譚潔：數學眼，看世界

本刊記者　賴斯捷　黃

譚潔：數學眼，看世界

譚潔：湘潭市育才學校數學老師，副校長。湖南省基礎教育質量監測工具研發專家，湖南省基礎教育質量監測數據分析與咨詢專家，“十三五”湖南省基礎教育專家庫成員，人民教育出版社《小學數學》“特約通訊員”，湘潭市小學數學名師工作室成員。曾在國家級賽課中榮獲一等獎1次，省級賽課中榮獲一等獎3次。擁有國家級心理輔導員資格證，被聘為國家心理教育學會心理援助專員、國培計劃小學心理教育骨干教師培訓項目“影子教師”實踐研修導師。

先后被授予“科研型教師”、湘潭市專業技術骨干人才、湘潭市“優秀教師”、湘潭市“小學數學學科帶頭人”、連續三屆湘潭市“小學骨干教師”、湘潭市第三屆“希望之星”標兵等榮譽稱號。有67篇論文在國家、省、市、區級獲獎，有18篇教育教學論文在雜志上發表。

孩子眼中，世界充滿問題。

交叉路口為什么會有紅綠燈？蝴蝶的左右翅膀為什么是一樣的？為什么960萬平方公里的中國地圖，一張A4紙就能完整畫下？

……

孩子與生俱來的好奇心與數學思維的核心——問題，有著天然的聯系。“數學老師當以教會孩子用數學的眼光觀察生活環境，用數學解釋生活問題、分析生活現象、解決生活問題為己任，這既符合孩子的天性，也與數學課程目標——通過義務教育階段的數學學習，學生能夠初步學會運用數學的思維方式去觀察、分析現實社會，去解決日常生活中和其他學科學習中的問題，增強應用數學的意識——相一致”。

讀懂符號語言

講臺上散落著一些鉛筆，是譚潔為示范課《分類》準備的教具。“分類思維是數學中一種很重要的思維，其難度在于如何讓一年級的學生既能動手操作學具，課堂紀律又不會陷入混亂”，譚潔的方案是，多畫圖少說話。

當孩子們需要打開書本時，她會在黑板上畫一個類似一本打開的書之形狀的“√”并在上面寫阿拉伯數字“1”；當孩子們需要操作學具時，她則在黑板上畫一個長得像教具盒的長方形，如果長方形的下面有箭頭，則意味著需要將教具盒拿下來等待使用，如果上面有箭頭，則表示教具盒可以收起來，暫時不用了；當孩子們可以中間休息時，她在黑板上畫下的，則是一個圈，圈下一橫線。

譚潔偏好運用符號來訓練學生的課堂行為習慣，在她的認知里，畫圖是小學生必備的重要數學能力，會畫圖的前提是先學會看圖；另一方面，頻繁使用“一二三，快坐好”之類的課堂口令，無助于培養孩子的觀察能力。聽慣了說，眼神就容易走失，而畫在黑板上的符號，就是那扇吸住孩子眼神的窗，等著他們探索數學的世界，“誰沒有跟進，我只需一眼就能分辨出來”。

小小幾個符號，既能訓練學生的課堂專注力，又能訓練學生的觀察能力，“更重要的是，它能讓我快速了解本次課堂內全班每一個同學的狀態”。

牢牢抓住學生的“眼”后，譚潔開始課堂行為習慣訓練第二步：抓住學生的“嘴”。

曾經的譚潔，性格內向，成績中上的她，從不敢舉手回答問題，“所謂班上最不起眼的存在就是我了”。1991年，譚潔考入湘潭市三中念初中，班主任兼地理老師黃湘平“改變了我的個性”。

黃老師的地理課上，全班同學被分成若干組，組員間合作完成他布置的課堂操作活動——地圖上找首都，劃分寒、溫、熱帶，認識經緯線，將分散的各省地形拼成完整的中國地圖，等等。“因為每個人都參與了活動，同學們對地理的興趣空前高漲”，在這種教學氛圍影響下的譚潔，變了。“我很自信，課堂表現活躍。小學時連舉手回答問題都不敢的我，甚至能在家長會上給家長們做學習經驗交流報告。”

譚潔將這種“翻天覆地”歸結于黃湘平老師為學生提供的豐富展示平臺：她擔任物理、歷史兩科課代表，壓力之下有動力也有責任；課堂提問遇到其他同學答不出，她就是那個給出正確答案的“希望之星”……

時空變換間，譚潔完成了從學生到教師的身份轉變，站在講臺上面對著班級眾多“靜默者”時，從前那個膽怯的“我”仿似在嚴肅提問：“你”如何將這樣的“我”教導成未來的“你”？

譚潔陷入思考。學生為什么會在課堂上失語？首先是課堂行為習慣訓練沒到位，學生沒能養成舉手提問或答問的意識。“問題是數學的心臟，如果學生在課堂上既沒有提問，也沒有答問，怎么學得好數學？”

