基于不同模型的正交加筋板低頻振動和聲輻射分析

高雙，朱翔，李天勻，王迪

華中科技大學船舶與海洋工程學院，湖北武漢430074

基于不同模型的正交加筋板低頻振動和聲輻射分析

高雙，朱翔，李天勻，王迪

華中科技大學船舶與海洋工程學院，湖北武漢430074

正交加筋薄板在船舶結構中應用十分廣泛。從簡化加筋板模型的角度出發，基于李茲法能量泛函變分原理推導加筋板的能量求解；并針對雙向加筋板基于正交異性板理論和相當板厚理論提出2種簡化方法，對3種模型模擬的加筋板推導其固有頻率的解析公式。計算表明：3種正交加筋板模型在求取低階固有頻率時均具有良好的精度。在此基礎上研究了基于3種模型的加筋板在空氣中和水中的聲輻射特性，為加筋板組合結構的振動和低頻聲輻射問題提出了新的簡化思路。

正交加筋板；李茲法；正交異性板理論；相當板厚理論；聲振特性

0　引　言

加筋薄板結構被廣泛地用于艦船結構，因而關于艦船實際結構的振動和聲學性能研究可以通過先研究加筋薄板的振動和聲學性能來模擬。由于船體本身具有體積龐大、結構復雜等特點，在保證計算的準確性和可靠性的前提下，是否可以找到一個代理模型［1］或者簡化模型，已成為國內外學者們關注的熱點。Chen等［2］使用有限差分法研究了單筋矩形加筋板的自由振動特性。Mead等［3］采用二維周期結構的波傳播方法對常規正交陣列均勻梁鋼筋進行了研究。Mace［4］在研究流體載荷下正交異性加筋板的聲輻射問題中，用板梁的變形表征筋的作用力響應，得到點激勵作用下遠場聲壓特性表達式。曾子平等［5］應用拉格朗日乘子法，通過引入拉格朗日乘子將板、梁組合結構的振動分析問題處理成一類無約束能量泛函變分問題，通過建立組合結構的廣義特征值問題求解此類問題。朱翔等［6］在船用加筋板低頻聲輻射工程計算研究中，結合有限元分析軟件給出的計算結果，提出了板結構、加筋板結構在低頻激勵下聲輻射的計算方法和計算公式。魏強等［7］針對兩種大小骨材不同的典型加筋板，通過算例討論了小筋、阻尼等參數對輻射效果的影響。李凱等［8］基于結構聲強法研究了加筋板結構振動能量的傳輸和耗散特性。在研究簡化計算中，唐銳等［9］基于歐拉梁理論，提出一種水下梁模型等效計算的方法。對于加筋板，將骨材平攤到板上時，其簡化后各方向剛度不同，可以利用正交異性板理論［10］求解。成祥生［11］對密加筋板問題進行處理，將加強筋的剛度折算到薄板的剛度，將帶有加強筋的各向同性板變換為無筋條的各向異性板，大幅簡化了計算。

本文將首先給出四邊簡支平板振動問題的推導，充分考慮板與加強筋在特定邊界條件下的振動特性，將正交加筋板的結構動力學分析問題轉化為基于李茲法的能量泛函變分問題處理，推導加筋板組合結構的振動分析相關公式，并基于平板的動力學方程推導正交異性板的振動方程。然后根據推導的公式以實際的典型加筋薄板結構為例應用3種方法計算加筋板的固有頻率，并與有限元仿真結果進行對比分析，討論這3種計算方法求解的基頻誤差隨骨材密度變化的規律。為進一步分析其聲學特性，還將利用模態疊加法計算對比正交異性板理論和相當板厚理論得出的聲輻射特性，并與未簡化的原始加筋板進行對比，驗證不同處理方法的合理性。

1　基本理論

1.1四邊簡支平板振動特性分析

四邊簡支薄板結構的自由振動方程為［12］

式中：a，b分別是沿兩個方向的長度；m和n分別是沿板兩個方向的半波數。

1.2基于李茲法的加筋板振動分析

設一塊四邊簡支加筋板，長為a，寬為b，板厚為h。板上縱橫加筋，橫向加筋數為imax，縱向加筋數為 jmax。以角點為坐標原點，橫向為x軸，縱向為y軸。加筋板簡化模型如圖1所示。

