初識平面圖形，“說理”有多難？
——以平面圖形的認識為例

■樊玉敏

初識平面圖形，“說理”有多難？
——以平面圖形的認識為例

■樊玉敏

七年級的學生初涉平面圖形的“說理”問題時，常因知識掌握不牢、方法要領不當、思維發展不夠等因素而不能解決問題，不但會影響后續的平面圖形部分內容的學習，久而久之還會嚴重挫傷學生的學習信心。筆者結合實踐，從“說理”問題談起，切實把握“說理”關鍵，讓“說理”問題不再困難。

說理 因果關系邏輯次序 語言

《義務教育數學課程課標（2001版）》指出：數學教學中，發展學生的數感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數據分析觀念、運算能力、推理能力和模型思想十分重要。推理既是數學的基本思維方式，又是人們學習和生活中經常使用的思維方式，推理能力的發展貫穿于整個數學學習過程中。七年級的學生在初涉圖形與幾何部分學習圖形的定義、性質、判定等內容時，如何“說理”成了一個重點更是難點，但說理的過程卻因其是推理能力發展關鍵環節而避無可避、至關重要。

一、“說理”何難

瑞士心理學家皮亞杰的研究成果表明：7至15歲的少年處于一個以具體的形象思維為主要形式向以抽象思維為主要形式的思維的過渡階段。這種抽象往往基于認知、經驗之上，屬于經驗型的抽象思維。初一學生正處于發展抽象思維的初期，學習平面幾何時遇到說理問題，表現出來諸多問題，主要有以下幾個方面。

1.因果關系混亂。

學生初涉“說理”問題時，由于對概念、基本事實、性質、判定等內容不熟悉而常常在表達時將因果關系顛倒或混淆，這樣的“無憑無據”使得問題無法得到解決。

例1：如圖1，∵∠1=∠2，∴a∥b。理由：兩直線平行，同位角相等。

圖1　

圖2　

圖3　

分析：問題的出現主要由于學生沒有理解概念、基本事實、性質、判定等知識中所蘊涵的條件、結論分別是什么。我們要幫助學生從語法的角度分析知識所表達的邏輯關系，弄清楚具備哪些條件，才能得出這個結論。

2.邏輯次序混亂。

數學有其嚴謹、抽象、邏輯性強的特點，因此學習數學可以培養人的邏輯思維、空間想象等能力。而“說理”恰是練習和展現思維嚴謹、抽象、邏輯性的最直接的環節。

例2：如圖2，在四邊形ABCD中，∠A=∠C、∠B=∠D，試探討AD與BC、AB與DC之間的位置關系，并說明理由。

學生解答：平行。

理由：在這個四邊形中，從中間畫一條直線，兩直線被第三條直線所截，形成了同位角、內錯角、同旁內角，所以AD平行于BC；又∠B與∠C的和為180°，同旁內角互補，兩直線平行，所以AB平行于DC。

分析：問題的出現主要由于學生沒有掌握“說理”的次序，把想到的都搬出來，卻不知道甄別哪些是無用的，哪些是用錯的。表達得雜亂無章，折射出的恰是學生思維發展的不足。

3.語言轉換不清。

“數”與“形”是數學學習重點關注的兩個維度。學生在“說理”時，往往因為不習慣或不熟悉等因素，說理表達時有“形”無“數”或者有“數”無“形”，使問題的解決缺失了數學的味道。

例3：如圖3，在同一平面內，如果兩條直線都垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行嗎？為什么？

學生解答：平行，因為直線b，c都垂直于直線a，所以直線b，c平行。理由是平行線的性質。

分析：出現這種問題在于學生沒有將“文字語言”“圖形語言”“符號語言”進行轉換。實際問題中常遇到純“文字語言”給出的題目，我們要教會學生通過“圖形語言”這座橋梁將其“數學化”，再用“符號語言”將其翻譯出來，然后再去進行說理。