出于循序漸進的考慮，譚潔決定先解決答問這一難題。她想到了黃湘平老師的“活動教學法”，借鑒數學中的遷移思維，將之移植到自己的數學課堂，于是便有了譚氏風格——為每一堂課設計大小不一的數學活動，以每一個孩子都能參與進來為設計標準。

比如小學數學課堂常有的3分鐘看算、聽算練習，譚潔會更多地選擇聽算。“看算一般只有1～2組小朋友能參與，聽算則不一樣，全員皆有份”。間或來一次看算，譚潔也會做一些改良：當A組在進行“開火車”報看算答案時，其余幾組的孩子也有任務，他們需要仔細聽A組成員報出的答案，并給出對或是錯的判斷。至于常用的聽算練習，譚潔則又會借鑒看算的形式：在所有孩子寫完答案后，由某一組孩子反饋自己的答案，其他組則對照自己的答案和該組的反饋，判斷對錯。將問題的難度降低，將每一個孩子都納入活動中，讓他們“有能力答題”，他們才會舉手。在這之外，如果再加一點激勵手段——哪些孩子上課舉手回答了問題，課后來一個總結表揚，下堂課孩子們舉手的積極性就會更高。當孩子們養成了舉手答問的習慣后，課堂效率明顯提高，更重要的是為更高一級——提出問題——的數學思維發展奠定了基礎。

質疑中親近數學

一堂教授《長方形、正方形的面積計算》的展示課上，譚潔出示了一張新房裝修平面圖。

“譚老師的房子要裝修了，首先要鋪設兒童房的木地板，老師該怎么做？”

“要計算出兒童房的面積！”

譚潔給出房間的長與寬，請大家幫忙計算。在課前準備階段，譚潔了解到班級有半數孩子已經知道長方形的面積公式為“長×寬”，另有半數的孩子知道用學過的數方格來數出面積。這種情況下，“如果本堂課的教學目標再設定為讓學生通過探究得出長方形面積的計算公式，那無疑太淺層了”。斟酌過后，譚潔最終確定了本次課的目標為：知其所以然。譚潔將落腳點放在了讓孩子通過動手操作，發現長方形面積為什么是“長×寬”。

于是，在孩子們或數方格或用公式給出兒童房面積后，譚潔提出了疑問：“‘長×寬’就可以算出面積？特殊性是不是代表一般性，是不是所有的長方形都可以用這個公式計算面積？”

孩子們開始動手拼擺，并隨時記錄結果。多次驗證后，孩子們說出了為什么“長×寬”就可以計算出長方形面積的理由。接下來，他們根據自己驗證中得出的各種規律，提出了自己的衍生問題：已知面積和長度，如何計算寬度？生活中哪些時候需要運用到面積的計算公式？長方形的面積是“長×寬”，正方形的面積呢？周長和面積的區別與聯系？……

問題是數學思維的核心。當一個又一個的新問題被提出，其實也就是認識事物又多了一層視角，“這就是我們常說的創造性思維和豐富想象力，這二者對于孩子認識這個世界有多重要，無需我多說”。正因為此，譚潔認知中的數學老師有一個重要職責：為學生搭建質疑問難的平臺，促進學生問題意識的發展。

“其實，培養小學生的問題意識很容易，小孩眼中、心里對這個世界充滿好奇，腦海里的問號多得數不過來，老師要做的，就是給他們說出‘為什么’的勇氣，友善看待他們各種新奇的‘為什么’，即便他們問的與數學無關，甚至有幾分荒謬。”

能夠提出問題，就是萬里長征邁出了第一步。接下來，更重要的是，提升問題的質量。對于此，譚潔的經驗有四。

首先是引導學生質疑課題，“這樣做的好處是他們可以明確學習目標”。例如，在教授三年級上冊“長方形的周長計算”時，譚潔引導學生針對課題提問：什么是周長？要計算長方形的周長需要具備什么條件？長方形的周長是怎樣計算的？學習長方形的周長計算有什么作用？……

其次是讓學生敢于質疑教材，“這樣他們才會知道怎樣研讀教材”。教授“年、月、日”一課時，當學生探索發現閏年和平年的規律后，譚潔著重提示學生研讀教材結語：公歷年份是4的倍數的一般都是閏年。“他們馬上有了疑問：為什么教材用的是‘一般’呢？”至此，又是一番熱烈討論。討論過后，孩子們學到了“公歷年份是整百的必須是400的倍數才是閏年”這一知識，從而證明了必須要有“一般”這個詞。

再次是學會質疑生活，“這樣他們才能真正習得運用數學知識解決生活問題的能力”。男孩子大多喜歡踢足球，足球比賽的比分都用“3∶1”“2∶0”來表示，然而“我們在學習‘比的意義’時遇到了‘比的后項不能為0’這一情況”。于是孩子們提出疑問：“比的后項不能為0，為什么足球比賽的結果又經常寫成2∶0呢？”

