函數(shù)序列一致收斂性的分析與證明

嚴(yán)　慧

(湖北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北 黃石　435002)

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函數(shù)序列一致收斂性的分析與證明

嚴(yán)慧

(湖北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北 黃石435002)

函數(shù)序列一致收斂性是數(shù)學(xué)專業(yè)微積分理論特有的教學(xué)內(nèi)容，既是重點(diǎn)也是難點(diǎn)，著重圍繞著“有限支點(diǎn)法”，對(duì)一致收斂性證明中常用的工具：有限覆蓋定理，致密性原理，單調(diào)性，一致連續(xù)性，李普希茲條件的應(yīng)用技巧進(jìn)行了分析與探討.

函數(shù)序列；一致收斂；有限覆蓋定理；致密性原理

極限理論是微積分學(xué)的理論基礎(chǔ)，是大學(xué)數(shù)學(xué)教育課程“高等數(shù)學(xué)”和“數(shù)學(xué)分析”中最重要的內(nèi)容.而這兩門課程的根本區(qū)別在于：是否包含“一致極限”理論. 非數(shù)學(xué)專業(yè)開(kāi)設(shè)的“微積分”或“高等數(shù)學(xué)”中不包含這部分內(nèi)容.而數(shù)學(xué)專業(yè)開(kāi)設(shè)的微積分學(xué)課程“數(shù)學(xué)分析”則將“一致極限理論”作為其重要的教學(xué)內(nèi)容. 這從一個(gè)側(cè)面反映了這部分內(nèi)容的理論深度和難度. 但它卻又是進(jìn)行數(shù)學(xué)研究必不可缺的基本工具.特別是函數(shù)序列的一致收斂性理論，因?yàn)樵跀?shù)學(xué)研究的實(shí)際工作中，極限問(wèn)題經(jīng)常是與某些參數(shù)有關(guān)的.因而一致收斂性理論已成為數(shù)學(xué)專業(yè)研究生入學(xué)考試的熱門課題，也是數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生必需掌握的內(nèi)容，但這方面的專題討論尚少.

本文中，我們將對(duì)函數(shù)序列一致收斂性理論與方法作一系統(tǒng)的分析和討論，重點(diǎn)放在一致收斂性問(wèn)題證明方法的綜述上，我們介紹了有限覆蓋定理，致密性原理，單調(diào)性條件一致連續(xù)性， 李普希茲條件等在函數(shù)序列一致收斂性討論中的應(yīng)用.

1　一致收斂性的概念與常用方法

設(shè) {fn(x),n≥1}是X上的函數(shù)序列，普通的收斂性fn(x)→f(x)(n→∞)是指:對(duì)任意的ε>0，存在N(ε，x)>0,當(dāng)n>N時(shí)|fn(x)-f(x)|<ε.

而序列{fn(x),n≥1}在X上一致收斂于f(x)(n→∞)是指對(duì):任意的ε>0，存在僅依賴于ε的N(ε)>0，當(dāng)n>N時(shí),對(duì) ?x∈X均有 |fn(x)-f(x)|<ε.

相對(duì)于后一種收斂性，我們常稱前一種收斂為“點(diǎn)點(diǎn)收斂”或“逐點(diǎn)收斂”.因?yàn)閷?duì)于每一個(gè)x∈X，(相對(duì)于極限中的變量n，我們稱之為參變量)，fn(x)相當(dāng)于普通的數(shù)列，因而其收斂性也即普通數(shù)列的收斂，但因不同的x就是不同數(shù)列，因此這里極限定義中的N隨x變化而變化，并沒(méi)有一個(gè)共同的N，這種極限我們稱之為局部極限.

而一致收斂性中的N是對(duì)所有x∈X都適用的.這是把函數(shù)fn(x)視為一個(gè)整體的收斂性,這種收斂我們也稱為整體收斂或全局收斂.

如果參變量集X 是有限集合，顯然逐點(diǎn)收斂和一致收斂并無(wú)區(qū)別，因此一致收斂性問(wèn)題中的參變量總假定是無(wú)限集，而此時(shí)這二種收斂性則完全不同了，因?yàn)闊o(wú)限集未必有最大或最小元.函數(shù)列的一致收斂性首先要求逐點(diǎn)收斂，但這僅是一種局部性質(zhì)，要完成局部性質(zhì)向整體性質(zhì)的轉(zhuǎn)變必需要有一定的條件和適當(dāng)?shù)墓ぞ?下面我們將介紹幾個(gè)常用的工具，而基本思路我們將其稱為“有限支點(diǎn)法”，利用有限個(gè)支點(diǎn)托起整個(gè)參變量集合.

首先考慮有限覆蓋定理的應(yīng)用.

有限覆蓋定理：若閉區(qū)間[a,b] 存在開(kāi)覆蓋則 [a,b]必存在有限子覆蓋.

