三階和五階非線性自散焦介質中的亮孤子

彭賢丁，張少武，黃峻堃

(湖北師范大學 物理與電子科學學院，湖北 黃石　435002)

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三階和五階非線性自散焦介質中的亮孤子

彭賢丁，張少武，黃峻堃

(湖北師范大學 物理與電子科學學院，湖北 黃石435002)

考察了含3～5階非線性的一維和二維非線性薛定諤方程，獲得了非線性強度是橫向坐標的指數函數的條件下方程的基態孤子解，并用分布傅里葉法對其穩定性進行了數值分析。結果表明，三階、五階非線性強度是橫向坐標的指數函數時，在一定的參數范圍內可以形成穩定的亮孤子，隨著傳播常數的增大，基態孤子能穩定傳輸的距離越遠。

非線性薛定諤方程；3～5階非線性；穩定性分析

0　引言

孤子因為其在傳輸過程中仍能保持其形態的特殊性質而受到人們的廣泛關注。在孤子的研究中，支持自持局域模(亮孤子)所采用的一般模型是聚焦非線性，或者散焦非線性聯合周期性線性勢，后者支持的是間隙亮孤子[1]。近來也報道了支持亮孤子的一些其他模型，如非線性強度以及符號隨傳播距離或橫向變量變化的非線性晶格[2]，更進一步的研究顯示，空間調制的散焦非線性強度增加得足夠快就可以支持亮孤子[3]。

衍射作用使光束在無色散介質中傳輸時沿垂直方向展寬，而非線性介質會導致光束橫向收縮，所以在一定條件下衍射與非線性相互作用可形成空間光孤子[4]。Borovkova O V 等人考慮了三階非線性情況，獲得了基態孤子的精確解。在Borovkova O V 等人的研究基礎上，我們考察了在三階和五階非線性同時存在的情況下對孤子解的結構以及穩定性的影響。

1　理論模型

我們考察含3～5階非線性的非線性薛定諤方程

(1)

u(r,ξ)=A(r)exp(ibξ-αr2)

(2)

式中，振幅A(r) 為r的實函數或常數，α和b為常數。在極坐標下，維度為D=1,2 時，具有對稱性的Laplace算符可寫為2=(?/?r)(D-1)/r+?2/?r2。將試探解(2)代入方程(1)，經簡單的代數運算有

(3)

作為一個特殊情況考慮，這里設三階、五階非線性強度與半徑的關系分別為

(4)

(5)

式中，μ0、μ1和ρ0均為正的常數。若設A=常數，方程(3)可進一步簡化為

r2(μ1A3-2α2A)+A(b+Dα+μ0A2+ρ0A4)=0

(6)

在方程(6)中，令r的冪次系數等于0，則振幅和傳播常數分別為

于是，滿足條件(4)和(5)時方程(1)的基態孤子解為

(7)

從(7)式可以看出，在三階和五階非線性取(4)和(5)式的形式情況下，維度D只對傳播常數有影響，而不改變孤子的振幅；傳播常數與三階和五階非線性有關，而振幅只與三階非線性和α有關。

2　穩定性分析

2.1孤子的解析圖

做如下的變量代換

(8)

則方程(1)歸一化變為

(9)

2.2基態孤子的穩定性分析

孤子穩定性分析是孤子物理學研究的一個重要方面。我們應用分步傅里葉算法[10]模擬方程(1)在初始條件為ψ(r,0)=exp(-αr2)時受微擾擾動的傳輸情況，如圖2所示。微擾取白噪聲，使用正態分布的高斯隨機數產生器產生，其中乘積白噪聲和加法白噪聲的強度分別為Γm=10-4和Γa=10-2.

我們以D=2 的二維情況為例，采用單一改變不同參數值的方法，考察不同參數對孤子傳輸的穩定性的影響。圖2(a)和(b)中，ρ0=1，μ1=μ0=1 ，而α值不同，前者為0.05，后者為0.15.比較兩圖發現，α值較小時孤子的傳輸是非常穩定的，隨α值的增大，孤子的傳輸越來越不穩定。當α=0.15時，孤子只能穩定傳輸約ξ=300的距離。圖2(c)中ρ0=10000 ，其余參數與(a)相同。當ρ0=10000 時，孤子只能穩定傳輸約ξ=200的距離。可見，隨ρ0值的增大，孤子傳輸的穩定性越來越差。圖2(d)中僅改變μ0值，μ0=100，孤子傳輸約ξ=250距離后就變得不太穩定。顯然，μ0值的增大會導致孤子傳輸的穩定性變差。圖2(e)的μ1=0.015，比(a)的μ1小，孤子只能穩定傳輸約ξ=200的距離。與圖(b)、(c)和(d)的情況不同，μ1值越大，孤子的傳輸越穩定。

圖1　不同參數下的含三-五階非線性的基態孤子: μ0=0.1,μ1=0.2, ρ0=1

(a)D=1,α=0.4, (b)～(d)D=2,α分別為0.1、0.2和0.4.

圖2　含三-五階非線性的二維基態孤子解的穩定性分析圖

(a)α=0.05，μ1=μ0=1，ρ0=1 ；(b)α=0.15，μ1=μ0=1，ρ0=1 ；(c)α=0.05，μ1=μ0=1，ρ0=10000；

(d)α=0.05，μ1=1,μ0=100，ρ0=1 ；(e)α=0.05，μ1=0.015,μ0=1，ρ0=1

我們對D=1 的一維情況也作了以上類似的分析，得到的結論與二維情況是相同的。

3　結論

我們考察了含3～5階非線性具有對稱性的散焦介質中的一維和二維非線性薛定諤方程，獲得了非線性強度是橫向坐標的指數函數條件下方程的基態孤子解，并用分布傅里葉法分析了基態孤子解的穩定性。結果表明，三階、五階非線性強度是橫向坐標的指數函數時，在一定的參數范圍內可以形成穩定的亮孤子，傳播常數越大，基態孤子能穩定傳輸的距離越遠。換言之，三階、五階非線性強度是橫向坐標的指數函數時，孤子傳輸的穩定性隨傳播常數的增大而增強。

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Bright solitons in the symmetrical self-defocus medium with cubic-quintic nonlinearities

PENG Xian-ding，ZHANG Shao-wu，HUANG Jun-kun

(College of Physical and Electronic Science, Hubei Normal University, Huangshi435002,China)

The one/two-dimension nonlinear Schrodinger equation with cubic-quintic nonlinearities from the symmetrical self-defocus medium is studied and its bright soliton solutions are obtained in the case that the cubic-quintic nonlinear strengths are the exponential function of the transverse coordinate(s). It was numerically found that the stability of solitons depends on propagation constant. Soliton propagation distance increases with propagation constant.

nonlinear Schr?dinger equation; cubic-quintic nonlinearity; stability analysis

2016—03—27

彭賢丁(1990— )，男，貴州遵義人，碩士研究生，主要從事非線性光學研究。

O437

A

1009-2714(2016)02- 0067- 04

10.3969/j.issn.1009-2714.2016.02.015