圖1　加筋板簡化模型Fig.1　A simplified model of stiffened plate

薄板彎曲自由振動滿足：

式中：，Ep為板的彈性模量；Wp為板的中面法向振動位移函數；Mp=ρph，為板的單位面積質量。

橫向等截面梁的自由彎曲振動微分方程為

式中：Wb為梁的中線面位移函數；Eb為梁的彈性模量；Ib為梁的截面慣量矩；ρb為梁單位長度的質量。

加強筋可看作兩端簡支梁，由此，板的撓度，第i根橫向加強筋的撓度，第j根縱向加強筋的撓度可以假設為

式中：Wp為板的撓度函數；為橫向加強筋的撓度函數；為縱向加強筋的撓度函數；Amn為板的幅值；為橫向加強筋的幅值；為縱向加強筋的幅值。根據位移連續條件，在板與加強骨材結合部滿足：

求解上式可以得到如下方程［5］：

組合梁板按固有頻率作自由振動時，各部分的能量泛函滿足：

加筋板的總能量泛函可以表示為

對于任意模態階數（p，q）滿足最小能量原理

將如式（11）所示系列方程寫成矩陣的形式：

式中：向量A是幅值Apq的集合。當p，q選取截斷項數P，Q時，可以求解上述方程。

因為幅值Apq不全為零，所以滿足

從式（13），可以求得一系列頻率值，將頻率代入矩陣C=K-ω2M中，求解CA=0，即得可解的幅值A，其中某不為零的元素Aij，即為該頻率對應的振型（i，j）。

1.3加筋板薄板基于彎曲理論的正交異性板簡化

對于正交加筋板，由于正交方向的剛度不一致，可以考慮采用正交異性板理論進行簡化模擬。正交各向異性板的自由振動微分方程［11］

式中：E1,E2為正交異性板在x，y方向的楊氏模量；，G為剪切模量；μ1，μ2為x，y方向上的泊松比，文中 μ1=μ2=μ=0.3。

對四邊簡支正交異性板推導同理于第1.1節中的平板，有

式中：M為將所有筋條平鋪在薄板上后所得正交各向異性板的單位面積的質量；m，n為整數，求解不同振型的固有頻率。

設橫縱骨材的楊氏模量分別為Ebi和Ebj；慣性矩分別為Ibi和Ibj；骨材間距為a1，b1。將加筋板的平板和骨材剛度折算為正交異性板的x，y方向上的主剛度，有［11］

1.4相當板厚理論直接平攤的簡化計算

根據船體強度與結構設計［13］，對加筋板的處理也可將加筋板的骨材面積完全平攤到平板上。因此，不改變板的材料屬性，僅改變板厚有

式中：h0為平板厚；Axi，Ayj分別為橫向和縱向骨材的截面面積。

平攤后，平板厚度會相應增加，其剛度和單位面積質量也會增加。得到相當板厚后，將骨材參數轉換為板的厚度改變，其固有頻率的計算推導與第1.1節中平板的相同。

2　計算結果及分析

2.1加筋板的振動特性分析

為避免骨材偏置對結果分析的影響，本文采用方鋼，且在計算中不考慮扭矩影響，平板兩側均加縱橫骨材，平板和骨材均為鋼材，物理屬性相同，如圖2所示。板和梁的尺寸和材料參數如表1所示。ANSYS求解時，板結構采用的是Shell 63殼單元，梁結構采用的是Beam 181梁單元。

首先，選擇四邊簡支平板分析，利用振動方程和有限元法計算其自由振動特性，得出ANSYS有限元仿真和基于解析計算的前10階固有頻率結果如表2所示。

圖2　加筋板示意圖Fig.2　Schematic diagram of stiffened plate

表1　加筋板參數取值表Tab.1　Stiffened plate parameters

表2　四邊簡支平板前10階固有頻率的仿真和解析解對比Tab.2　Comparison between simulated and analytical results of the first ten-order natural frequencies

由表2可知，對于四邊簡支平板，有限元仿真和解析兩種方法得出的結果具有很好的吻合度，相互驗證了ANSYS有限元仿真結果和解析結果的準確性。因此，本文在應用不同的簡化分析方法計算加筋板的固有頻率時，以有限元仿真計算結果為基準，進行參照對比。

