充液圓筒形容器薄膜應力計算方法教與學探討*

蘇　清，曹尹亮，李倩欽，張程遠，王　剛

(吉林大學化學學院，吉林　長春　130012)

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充液圓筒形容器薄膜應力計算方法教與學探討*

蘇清，曹尹亮，李倩欽，張程遠，王剛

(吉林大學化學學院，吉林長春130012)

微體平衡方程和區(qū)域平衡方程是求解薄壁容器薄膜應力的兩個重要方程，然而在充液容器中，由于液體壓力隨液體深度呈線性變化，容器中薄膜應力的計算不能直接套用公式。本文通過具體例題的多角度的分析講解并與學生進行深入的探討，以加深學生對經(jīng)向薄膜應力產(chǎn)生的本質的理解，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維與聯(lián)想能力，提高學生運用抽象數(shù)學知識解決工程實際問題的能力。

液體靜壓；薄膜應力；圓筒形容器；教與學

微體平衡方程和區(qū)域平衡方程是求解受均勻氣體內壓作用的薄壁容器薄膜應力的兩個重要方程[1]:

微體平衡方程:

(1)

區(qū)域平衡方程:

(2)

式中：σm——經(jīng)向薄膜應力，MPa

σθ——環(huán)向薄膜應力, MPa

p——內壓(表壓), MPa

R1——容器上任一點的第一曲率半徑，mm

R2——與R1同點處的第二曲率半徑，mm

δ—殼體壁厚，mm

對于承受氣壓的容器，不管容器的形狀如何，只要知道容器任一點的R1和R2的數(shù)值，就很容易根據(jù)上述兩個方程求出其任一點處的σm和σθ。對于液壓容器，液體壓力隨液體深度而呈線性變化[2]，容器任意點處的σm還與容器的支撐形式有密切的關系[3],不能直接套用這兩個方程求解。

在教學中，選用了董大勤[4]編的書籍為教材，為了檢驗學生對薄膜應力以及上述兩個方程的運用的掌握程度，特留了課本中的作業(yè)題(例一)作為課后作業(yè)。經(jīng)過這幾年教學實踐，從學生作業(yè)的批改結果來看，對于問題中的(1)(2)問，大部分同學做對了，也能理解，但對于后面的幾問，只有個別同學清楚σm產(chǎn)生的本質，并正確求解。大部分同學為了完成作業(yè)，在不理解的情況下甚至直接抄課后答案。本文將以例一為例，通過詳細的解題過程、建立合適的力學模型以及和學生的深入探討力求使同學們將σm的本質弄清楚。

1　例題常規(guī)解析

例一．圖1所示為三個直徑D、壁厚δ和高度H均相同的容器，容器內充滿常壓液體，液體密度均為ρ，整個殼體通過懸掛式支座支撐在立柱上，試問(1)三個容器底板所受到的液體總壓力是否相同？為什么？(2)三個容器所受到的支撐反力是否相同(不計容器自重)？為什么？(3)三個容器的A-A截面上的σm是否相等？為什么？寫出σm計算式。(4)三個容器的B-B截面上的σm是否相等？為什么？寫出σm計算式。(5)若三個容器均直接置于地面上，那么三個容器的A-A橫截面上的σm是否相等，為什么？

圖1　中部支撐承受液壓的具有不同封頭形式的圓筒形容器Fig.1　cylindrical container with different head forms supported by the central support

解：(1)相等。

因為液面高度相同。三個容器底板所受到的液體總壓力均為(πD2/4)ρgH。

(2)不同。

因為液體重量不同。在不計容器質量的前提下，支座總的支反力與容器所盛裝的液體的重量相同。故三種不同封頭的容器支座總的支反力分別為：

F總，平=0.25πD2ρgH

F總，半球=0.25πD2ρgH-(1/24)πD2ρgD

F總，錐=0.25πD2ρgH-(1/12)πD2ρgD

(3)相等。

采用截面法，均以A-A截面下半部分容器為研究對象。雖然容器頂部封頭的形狀不同，但高度相同，液體靜壓對于底部的壓力相同。由于A-A截面位于支撐的下部，故對于A-A截面下半部分受力相同，受力分析均如圖2(a)所示。

