞻性項目（EPRI4120-14039）

郭俊（通信作者），男，1986年生，博士生。研究方向：傳輸線電磁脈沖響應建模方法。

E-mail：a4edward@hotmail.com

李妮，女，1982年生，碩士，工程師。研究方向：電網電磁環境，電磁兼容及標準化研究。

E-mail：lini000@163.com