二、素養之缺

解決“說理”時出現的問題的關鍵在于：除了掌握知識本身之外，數學課堂應重視培養學生的“數學素養”，尤其需要培養以下三方面的能力。

1.準確“審題”的理解能力。

要想解決數學問題，首先要能準確理解題目的意思，知道條件是什么，需要得到的結果是什么。如果題目都沒有讀懂，就不能說清要解決什么問題，更無從解決問題。

2.三種“語言”轉化的能力。

在學習平面幾何時，“文字語言”“圖形語言”“符號語言”的表述和轉化十分重要。如何將原先用文字語言表述的幾何概念、基本事實、定理等知識轉化為圖像語言，再結合圖形，用符號語言準確表達出來是學生初涉“說理”的一個“坎”。

3.“由果索因”的分析能力。

“由果索因”是逆向思維運用在解決數學問題中的一種重要方法。當學生遇到那些條件和結論之間的關系比較復雜的問題時，就可以逆向思考，從要得到的結果出發，根據既定法則和事實條件，分析得到這個結果需要什么條件，包括隱含條件、過渡條件等等，最終追到這個條件可以通過題目已知條件解決。這種分析能力在解決“說理”問題時十分管用。如果初期通過實踐養成了這種良好的思維習慣，對學習解決數學甚至其他學科的問題具有重要價值。

三、“說理”關鍵

1.因果關系力求“步步有據”。

說理要求“步步有據”。這里的“據”指的就是相關的基本概念、基本事實、定理及其推論。當說理涉及有關定義、性質、判定等問題時，一定要把條件、結論分析清楚，明確因果關系，這也是進行“說理”的前提。

2.說理過程盡量“一氣呵成”。

數學講究“能簡則簡”，崇尚“簡約美”。事實上，將復雜的文字語言轉化為圖形、符號語言就是“能簡則簡”數學思想的一種體現。“說理”既要說清道理，用最簡語言進行表達，還要盡力做到“一氣呵成”，避免出現相同問題重復說，簡單問題繞圈說等情況，使得整個解答冗長、啰嗦，雖然說出了理，但讓觀者望而生煩。

3.語言轉換“合理熟練”。

著名數學家和數學教育家G·Polya指出：“數學有兩個側面，一方面它是歐幾里得式的嚴謹科學，從這個方面看，數學像是一門系統的演繹科學；但另一方面，創造過程中的數學，看起來卻像是一門實驗性的歸納科學。”可見，要在新課標下關注學生數學的發展，就要在數學教學中充分體現它的兩個側面：既重視數學內容形式化、抽象化的一面，又要重視數學發現、數學創造過程中具體化、經驗化的一面。在說理時，將“數”“形”兩種量進行準確轉化十分重要。解決好說理問題，必須要掌握本節重要的知識內容。（見下表）

圖形語言　符號語言知識內容∵a∥b 兩直線平行的性質兩直線平行文字語言條件結論同位角相等內錯角相等同旁內角互補a b 2 6同位角相等內錯角相等∵∠1=∠5∵∠4=∠6 4 3 5任選一組同位角、內錯角、同旁內角∴a∥b 1 8兩直線平行7同旁內角互補B兩直線平行的判定C∵∠4+∠5=180°∠A+∠B+∠C=360° A內角和是180° D C A ∠DAB+∠EBC+∠FCA=360° F外角和是360°多邊形的外角和三角形B這個三角形是等腰三角形一個三角形有兩條邊相等E兩腰相等A等腰三角形BC等邊三角形類比等腰三角形中線線段等量關系A 12AC角平分線∵線段AD是∠BAC的角平分線∴∠BAD=∠DAC=∵AB=AC∴三角形ABC是等腰三角形∵三角形ABC是等腰三角形∴AB=AC∵線段BE是△ABC的邊AC上的中線∴AE=CE= E C角的等量關系B 12∠BAC分類討論直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形三種情況線線之間的位置關系以及角的等量關系FD∵線段AF是△ABC的邊BC上的高∴AF⊥BC，∠AFC=∠AFB=90°高線三角形∴∠1=∠5∴∠4=∠6∴∠4+∠5=180°備注多邊形的內角和

在說理過程中，還常常會遇到以前所學過的知識，如兩直線互相垂直的定義、性質等內容，類比這種分析方式，理清條件、結論，再遷移到語言的互相轉換。這種能力的培養還將為學習幾何部分的其他內容奠定下重要的基礎。

總之，初涉平面圖形的說理，只要弄清所學的知識內容，準確分析條件和結論，掌握語言轉化的技巧，熟悉數形結合的思想，就不會難。

（作者為南京市第五十四中學教師）