由靜力學平衡得：

σmAπDδ=(ρgHπD2)/4

解得：

σmA=(ρgHD)/(4δ)

(4)不等。

采用截面法，均以B-B截面下半部分為研究對象。受力分析如圖2(b)所示。

對于平頂容器，由靜力學平衡方程得：

2F1+σmB,平πDδ=0.25πD2ρgH

∵2F1=F總，平=0.25πD2ρgH

∴σmB,平=0

同理，對于半球形頂容器，有:

2F2+σmB,圓πDδ=0.25πD2ρgH

∵2F2=F總，圓=0.25πD2ρgH-(1/24)πD2ρgD

∴σmB,圓=(ρgD2)/(24δ)

對于錐頂容器，有:

2F3+σmB,錐πDδ=0.25πD2ρgH

∵2F3=F總，錐=0.25πD2ρgH-(1/12)πD2ρgD

∴σmB,錐=(ρgD2)/(12δ)

(5)不等。

將三個容器均直接置于地面上相當于支撐在容器的底部，受力分析如圖2(c)所示：F總，支等于各不同封頭容器的液體重力，分別等于(2)問中各不同封頭容器的支座總反力。根據(jù)靜力學平衡方程并求解得:

σmA,平=0；σmA,圓=(D2ρg)/(24δ),σmA,錐=(D2ρg)/(12δ)

結論：

A.當容器內盛裝液體介質時，容器的支撐方式不同會影響器壁內的應力。

B.由于軸向應力的計算公式σm=(pR2)/(2δ)是根據(jù)部分殼體的受力平衡得到的，公式中的p為常量時才能直接應用[5]。

2　建立力學模型求解截面應力

事實上，對于(3)～(5)中σm的求解也可以采用數(shù)學建模的思想，建立軸向拉伸的力學模型，并采用截面法的方法。分別建立如圖2(d)(針對(3、4)問)和2(e)(針對(5)問)的力學模型。相當于橫截面是圓環(huán)形、中徑為D、厚度為δ的桿件，受到三個軸向外力的作用處于平衡狀態(tài),F1為液體靜壓作用在封頭上產(chǎn)生的軸向分壓的合力；F2為支撐對容器作用的合力；F3為液體靜壓作用在容器底部的合力。對于(3)、(4)問分別相當于求取圖2(d)中A-A截面上的應力和B-B截面上的應力；對于(5)問相當于求取圖2(e)中A-A截面上的應力。

圖2　中部支撐A-A截面下半部分(a)、 B-B截面下半部分(b)和底部支撐A-A截面 下半部分(c)的受力分析圖,中部支撐軸向拉伸力學模型(d)和 底部支撐軸向拉伸力學模型(e)Fig.2　The stress analyses of the lower part of A-A (a) and B-B (b) cross sections supported by the central support as well as A-A cross section (c) supported by the bottom, mechanical model of axial tension cylinder (d) supported by the central support and (e) supported by the bottom

2.1靜力學平衡求解

對于平頂封頭，F(xiàn)1=0，F(xiàn)2=F3=0.25πD2ρgH；對于半球形封頭，F(xiàn)2=0.25πD2ρgH-(1/24)πD3ρg，F(xiàn)3=0.25πD2ρgH，則以桿件整體為研究對象，由靜力學平衡方程解得F1=(1/24)πD3ρg；對于錐形封頭，F(xiàn)2=0.25πD2ρgH-(1/12)πD3ρg,F3=0.25πD2ρgH, 同理，求得F1=(1/12)πD3ρg。已知F1，F(xiàn)2和F3的大小，則采用截面法，可以很容易求得A-A截面和B-B截面上的應力，即為圓筒形容器的σm。

2.2積分法求解

圖3　承受液體靜壓錐形封頭受液體靜壓(a)、 微元環(huán)受力(b)和微元環(huán)上小微元受力(c)示意圖Fig.3　Hydrostatic conical head: stress schematic diagrams of whole head (a), micro ring (b) and small element on micro ring (c)