有限覆蓋定理所起的作用是明顯的，因?yàn)樗鼘?shí)現(xiàn)了從無(wú)限(開(kāi)覆蓋)到有限(子覆蓋)的轉(zhuǎn)化，而有限性等同于一致性.這一工具使用的要點(diǎn)在于“覆蓋”(鄰域)的構(gòu)造．

例1(狄尼定理)若有限閉區(qū)間 [a,b]上連續(xù)函數(shù)序列 {sn(x)}收斂于連續(xù)函數(shù)s(x) ，且對(duì)?x∈[a,b] ，sn(x) 關(guān)于n單調(diào)，則序列在 [a,b]上一致收斂于s(x) (n→∞).

分析與證明 使用有限覆蓋定理的要點(diǎn)在于利用局部性質(zhì)構(gòu)造具有某種性質(zhì)的鄰域(開(kāi)覆蓋)

不妨設(shè)sn(x)↑s(x) (n→∞),否則可用-sn(x) 代替．

首先考慮局部性質(zhì)，即逐點(diǎn)收斂性：對(duì) ?x∈[a,b] ，由于sn(x) ↑s(x) (n→∞)，故對(duì) ?ε>0 ，?Nx,當(dāng)n≥Nx時(shí)

0≤s(x)-sn(x)≤s(x)-sNx(x)<ε

(1)

由于sNx(y) 及s(y) 在 [a,b]上連續(xù)，故存在ηx>0,使當(dāng)y∈U(x,ηx):=(x-ηx,x+ηx)?[a,b]時(shí)

|SNx(y)-SNx(x) <ε,|s(y)-s(x)| <ε

(2)

于是我們證明了對(duì)于每個(gè)x，存在鄰域U(x,ηx) ，當(dāng)y∈U(x,ηx)時(shí)，(2)成立，此時(shí)，我們完成了局部性工作，即覆蓋(鄰域)的構(gòu)造．

利用有限覆蓋定理，即可完成從局部到整體的轉(zhuǎn)化．

0 ≤s(x)-sn(x)≤s(x)-sN(x)≤s(x)-SNxi(x)=

[s(x)-s(xi)]+[s(xi)-SNxi(xi)]+[SNxi(xi)-SNxi(x)]

對(duì)第一、第三個(gè)中括號(hào)使用(2)，第二個(gè)中括號(hào)使用(1)即得：當(dāng)n>N時(shí)，

s(x)-sn(x)<ε+ε+ε=3ε對(duì) ?x∈[a,b]成立．

即序列{sn(x),n≥1}在 X上一致收斂于s(x) (n→∞)．

我們稱上述方法為“有限支點(diǎn)法”，這是本文著重介紹的方法，例1中我們通過(guò)有限覆蓋定理構(gòu)造有限支點(diǎn)x1,x2,…,xm，通過(guò)這些支點(diǎn)的鄰域托起整個(gè)參變量集[a,b] .

下面的例2中我們將通過(guò)“一致連續(xù)性”+“單調(diào)性”構(gòu)造有限支點(diǎn)集．

例2設(shè)函數(shù)列{fn(x),n≥1}在 [a,b]上收斂于連續(xù)函數(shù)f(x)，若對(duì)每個(gè)n，fn(x) 在 [a,b]上單調(diào)，則fn(x)在 [a,b]上一致收斂于f(x) ．

分析與證明 設(shè)fn(x)關(guān)于x∈[a,b]，顯然f(x)在閉區(qū)間[a,b] 上一致連續(xù)，一致連續(xù)性是函數(shù)的一個(gè)整體性質(zhì)，利用此整體性質(zhì)分割[a,b] 是構(gòu)造“有限支點(diǎn)集”較為簡(jiǎn)便的方法．

事實(shí)上，由f(x) 在[a,b] 上一致連續(xù)，對(duì)任意的ε>0,存在δ>0，使:

當(dāng)x,y∈[a,b],|x-y|<δ時(shí)

|f(x)-f(y)| <ε

(3)

用步長(zhǎng)δ分割 [a,b]：a=x0

|fn(xi)-f(xi)| <ε,i=0,1,…,m

(4)

設(shè)x∈[a,b]，則存在i，使x∈[xi,xi+1]，fn(x) 關(guān)于x↑，于是當(dāng)n≥N時(shí)，由(3)(4)

fn(x)-f(x)≤fn(xi+1)-f(x)=[fn(xi+1)-f(xi+1)]+[f(xi+1)-f(x)]<ε+ε=2ε

fn(x)-f(x)≥fn(xi)-f(x)=[fn(xi)-f(xi)]+[f(xi)-f(x)] >-ε-ε=-2ε

即

|fn(x)-f(x)|< 2εx∈[a,b]

下面的例3利用李普希茲條件構(gòu)造“有限支點(diǎn)集”．

例3設(shè)函數(shù)列 {fn(x),n≥1}在 [a,b] 上有意義，且滿足如下李普希茲條件，對(duì)所有n和x,x' ∈[a,b]，下式成立

|fn(x)-fn(x')|≤M|x-x'|

(5)

其中M為與n無(wú)關(guān)的常數(shù)．

若對(duì)x∈[a,b]

(6)

則{fn(x) }在 [a,b] 上一致收斂于f(x) .