對于加筋板，具體參數如表1所示，取橫縱骨材數為imax=15，jmax=7（骨材間距為0.125 m）。應用李茲法求解時，要對函數的收斂性進行分析，當P=Q=5時，函數就有較為良好的收斂性，故而在運用李茲法計算時可以選取截斷項數P=Q=5。分別應用ANSYS仿真結果對比李茲法、正交異性板理論和相當板厚理論3種不同模型的解析方法得出的結果如表3所示。

由表3可以發現，在低階3種解析結果的誤差都比較小，尤其對于前幾階；并且利用正交異性板理論計算的前5階結果誤差在5%以內。因此，驗證了3種方法計算加筋板固有頻率的準確性。

表3　不同分析方法對應加筋板振動固有頻率Tab.3　The natural frequency of stiffened plate with different analysis methods results

同時考慮到骨材密度對3種方法求解加筋板振動的影響，計算了不同骨材密度情況下3種方法求解得到的加筋板首階固有頻率，將其與有限元解進行對比，并作圖給出了與有限元解的誤差隨橫縱骨材數目imax，jmax取值的變化情況，如圖3～圖5所示。

圖3　李茲法計算加筋板首階固有頻率誤差隨橫縱骨材數目變化Fig.3　The error of the first natural frequency calculated by the Ritz method changes with the number of transverse and longitudinal stiffeners

圖4　正交異性板簡化計算加筋板首階固有頻率誤差隨橫縱骨材數目變化Fig.4　The error of the first natural frequency calculated by orthotropic plate theory changes with the number of transverse and longitudinal stiffeners

圖5　相當板厚板簡化計算加筋板首階固有頻率誤差隨橫縱骨材數目變化Fig.5　The error of the first natural frequency calculated by the equivalent thickness method changes with the number of transverse and longitudinal stiffeners

由圖3～圖5可知，以有限元數值解為參考值，分析3種計算方法所求的基頻誤差與橫縱骨材密度之間的關系，可以發現，整體上正交異性板簡化處理加筋板的方法求解的基頻誤差最小，均在7%以內。但此法計算求解的基頻誤差并不隨骨材密度變化而成正相關關系，在本例中當橫縱骨材密度在5左右時誤差最小，當橫縱骨材過密時其誤差反而增加。李茲法處理加筋板時誤差也相對較小，均在10%以內，隨著骨材密度增加，李茲法計算的誤差會越來越大。相當板厚法簡化處理加筋板時則總體誤差相對較大，并且該方法對骨材的密度要求較高，只有當骨材密度適中時誤差較小，骨材密度偏大或偏小，帶來的誤差均較大，當骨材過密時其誤差甚至達到45%。

總體而言，李茲法和正交異性板簡化方法在處理加筋板振動問題時相對準確。應用正交異性板理論將加筋板簡化為平板進行計算，可以在保證計算精度的同時很大程度上減小建模和計算的工作量。

2.2加筋板的低頻聲輻射特性分析

利用正交異性板理論和相當板厚理論簡化計算加筋板的振動特性時有一定的可靠性，為了進一步分析兩種不同簡化方法的準確度和適用性，有必要對3種不同簡化方法對應的加筋板進行聲輻射特性分析。在上節的模態計算基礎上，將結構在模態空間中采用有限元法描述，聲場采用邊界元模型描述，利用結構和聲場直接聲振耦合的模態疊加法進行聲場的計算，對比不同簡化方法下加筋板在低頻段的聲學特性。加筋板聲輻射計算模型與振動分析模型相同，其參數如表1所示。板四邊簡支約束，在板中心位置施加單位大小且垂直于板面的點激勵力，取計算步長為2 Hz，考慮不同簡化方法在不同的聲場介質中的適用性，將聲場介質分別設置為水和空氣，計算近場聲壓，場點位置距板中心1 m處。

參考聲功率為W0=1×10-12W，空氣中參考聲壓為 P1=2×10-5Pa，水中參考聲壓為P2=1×10-6Pa。計算得到加筋板的聲壓級和輻射聲功率級對比結果如圖6所示。

