方陣和的秩等于方陣秩的和的證法探討

杜翠真, 魏岳嵩

(淮北師范大學　數學科學學院， 安徽　淮北　235000)

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方陣和的秩等于方陣秩的和的證法探討

杜翠真, 魏岳嵩

(淮北師范大學數學科學學院， 安徽淮北235000)

對于矩陣A，BMn(P)，在r(A)=r(A2)，AB=BA=0的條件下，從三個方面證明了兩矩陣和的秩等于矩陣秩的和的命題。

方陣；秩；若當標準形；基

1　預備知識及引理

矩陣的秩的概念是由Sylvester于1861年引進的，它是矩陣最重要的數字特征之一。文獻[1-3]從重要不等式Sylveste定律(兩個矩陣積的秩的不等式)和Frobenius不等式(三個矩陣積的秩的不等式)出發，給出了重要不等式取等號的一些充要條件，并推出了一些不等式。

文獻[4]課后的補充題給出了下列結論：

1、設A為n階矩陣，如果A2=A，那么r(A)+r(E-A)=n.

2、設A為n階矩陣，如果A2=E，那么r(A+E)+r(A-E)=n.

說明如果矩陣A滿足一定的條件，那么矩陣和的秩等于矩陣秩的和。下面從r(A)=r(A2)和AB=BA=0出發，給出三種證法證明r(A+B)=r(A)+r(B).

(1)r(A)=r(A2)=r(A3)=….

(2)A的列(行)向量組和A2的列(行)向量組等價。

(3)在n維線性空間Pn上定義線性變換σ如下：

證明：(1)設J為A的若當標準形，存在可逆矩陣T，使得T-1AT=J，所以有T-1A2T=J2.由r(A)=r(A2)，可得r(J)=r(J2)，所以A的0特征值所對應的若當塊都是1階的。所以r(J)=r(J2)=r(J3)=…，故r(A)=r(A2)=r(A3)=… .

(2)設向量組α1，α2，…，αn；β1，β2…，βn依次為矩陣A和A2的列向量組，向量組αi1，αi2，…，αir，βj1，βj2，…，βjr，依次為矩陣A和A2的列向量組的極大線性無關組.因為A2=AA，所以A2的列向量組可由A的列向量組線性表示，那么βj1，βj2，…，βjr，可由αi1，αi2，…，αir，線性表示。所以存在r階方陣M，使得

(βj1，βj2，…，βjr)=(αi1，αi2，…，αir)M.

因為向量組βj1，βj2，…，βjr和αi1，αi2，…，αir的秩都是r，所以r階方陣M是可逆矩陣。有

(αi1，αi2，…，αir)=(βj1，βj2，…，βjr)M-1，

所以向量組α1，α2，…，αn可由向量組β1，β2，…，βn線性表示，所以A的列向量組和A2的列向量組等價。

同理可證A的行向量組和A2的行向量組等價。

(3)證明設α1，α2，…，αn-r為Kerσ的一組基，σβ1，σβ2，…，σβr，為Imσ的一組基，下面證明α1，α2，…，αn-r，σβ1，σβ2，…，σβr是Pn的一組基。

存在常數x1，x2，…，xn-r，y1，y2，…，yr，使得

x1α1+x2α2+…+xn-rαn-r+y1σβ2+…+yrσβr=0

(1)

用σ作用(1)式兩端，得

2　主要結果

證明：

所以，r(A+B)=r(A)+r(B).

證法2：由引理(2)可知A2的列(行)向量組與A的列(行)向量組等價，所以存在n階矩陣Q，R使得A2R=A，QA2=A.

所以，r(A+B)=r(A3)+r(B)=r(A)+r(B).

[1]Marsaglia G,Styan G P H.Equalities and inequalities for ranks of matrices[J].Linear and Multilinear Algebra,1974,2(1):269-292.

[2]左可正.關于若干個矩陣和的秩等式與不等式[J].湖北師范學院學報(自然科學版)，2010，30(1):1-4.

[3]馮秀紅，孫蘇亞.矩陣和的秩不等式取等號成立的充要條件[J].哈爾濱理工大學學報，2011，16(2):97-100.

[4]北京大學數學系幾何與代數教研室前代數小組.高等代數[M].三版.北京：高等教育出版社，2003.

[Keywords]squarematrix;rank;jordanstandardform;base

[責任編輯劉景平]

Discussing on the Proof That the Rank of the Sum of the Square Matrices Equals the Sum of the Rank of the Square Matrix

DU Cui-zhen， WEI Yue-song

(School of Mathematical Science, Huaibei Normal University, Huaibei, Anhui 235000, China)

For A，B∈Mn(P), under the conditions ofr(A)=r(A2)andAB=BA=0,theproposition,therankofthesumofthesquarematricesequalsthesumoftherankofthesquarematrixisprovedfromthreeaspects.

O151.21

A

1672-9021(2016)02-0057-03

杜翠真(1976-)，女，河南周口人，淮北師范大學數學科學學院副教授，主要研究方向：代數學。

國家自然科學基金資助項目(61300048)；安徽省高校省級自然科學研究基金重點資助項目(KJ2014A223,KJ2015A035)；安徽省高等教育振興計劃重大教學改革研究基金資助項目(2014ZDJY058)；淮北師范大學教學研究基金資助項目(jy14116)。

2016-03-10