最后是啟發學生將質疑延伸，“這樣他們將來即使離開了學校，只要質疑精神仍在，學習能力就不會退化”。仍以“長方形的周長”這一課為例，學生在課堂結尾時提出“平行四邊形的周長怎樣計算呢”“正方形的周長計算和長方形一樣嗎”等問題，不正是在向著更高難度邁進？

在活躍的空間里嚴謹思考

數學是一門嚴謹的科學，它的活躍體現在思維的多樣性。當每一種新的可能蹦出腦海后，“老師不能忘記鼓勵表揚，更不能忘記引導，引導他們用嚴謹思考來驗證自己的猜想”，只有當這一程序走完，他們才能獲得自我學習的能力——這種能力一旦獲得，受益終生。

學生進入五年級，譚潔將會有意識地訓練他們的自學能力。那些適合自學的內容，一定會讓學生自學。“這種自學有別于低年級的預習，它更像是教師備課時的深挖教材”，教材每一課時結束后總有幾個例題，譚潔會事先提問：這幾個例題放在課后有什么用？每一道例題的設置有沒有什么意圖？如果有，你能看出編寫者的意圖是什么嗎？例題的順序如此安排，有沒有什么講究？既然第一題已經鞏固了本章所學知識，第二題、第三題還有存在的必要嗎？……“我喜歡用這種辦法促使孩子思考。因為教學中我發現，有相當一部分孩子的自學，停留在把教材看一遍的階段，對于例題則只要會做就行，他們沒有用心、仔細地看懂每一道例題給出的不同知識點”。比如自學“除數是整數的小數除法”，例1要使學生理解并掌握除數是整數的小數除法的計算方法；例2和例3是除數是整數的小數除法中的兩種特殊情況，例2是除到被除數的末尾仍有余數，需要添0繼續除；例3是被除數比除數小，整數部分不夠商。“三道題層層遞進，教師如果不能引導學生一步步領會教材的意圖，學生的自學就很難達到深入思考的境界”。

教材之外，學會審題也是訓練學生自學能力的重要途徑。譚潔反思從前教過的班級，五年級之后，班上數學成績排名靠后的雖然成績也不算很差，但100分的學生也不是特別多。什么原因？“高年級后，數學題目的信息量都比較大，學生只有真正弄懂題目的意思才能把題目做好。現實卻是，面對變大的信息量，孩子們有些迷糊。因審題不清造成的失分比比皆是。”譚潔會告訴學生，拿到題目，先讀兩遍，再畫出關鍵詞，然后認真分析題目求的到底是表面積、體積還是周長。有了嚴謹細致的審題，做題的失誤就能大幅減少。“從更深一層講，這是一種數學閱讀訓練，它培養的，有嚴謹細致的品格，還有抓主要矛盾的方法論。”

畫圖則是第三種訓練途徑。譚潔將畫線段圖看得很重，“小學階段，教師如果致力于培養孩子數形結合的思想，即便是某些復雜的數學關系，也能在畫上線段圖后變得清晰明了”。

2015年，譚潔新接手了五年級89班，除了以上常規方案，她又開始嘗試用一個新平臺來幫助學生提升綜合素養。

“數學大講堂”一直都有，但從前都是譚潔主講。去年開始，主講人換成89班的學生。“孩子們自愿報名，選擇與數學相關、自己感興趣的課外知識，分享給全班同學。講課用的PPT可以自己做，或者邀請爸媽幫忙，還可以組建團隊共同制作”。

第一個報名的是小羅，他講的內容是一道經典奧數題——“牛吃草的問題”。小羅獨立完成了課件制作，“有課堂導入，有背景介紹，有經典例題，有習題設計……課堂像模像樣”。小羅講完后，輪到孩子們點評。大家點完贊、說完收獲，也提了不少建議：語速太快，題目有些難，課件文字偏多，可以用不同顏色標出重點，語言表達有些問題，講課時請盡量不要用背對著大家，可以增加一些互動環節……

第二個登上講堂的是小凌，他講的是二元一次方程。在小凌的講述過程中，“我能感覺到他將同學們給小羅的建議聽了進去”，比如講課時盡量不以背對著臺下，比如互動環節的增多，比如“你們聽懂了嗎”之類提問，又比如課件不再是整版文字。

第三個、第四個……每一次孩子登上“數學大講堂”后，譚潔都會準備一份文字總結、視頻、圖片發在班級QQ群里給家長和同學們分享。一次次的歷練，孩子們雖然還不夠完美，但都得到了提升，“班上的小趙在大講堂上講述光年后，數學成績甚至從80多分一躍至次次100分”。

譚潔說，我總希望我的課堂能給孩子們留下些什么，但我知道那不會是知識，因為知識是最容易被遺忘的存在。那，我能留下什么呢？或許是從生活的某一幅場景中發現數學信息的眼光，或許是工作中不斷提出新思路新方案、解決新問題的能力，又或許是嚴謹細致對待人與事的態度吧。