圖6　介質分別為空氣和水時，3種分析方法對應的聲壓級和聲功率級對比Fig.6　Comparison of the sound pressure level and sound power level corresponding to three kinds of analysis method in the case of air or water medium

由圖6（a）和圖6（b）結果對比可知，當介質為空氣時，應用相當板厚理論平攤簡化加筋板的方法計算的聲壓級和聲功率級與原始加筋板計算結果吻合較好，應用正交異性板理論計算結果在頻域上變化趨勢一致，曲線往高頻方向偏移。由圖6（c）和圖6（d）可知，當介質為水時，應用正交異性板理論簡化加筋板的方法計算的結果，除25 Hz處的峰值點有出入外，整體隨頻率變化趨勢與原始加筋板計算結果吻合得較好，而應用相當板厚理論計算結果則與原始加筋板計算結果偏差較大，說明當介質為水時，考慮附連水作用后，相當板厚理論簡化方法不再適用。

3　結　論

本文基于工程實際，從簡化模型的角度出發，對雙向加筋板提出了兩種簡化方法，并通過推導，得到采用不同簡化模型求解加筋板的固有頻率的解析解，然后基于模態疊加法，分別研究了加筋板不同簡化方法在低頻段相同激勵下，不同介質中的聲輻射特性并得到如下結論：

1）在低階情況下，李茲法、正交異性理論和相當板厚理論3種解析計算結果和仿真結果對比的誤差都比較小，為加筋板組合結構的自由振動問題提出了新的簡化思路。

2）通過骨材布置密度對首階固有頻率的影響分析可知，應用正交異性板理論和相當板厚理論兩種簡化方法時，為保證計算結果的精度與可靠性，需要考慮在加筋密度適當的情況下應用。

3）不同介質中加筋板的聲輻射特性不一，不同簡化方法所適用的情況也不一：當介質為空氣時，介質耦合較弱，應用相當板厚理論簡化加筋板在低頻可以得到較好的結果，但是隨著頻率增大，誤差也會變大；當介質為水時，介質耦合較強，正交異性板理論簡化加筋板結果吻合度更好，因此在工程實際中，考慮船體加筋密度和介質屬性，可以對船體加筋板進行適當簡化求解。

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網絡出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/42.1755.TJ.20160729.0945.022.html期刊網址：www.ship-research.com

引用格式：陳景昊，吳衛國，林永水.基于有限元能量流的混合結構間耦合損耗因子［J］.中國艦船研究，2016，11（4）：79-86.

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Vibration and acoustic radiation characteristics of orthogonal stiffened plates based on different models

GAO Shuang，ZHU Xiang，LI Tianyun，WANG Di
School of Naval Architecture and Ocean Engineering，Huazhong University of Science and Technology，Wuhan 430074，China

The orthogonal stiffened plate is widely used in the field of marine engineering.Taking a simplified model of stiffened plates as the research target，and based on the Ritz method and the energy functional variation principle，the energy formulations of stiffened plates are deduced in this paper.For the orthogonal stiffened plate，two kinds of simplified methods（the orthotropic plate theory and the equivalent thickness method）are proposed.The analytical formulations of natural frequency of three stiffened plate models are discussed.It is observed that the analytical natural frequencies agree well with those from FEM results. Finally，the acoustic radiation characteristics of three stiffened plate models in the water，as well as in the air，are calculated.Overall，the proposed simplified method presents a new perspective for the vibration and low frequency acoustic radiation problem of orthogonal stiffened plates.

orthogonal stiffened plate；Ritz method；orthotropic plate theory；equivalent thickness method；vibration and acoustic radiation

U661.44

A

10.3969/j.issn.1673-3185.2016.04.011

2015-09-02網絡出版時間：2016-7-29 9:45

國家自然科學基金資助項目（51479079）；船舶預研支撐技術基金資助項目（13J1.3.2）

高雙，男，1990年生，碩士生。研究方向：結構振動與噪聲控制。

E-mail：gaoshuang2010@hust.edu.cn

朱翔（通信作者），男，1980年生，博士，副教授。研究方向：結構振動與噪聲控制。

E-mail：zhuxiang@hust.edu.cn