3　學生對問題的思考與解析

在講到積分求解F1時，有學生提出疑義，具體如下：

圖4　承受液體靜壓半球形封頭幾何尺寸(a)、 微元環(huán)投影(b)和微元環(huán)受力(c)示意圖Fig.4　Hydrostatic hemispherical head: schematic diagrams of geometric dimension (a), micro ring projection (b), and small element on micro ring (c)

如圖4所示為受液體靜壓半球形封頭，幾何尺寸示意圖如

圖4(a)所示，設與封頭底邊夾角為θ處取一小微元環(huán)(微元環(huán)球面半徑夾角為dθ)，其投影圖如圖4(b)所示，該圓環(huán)所受液體靜壓力示意圖如圖4(c)所示。該微元圓環(huán)上作用的液體靜壓垂直于圓球面，大小為p=ρgr(1-sinθ)，微圓環(huán)面積dS=2πr2cosθdθ，且球面微元環(huán)上的力在水平方向的分力的合力為零，在豎直方向上的分力的合力為：ΔFy=p·dS·sinθ=ρgr(1-sinθ) 2πr2cosθ·sinθdθ；則該分力在整個高度為r的半球面上的合力為：

(1)

∵dsinθ/dθ=cosθ

得F=πρgr3/3

將r=D/2代入得F=(πρgD3)/24

事實上，采用式(1)，需要弄清液體為什么會對容器產(chǎn)生向上的壓強。關于這一點，用以下方法可以解釋：假設容器距頂部高度差h處開口，為形成連通器，頂部也開口，外壓為P0，則h處液體壓強為P0+ρgh。在高度差量為dh的體積微元內，可認為壓強處處為P=P0+ρgh,而外部對其壓強為P0。于是產(chǎn)生一個大小為ρgh的壓強差，方向垂直接觸面及容器壁面，由此解釋了為何壓強垂直于壁面。此外，若液體對壁面的壓強不垂直，則會發(fā)生平行于壁面的對流，與實際現(xiàn)象不符。

4　結　語

通過例題多角度的深入分析與講解以及與學生的探討，可以加深學生對知識的理解程度，引導學生養(yǎng)成變被動接收知識為主動思考理解吸收知識。同時教師自身也對問題有了更清楚深入的認識與理解。

[1]趙軍,張有忱,段成紅.化工設備機械基礎[M].北京:化學工業(yè)出版社,2007:107-109,106-107.

[2]殷曉中.充液容器薄膜應力解法的探討[J].鎮(zhèn)江高專學報,2002,15(4):37-39.

[3]方斌.拉普拉斯方程推導的一種新方法[J].武當學刊(自然科學版),1996,16(3):73-81.

[4]董大勤.化工設備機械基礎[M].北京:化學工業(yè)出版社,2002,16:504-505.

[5]董大勤.化工設備機械基礎[M].北京:化學工業(yè)出版社,1994:195-197.

Study on the Teaching and Learning Method about Membrane Stress Calculation on A Cylindrical Container Full of Liquid*

SUQing,CAOYin-liang,LIQian-qing,ZHANGCheng-yuan,WANGGang

(College of Chemistry, Jilin University, Jilin Changchun 130012, China)

Micro balance equation and regional balance equation are two important equations for membrane stress calculation on thin-walled container. However, the membrane stress of thin-walled container full of liquid can not be calculated by directly applying two equations, due to that the fluid pressure with liquid depth has a linear change. A specific example was analyzed and discussed with students to make students deeply understand the nature of meridian membrane stress, cultivate students’ innovative thinking and imagination ability，and improve students’ ability to solve engineering problems with abstract mathematic knowledge.

hydrostatic pressure; membrane stress; cylindrical container; teaching and learning

國家自然科學基金國家基礎科學人才培養(yǎng)基金(J1210011)；吉林大學青年教師教學能力發(fā)展項目(2015QNYB042)。

蘇清(1980-)，女，副教授，主要從事本科生《化工設備機械基礎》教學工作，主要研究方向為精細化學品及發(fā)光材料的合成與性能研究。

曹尹亮(1995-)，男，2013級高分子專業(yè)本科生，本文共同第一作者。

TQ051

A

1001-9677(2016)015-0163-03