函數序列一致收斂性的分析與證明

嚴　慧

(湖北師范大學 數學與統計學院，湖北 黃石　435002)

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函數序列一致收斂性的分析與證明

嚴慧

(湖北師范大學 數學與統計學院，湖北 黃石435002)

函數序列一致收斂性是數學專業微積分理論特有的教學內容，既是重點也是難點，著重圍繞著“有限支點法”，對一致收斂性證明中常用的工具：有限覆蓋定理，致密性原理，單調性，一致連續性，李普希茲條件的應用技巧進行了分析與探討.

函數序列；一致收斂；有限覆蓋定理；致密性原理

極限理論是微積分學的理論基礎，是大學數學教育課程“高等數學”和“數學分析”中最重要的內容.而這兩門課程的根本區別在于：是否包含“一致極限”理論. 非數學專業開設的“微積分”或“高等數學”中不包含這部分內容.而數學專業開設的微積分學課程“數學分析”則將“一致極限理論”作為其重要的教學內容. 這從一個側面反映了這部分內容的理論深度和難度. 但它卻又是進行數學研究必不可缺的基本工具.特別是函數序列的一致收斂性理論，因為在數學研究的實際工作中，極限問題經常是與某些參數有關的.因而一致收斂性理論已成為數學專業研究生入學考試的熱門課題，也是數學專業學生必需掌握的內容，但這方面的專題討論尚少.

本文中，我們將對函數序列一致收斂性理論與方法作一系統的分析和討論，重點放在一致收斂性問題證明方法的綜述上，我們介紹了有限覆蓋定理，致密性原理，單調性條件一致連續性， 李普希茲條件等在函數序列一致收斂性討論中的應用.

1　一致收斂性的概念與常用方法

設 {fn(x),n≥1}是X上的函數序列，普通的收斂性fn(x)→f(x)(n→∞)是指:對任意的ε>0，存在N(ε，x)>0,當n>N時|fn(x)-f(x)|<ε.

而序列{fn(x),n≥1}在X上一致收斂于f(x)(n→∞)是指對:任意的ε>0，存在僅依賴于ε的N(ε)>0，當n>N時,對 ?x∈X均有 |fn(x)-f(x)|<ε.

相對于后一種收斂性，我們常稱前一種收斂為“點點收斂”或“逐點收斂”.因為對于每一個x∈X，(相對于極限中的變量n，我們稱之為參變量)，fn(x)相當于普通的數列，因而其收斂性也即普通數列的收斂，但因不同的x就是不同數列，因此這里極限定義中的N隨x變化而變化，并沒有一個共同的N，這種極限我們稱之為局部極限.

而一致收斂性中的N是對所有x∈X都適用的.這是把函數fn(x)視為一個整體的收斂性,這種收斂我們也稱為整體收斂或全局收斂.

如果參變量集X 是有限集合，顯然逐點收斂和一致收斂并無區別，因此一致收斂性問題中的參變量總假定是無限集，而此時這二種收斂性則完全不同了，因為無限集未必有最大或最小元.函數列的一致收斂性首先要求逐點收斂，但這僅是一種局部性質，要完成局部性質向整體性質的轉變必需要有一定的條件和適當的工具.下面我們將介紹幾個常用的工具，而基本思路我們將其稱為“有限支點法”，利用有限個支點托起整個參變量集合.

首先考慮有限覆蓋定理的應用.

有限覆蓋定理：若閉區間[a,b] 存在開覆蓋則 [a,b]必存在有限子覆蓋.

有限覆蓋定理所起的作用是明顯的，因為它實現了從無限(開覆蓋)到有限(子覆蓋)的轉化，而有限性等同于一致性.這一工具使用的要點在于“覆蓋”(鄰域)的構造．

例1(狄尼定理)若有限閉區間 [a,b]上連續函數序列 {sn(x)}收斂于連續函數s(x) ，且對?x∈[a,b] ，sn(x) 關于n單調，則序列在 [a,b]上一致收斂于s(x) (n→∞).

分析與證明 使用有限覆蓋定理的要點在于利用局部性質構造具有某種性質的鄰域(開覆蓋)

不妨設sn(x)↑s(x) (n→∞),否則可用-sn(x) 代替．

首先考慮局部性質，即逐點收斂性：對 ?x∈[a,b] ，由于sn(x) ↑s(x) (n→∞)，故對 ?ε>0 ，?Nx,當n≥Nx時

0≤s(x)-sn(x)≤s(x)-sNx(x)<ε

(1)

由于sNx(y) 及s(y) 在 [a,b]上連續，故存在ηx>0,使當y∈U(x,ηx):=(x-ηx,x+ηx)?[a,b]時

|SNx(y)-SNx(x) <ε,|s(y)-s(x)| <ε

(2)

于是我們證明了對于每個x，存在鄰域U(x,ηx) ，當y∈U(x,ηx)時，(2)成立，此時，我們完成了局部性工作，即覆蓋(鄰域)的構造．

利用有限覆蓋定理，即可完成從局部到整體的轉化．

0 ≤s(x)-sn(x)≤s(x)-sN(x)≤s(x)-SNxi(x)=

[s(x)-s(xi)]+[s(xi)-SNxi(xi)]+[SNxi(xi)-SNxi(x)]

對第一、第三個中括號使用(2)，第二個中括號使用(1)即得：當n>N時，

s(x)-sn(x)<ε+ε+ε=3ε對 ?x∈[a,b]成立．

即序列{sn(x),n≥1}在 X上一致收斂于s(x) (n→∞)．

我們稱上述方法為“有限支點法”，這是本文著重介紹的方法，例1中我們通過有限覆蓋定理構造有限支點x1,x2,…,xm，通過這些支點的鄰域托起整個參變量集[a,b] .

