介質折射率對矩形波導有效折射率的影響

潘繼環， 張元文

(河池學院　物理與機電工程學院， 廣西　宜州　546300)

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介質折射率對矩形波導有效折射率的影響

潘繼環， 張元文

(河池學院物理與機電工程學院， 廣西宜州546300)

基于電磁波動理論，通過馬卡梯里法近似求解矩形波導模式特征方程，研究介質折射率對矩形波導有效折射率的影響。結果表明：無論模階數取何值，矩形波導有效折射率隨芯層折射率的增大而增大，隨包層折射率的增大而減小；當芯層與包層折射率比保持不變時，隨介質折射率的增大而增大；當孔徑數值變大到某一數值，有效折射率均出現簡并現象。這些影響規律對矩形波導的實際應用具有一定的理論指導意義。

矩形波導；馬卡梯里法；介質折射率；有效折射率

矩形波導是集成光學應用的重要器件，是由截面形狀為矩形的金屬材料(銅、鋁等)構成、內部填充空氣介質的金屬波導[1-5]。目前對波導的應用，雖然在低頻段和高頻段面臨一些困難，但因其具有損耗低、電磁屏蔽性能好等優點，在軍事、民用等大功率情況下的作用是無可取代的，如在通信傳輸線平面集成化、小型化等方面具有廣泛的應用[3-13]，自從湯姆遜在1936年成功預言波導以來，波導就一直成為各國科學家們最熱門的研究課題之一。

對于平板波導和矩形波導的研究，相關文獻報道比較多，但對矩形波導有關介質折射率的研究還是比較少見。在矩形波導的各個參數中，傳播常數是最重要的參數之一，它對光波導及其所構成的光器件的設計都起著指導性的作用[3-14]。而傳播常數的計算方法之一便是由矩形波導的有效折射率來計算，因而研究影響矩形波導有效折射率的因素就顯得尤為重要。因此，本文通過研究介質折射率對矩形波導有效折射率的影響，并分析和總結出它的規律，力求得到比較精確的有效折射率，從而為獲取較為精準傳播常數的計算提供參考。

1　模型及計算方法

1.1矩形波導結構

圖1　矩形波導橫截面圖

假設矩形波導結構的截面如圖1所示，將各波導層劃分為9個區域(3*3)，中間為矩形波導芯層簡稱芯層，令芯層的折射率為n1，長度和寬度分別為a、b，緊鄰芯層周圍分別為波導包層(即四個白色區域)和四個角區(即四個陰影區域)，其中令包層的折射率n2=n3=n4=n5。由于光在陰影區傳播的功率相對較弱，在具體分析問題時可作近似忽略，并以芯層的中心為坐標原點建立直角坐標系，Z軸垂直于紙面向里。

研究方法采用馬卡梯里法[4-6,11]，該方法主要是把矩形波導中間豎著的三個區域看作水平的平板光波導，中間橫著的三個區域看作豎直的平板光波導，因此用平板光波導的理論就可以很方便的求出矩形光波導所需的參數。

1.2理論公式推導

(1)

2　介質層折射率對有效折射率的影響

2.1芯層折射率n1對有效折射率Nx的影響

圖2　芯層折射率變化與有效折射率Nx的關系

為研究芯層折射率對有效折射率的影響，分別取參數λ0=1.55 μm，包層折射率n2=n3=n4=n5= 1.20，模階數取m=0～2，當芯層的折射率n1分別取值為1.20、1.30、1.40、1.50時，對方程(3)利用Matlab編程模擬繪制出芯層折射率n1與有效折射率Nx的關系，如圖2所示。

圖3　包層折射率變化與有效折射率Nx的關系

從圖2中可以看出：(1)無論模階數取何值，當芯層折射率n1從1.20～1.50發生變化時，有效折射率都是隨著芯層折射率的增大而增大，同時x軸孔徑越大矩形波導的有效折射率越容易趨于簡并。(2)在圖2(a)中，對于基模(即m=0)，無論芯層折射率如何變化，有效折射率都小于1.20，并且在芯層寬度0～5 μm范圍，有效折射率均衰減至0.14，開始出現簡并現象，而光能在芯層中傳播的條件是有效折射率介于n1和n2之間，即1.20

另外，矩形波導在x軸上支持模階數m≥1的多模傳輸，但要求數值孔徑不能太大，如果太大了矩形波導就容易變成了表面模。經過計算得知，孔徑大小維持在0～8 μm范圍比較合適。

2.2包層折射率n2對有效折射率Nx的影響

同樣取參數λ0=1.55 μm，芯層折射率n1=1.50，模階數分別為m=0、1、2，當包層的折射率n2=n3=n4=n5分別取值1.20、1.30、1.40、1.50時，對方程(4)利用Matlab編程模擬，繪制出包層折射率n2與有效折射率Nx的關系，如圖3所示。