(7)

令n→∞，得

現(xiàn)有研究中，針對(duì)社會(huì)化信任關(guān)系的協(xié)同過(guò)濾技術(shù)的隱私保護(hù)工作尚不多見(jiàn).因此，從考慮隱私保護(hù)和預(yù)測(cè)準(zhǔn)確率兩者間的折中以及協(xié)同過(guò)濾技術(shù)中的數(shù)據(jù)稀疏性和冷啟動(dòng)問(wèn)題，本文將差分隱私保護(hù)技術(shù)引入融合顯/隱式信任關(guān)系的SVD++協(xié)同過(guò)濾技術(shù)中，提出目標(biāo)函數(shù)加擾的TrustSVD差分隱私保護(hù)新策略.關(guān)于新策略，文中在理論上分析了其隱私保護(hù)的性能，實(shí)驗(yàn)上驗(yàn)證了其在協(xié)同過(guò)濾應(yīng)用中的預(yù)測(cè)表現(xiàn).結(jié)果表明：所提新策略與無(wú)隱私保護(hù)的TrustSVD具有相近的預(yù)測(cè)準(zhǔn)確率，與做類似差分隱私保護(hù)的SVD++相比獲得了更優(yōu)的預(yù)測(cè)結(jié)果，此外還給出了核心參數(shù)的調(diào)節(jié)實(shí)驗(yàn).

(8)

以步長(zhǎng)δ分割 [a,b]，a=x0

(9)

對(duì)x∈[a,b] ，設(shè)x∈[xi,xi+1] ，當(dāng)n>N時(shí)，由(7)(8)(9)

{fn(x),n}在 [a,b]上一致收斂于f(x)(n→∞).

上面各個(gè)例子中的閉區(qū)間都可改為更一般的緊集。利用緊集的致密性原理也是證明函數(shù)序列一致收斂的常用方法，基本思路是假設(shè)不一致收斂，構(gòu)造出序列 {xn:n≥1}，對(duì)其使用致密性原理推出矛盾，在教學(xué)中，這種反證法也許學(xué)生更容易掌握．

例4同例1狄尼定理，但使用致密性原理證明．

反證 若{Sn(x),n≥1} 不一致收斂到s(x)(n→∞) ，則存在ε0>0，對(duì)任意N，存在n1>N，及x1∈[a,b] 使

|Sn1(x1)-s(x1)| ≥ε0

(10)

遞推地，按此可取到正整數(shù)n1,n2,… 和 [a,b] 中的點(diǎn)x1,x2,… 使

|Snk(xk)-s(xk)| ≥ε0n1

(11)

由{xk:k≥1}?[a,b]，及致密性原理，存在子列不仿仍記為 {xk:k≥1} ,使

xk→ξ∈[a,b](k→∞)

(12)

因sn(ξ) →s(ξ)(n→∞) ，故對(duì)任意ε>0，存在N使|SN(ξ) →s(ξ)|<ε.

注意到SN(x)-s(x) 在ξ處連續(xù)及xk→ξ(k→∞) 得

(13)

故存在K，當(dāng)k>K時(shí)

|SN(xk)-S(xk)<ε

固定xk,sn(xk)對(duì)n單調(diào)，故當(dāng)k>K,n>N時(shí)

|Sn(xk)-s(xk)|≤|SN(xk)-S(xk)|<ε

由ε的任意性，此與(10)矛盾，故必有 {SN(x):n≥1}在[a,b] 上一致收斂到s(x) .

(14)

命題獲證．

[1]陳傳章，金福臨，朱學(xué)炎，等.數(shù)學(xué)分析(第二版)[M].北京：高等教育出版社，1983.

[2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(上、下冊(cè))(第四版)[M].北京：高等教育出版社，2010.

[3]錢吉林.數(shù)學(xué)分析題解精粹(第二版)[M].武漢:崇文書(shū)局，2003.

[4]胡適耕,姚云飛.數(shù)學(xué)分析——定理·問(wèn)題·方法[M].北京:科學(xué)出版社，2007.

Analysis and proof methods of convergence uniform for functions sequence

YAN Hui

(Collage of Mathematics and Statistics, Hubei Normal University, Huangshi435002,China)

The convergence uniform for functions sequence is the peculiar content of the calculus for the students of mathematics specialty. It is both the key point also is the difficult point. In this paper, we mainly consider the finite supporting point methods and discuss the applications of the theorem of finite covering, accumulation principle, monotonicity, uniform continuity and Lipschitz condition.

function sequence; convergence uniform; theorem of finite covering; accumulation principle

2015—12—28

嚴(yán)慧(1983—)，女，湖北黃梅人，碩士，講師，主要從事概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)研究.

O172.2

A

1009-2714(2016)02- 0115- 04

10.3969/j.issn.1009-2714.2016.02.025