下面的例2中我們將通過“一致連續性”+“單調性”構造有限支點集．

例2設函數列{fn(x),n≥1}在 [a,b]上收斂于連續函數f(x)，若對每個n，fn(x) 在 [a,b]上單調，則fn(x)在 [a,b]上一致收斂于f(x) ．

分析與證明 設fn(x)關于x∈[a,b]，顯然f(x)在閉區間[a,b] 上一致連續，一致連續性是函數的一個整體性質，利用此整體性質分割[a,b] 是構造“有限支點集”較為簡便的方法．

事實上，由f(x) 在[a,b] 上一致連續，對任意的ε>0,存在δ>0，使:

當x,y∈[a,b],|x-y|<δ時

|f(x)-f(y)| <ε

(3)

用步長δ分割 [a,b]：a=x0

|fn(xi)-f(xi)| <ε,i=0,1,…,m

(4)

設x∈[a,b]，則存在i，使x∈[xi,xi+1]，fn(x) 關于x↑，于是當n≥N時，由(3)(4)

fn(x)-f(x)≤fn(xi+1)-f(x)=[fn(xi+1)-f(xi+1)]+[f(xi+1)-f(x)]<ε+ε=2ε

fn(x)-f(x)≥fn(xi)-f(x)=[fn(xi)-f(xi)]+[f(xi)-f(x)] >-ε-ε=-2ε

即

|fn(x)-f(x)|< 2εx∈[a,b]

下面的例3利用李普希茲條件構造“有限支點集”．

例3設函數列 {fn(x),n≥1}在 [a,b] 上有意義，且滿足如下李普希茲條件，對所有n和x,x' ∈[a,b]，下式成立

|fn(x)-fn(x')|≤M|x-x'|

(5)

其中M為與n無關的常數．

若對x∈[a,b]

(6)

則{fn(x) }在 [a,b] 上一致收斂于f(x) .

(7)

令n→∞，得

現有研究中，針對社會化信任關系的協同過濾技術的隱私保護工作尚不多見.因此，從考慮隱私保護和預測準確率兩者間的折中以及協同過濾技術中的數據稀疏性和冷啟動問題，本文將差分隱私保護技術引入融合顯/隱式信任關系的SVD++協同過濾技術中，提出目標函數加擾的TrustSVD差分隱私保護新策略.關于新策略，文中在理論上分析了其隱私保護的性能，實驗上驗證了其在協同過濾應用中的預測表現.結果表明：所提新策略與無隱私保護的TrustSVD具有相近的預測準確率，與做類似差分隱私保護的SVD++相比獲得了更優的預測結果，此外還給出了核心參數的調節實驗.

(8)

以步長δ分割 [a,b]，a=x0

(9)

對x∈[a,b] ，設x∈[xi,xi+1] ，當n>N時，由(7)(8)(9)

{fn(x),n}在 [a,b]上一致收斂于f(x)(n→∞).

上面各個例子中的閉區間都可改為更一般的緊集。利用緊集的致密性原理也是證明函數序列一致收斂的常用方法，基本思路是假設不一致收斂，構造出序列 {xn:n≥1}，對其使用致密性原理推出矛盾，在教學中，這種反證法也許學生更容易掌握．

例4同例1狄尼定理，但使用致密性原理證明．

反證 若{Sn(x),n≥1} 不一致收斂到s(x)(n→∞) ，則存在ε0>0，對任意N，存在n1>N，及x1∈[a,b] 使

|Sn1(x1)-s(x1)| ≥ε0

(10)

遞推地，按此可取到正整數n1,n2,… 和 [a,b] 中的點x1,x2,… 使

|Snk(xk)-s(xk)| ≥ε0n1

(11)

由{xk:k≥1}?[a,b]，及致密性原理，存在子列不仿仍記為 {xk:k≥1} ,使

xk→ξ∈[a,b](k→∞)

(12)

因sn(ξ) →s(ξ)(n→∞) ，故對任意ε>0，存在N使|SN(ξ) →s(ξ)|<ε.

注意到SN(x)-s(x) 在ξ處連續及xk→ξ(k→∞) 得

(13)

故存在K，當k>K時

|SN(xk)-S(xk)<ε

固定xk,sn(xk)對n單調，故當k>K,n>N時

|Sn(xk)-s(xk)|≤|SN(xk)-S(xk)|<ε

由ε的任意性，此與(10)矛盾，故必有 {SN(x):n≥1}在[a,b] 上一致收斂到s(x) .

(14)

命題獲證．

[1]陳傳章，金福臨，朱學炎，等.數學分析(第二版)[M].北京：高等教育出版社，1983.

[2]華東師范大學數學系.數學分析(上、下冊)(第四版)[M].北京：高等教育出版社，2010.

[3]錢吉林.數學分析題解精粹(第二版)[M].武漢:崇文書局，2003.

[4]胡適耕,姚云飛.數學分析——定理·問題·方法[M].北京:科學出版社，2007.

Analysis and proof methods of convergence uniform for functions sequence

YAN Hui

(Collage of Mathematics and Statistics, Hubei Normal University, Huangshi435002,China)

The convergence uniform for functions sequence is the peculiar content of the calculus for the students of mathematics specialty. It is both the key point also is the difficult point. In this paper, we mainly consider the finite supporting point methods and discuss the applications of the theorem of finite covering, accumulation principle, monotonicity, uniform continuity and Lipschitz condition.

function sequence; convergence uniform; theorem of finite covering; accumulation principle

2015—12—28

嚴慧(1983—)，女，湖北黃梅人，碩士，講師，主要從事概率論與數理統計研究.

O172.2

A

1009-2714(2016)02- 0115- 04

10.3969/j.issn.1009-2714.2016.02.025