圖4　介質折射率比值對有效折射率Nx的影響

從圖3中可知：(1)無論模階數取何值，當包層折射率n2分別取值為1.20、1.30、1.40、1.50時，有效折射率均隨著包層折射率的增大而減小，同時孔徑數值越大，有效折射率就越容易趨于簡并。(2)在圖3(a)中，對于基模(即m=0)，不管包層折射率如何變化，有效折射率均小于1.10，在芯層寬度0～5 μm范圍內，衰減至0.12，開始出現簡并現象。(3)在圖3(b)、(c)中，有效折射率均大于1.20，無論芯層折射率如何變化，當m=1時有效折射率衰減至0.35，開始出現簡并現象；當m=2時有效折射率衰減至0.42，開始出現簡并現象，以此類推，模階數越大，就越容易出現簡并現象。

因此，要提高波導的有效折射率，就要增大芯層介質的折射率，相反地，如要減小波導的有效折射率可增大包層介質的折射率。

2.3介質折射率比n1/ n2對有效折射率Nx的影響

同樣地，取λ0=1.55 μm、包層折射率n2=n3=n4=n5不變，當模階數取m=0、1、2時，介質折射率比(即芯層與包層折射率比)固定為n1/n2=1.20，即n1分別取1.68、1.56、1.44、1.32，則對應的n2分別為1.40、1.30、1.20、1.10，對方程(3)、(4)利用計算機模擬繪制出介質折射率比n1/n2與有效折射率Nx的關系，如圖4所示。

從圖4中可以看出，當比值n1/n2為1.20不變時，有效折射率Nx同時隨著芯層和包層介質折射率增大而增大。在芯層寬度0～5 μm范圍內，當m=0時，有效折射率均小于1.0，且衰減至0.15，開始出現簡并現象，如圖4(a)所示；當m=1時，有效折射率衰減至0.28，開始出現簡并現象，如圖4(b)所示；當m=2時有效折射率衰減至0.42，開始出現簡并現象，如圖4(c)所示。

綜上所述，介質折射率的變化對矩形波導的有效折射率有調制作用。另外，筆者閱讀一些相關文獻報道，了解到用矩形波導有效折射率法來計算傳播常數，得到的結果偏差稍大。因此，利用介質折射率變化對矩形波導有效折射率的調制作用，可以減小因用有效折射率法來進行計算傳播常數而出現誤差偏大的問題。

3　結論

采用馬卡梯里法研究了介質折射率對矩形波導有效折射率的影響，得出以下結論：

(1)無論模階數取何值，矩形波導有效折射率隨著芯層折射率的增大而增大，隨著包層折射率的增大而減小；當芯層與包層折射率比保持不變時，隨著介質折射率的增大而增大。

(2)隨著芯層孔徑數值的增大，有效折射率均出現簡并現象。

介質折射率對矩形波導有效折射率的影響規律，可為以矩形光波導器件為理論基礎的集成光學器件、光電子器件提供一定的理論指導，也為減小因用有效折射率法來進行計算傳播常數而出現的誤差提供了參考。

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[責任編輯劉景平]

Influence of Medium Refractive Index on the Effective Refractive Index in Rectangular Waveguide

PAN Ji-huan, ZHANG Yuan-wen

(School of Physics and Mechanical & Electronic Engineering, Hechi University,Yizhou, Guangxi 546300, China)

The study uses Marca ladder in approximation theory and electromagnetic waves theory to solve characteristic equation of the rectangular waveguide mode, and research the influence of the refractive index on the effective refractive index in rectangular waveguide. The result shows that whatever the value of mode order is, the effective refractive index in rectangular waveguide increases with the increase of the core refractive index and decreases with the increase of the cladding refractive index; when the ratios of the core refractive index and the cladding refractive index remain constant, the number of the effective refractive index is increased with the increase of the refractive index of the medium; the curve of the effective refractive index begins to degenerate when the numerical aperture becomes large to a certain value. These laws can provide theoretical guide to study the practical application of a rectangular waveguide.

rectangular waveguide; Marca ladder theory; effective refractive index; refractive index

O431

A

1672-9021(2016)02-0039-04

潘繼環(1972-)，男，廣西都安人，河池學院物理與機電工程學院副教授，主要研究方向：光子晶體。

廣西高校科學技術研究基金資助項目(KY2015YB258)；河池學院重點科研基金資助課題(2014ZD—N001)；2015年自治區級大學生創新創業訓練計劃立項項目(201510605057)。

2016-03-07