實驗促互動　數形巧結合
——數學實驗課“拼圖”的教學過程及思考

■康葉紅

實驗促互動數形巧結合
——數學實驗課“拼圖”的教學過程及思考

■康葉紅

借助于三種不同的紙片進行拼圖活動，讓學生經歷操作、探究、解決問題的過程，探索拼圖與整式的乘法運算、因式分解之間的內在聯系，先由“形”得到一些關于“數”的結論，然后借助圖形反映出部分“數”的幾何意義，學生在動手“做”中知識得到延伸，積累有效的基本數學活動經驗。

拼圖整式乘法因式分解

【案例回放】

實驗課前準備：4人一組，剪刀，A型紙片（邊長為a的正方形），B型紙片（邊長為b的正方形），C型紙片（長為a、寬為b的長方形）各若干張（如圖1）。

圖1　

活動一：選取1張A型紙片、1張B型紙片、2 張C型紙片拼成一個正方形。

學生很快通過拼圖得出圖2，且看出拼圖得到完全平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2，并解釋，從整體看，所拼出的正方形的邊長是a+b，因此它的面積是（a+b）2；從局部看，組成這個正方形的每個部分的面積分別是a2，ab，ab和b2。

圖2　

活動一效果很好，學生反應很迅速，于是，就緊跟著展示活動二。

活動二：分別選取適當數量的A型、B型、C型三種紙片，拼出一個邊長分別為a+2b、a+b的長方形。

學生4人一個小組動手操作、開始拼，很快，學生給出了多種拼法，教師選取其中的一組上臺匯報，學生在黑板上畫下了圖3。這時，教師結合圖形3，適時的拋出了問題：

①圖3中有什么隱藏的等式？

②能結合圖3解釋你所得到的等式嗎？

圖3　

這時一個學生舉起手來，立馬讓他來說。

生1：老師，a+2b表示長方形的長，a+b表示長方形的寬，（a+2b）（a+b）是這個長方形的面積，我發現a2+3ab+2b2=（a+2b）（a+b）反映的是因式分解，反之（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2反映的是整式運算。

生2：等式中的a2+3ab+2b2表示需要1個面積為a2的紙片即A型紙片，需要3個面積為ab的紙片即C型紙片，需要2個面積為b2的紙片即B型紙片。

生2還沒說完，下面的學生就開始議論了。

生3：需要不同類型的紙片的片數和等式前面的數字有關系。

這時，教師追問：什么關系呢？

生2立馬補充道：不同類型的紙片的片數對應的就是這個二次三項式的系數。

學生一下子總結出來了，很是出乎教師的意料，讓教師很是驚訝。其他學生聽了生2所說的，數了數紙片，看了看代數式各項的系數，很是贊同，原來通過拼長方形可以幫助我們進行整式的乘法運算，還可以幫我們進行多項式的因式分解，學生頓時有了興趣。教師立馬追問讓學生一起來驗證，選取若干張紙片，先嘗試拼成一個長方形，再思考能否得到反映整式乘法運算或者是因式分解的等式？

生4：（a+2b）（2a+b）=2a2+5ab+2b2。

生5：（3a+b）（a+b）=3a2+4ab+b2。

生6：2b（a+b）=2ab+2b2。

生7：（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2。

不同的小組拼出不同的圖形，但是得出了同樣的結論，找出了不同紙片的選擇數量與系數之間的關系，找到了形成圖形的一般方法。

活動三：請你嘗試選擇三種紙片，將它們拼成一個長方形，并且使得所拼長方形的面積分別為3a2+4ab+b2和a2+4ab+b2，你得到怎樣的結果？為什么？

學生4人一個小組，立馬動手開始嘗試，小組配合默契，3a2+4ab+b2這個等式，根據剛才分析的系數，也就是說需要3張A型紙片、1張B型紙片、4張C型紙片拼成一個長為3a+b，寬為a+b的長方形（如圖4），能因式分解為（3a+b）（a+b）。

圖4　

但對于a2+4ab+b2學生開始有些慌了，小組內的意見也開始不統一起來，有些學生認為能拼，可不知道怎么拼，有些學生認為不能拼成長方形，一場辯論就這樣不知不覺開始了。

生8：能拼，可我不知道怎么拼。

生9：a2+4ab+b2不能拼成長方形，我們知道完全平方公式是（a+b）2=a2+2ab+b2，中間的項是2ab，可以拼成一個邊長為a+b的正方形，而這里是4ab，多了2ab，因此不能拼成長方形，也不能因式分解。

師：是的，a2+4ab+b2不能拼成長方形，如果把a2+4ab+b2改為a2+2ab+b2可以拼，除此之外，想要拼成長方形，更改其他項的系數可以嗎？

生10：a2+4ab+b2改為3a2+4ab+b2可以拼成一個長為3a+b，寬為a+b的長方形。

生11：a2+4ab+b2改為a2+4ab+3b2可以拼成一個長為a+3b，寬為a+b的長方形。

師：小組合作任意寫出一個關于a、b的二次三項式，再用若干塊所提供的紙片拼成一個長方形，使這個長方形的面積可以用這個多項式表示，要求每兩個圖片之間既無縫隙，也不重疊，思考寫出的關于a、b的二次三項式都能表示一個長方形的面積嗎？你們認為具備什么條件的二次多項式可以表示一個長方形的面積？

生12：只要能因式分解的二次多項式就可以表示一個長方形的面積；如果一個二次多項式能表示一個長方形的面積那么它就一定能分解成長方形的長與寬的積。

【案例反思】

1.如何把握拼圖中數形結合？

這個實驗課是為蘇科版義務教育教科書《數學》七年級下冊“9.5多項式的因式分解”而設計的。在這個教學片段中設計了三個活動，首先，活動一利用三個不同類型的紙片拼圖，再現完全平方公式的情境，感受“數”“形”的基本聯系。

其次，活動二通過已知邊長拼長方形，在學生小組合作，反復嘗試的過程中，逐步感受到不同的紙片的選擇數量與系數之間的關系，初步形成拼圖的一般方法，并理解圖形與所得等式之間的聯系，完成由“形”到“數”的過程，突顯特征。

然后，活動三通過已知面積拼長方形，對由實驗觀察到的現象進行分析討論，獲得能拼出長方形的規律性的認識，感悟數量關系與圖形性質的相互轉化，完成由“數”到“形”的過程，提煉方法。

2.如何把握學生獨立思考與合作交流的關系？

這個實驗課中，學生不斷的小組合作通過拼圖完成活動，學生獨立思考的時間略顯不足。如在活動二中，生2快速的總結出不同紙片的選擇數量與系數之間的關系，教師又急于完成教學流程，過早地總結歸納。雖然整節課堂氣氛活躍，結構流暢，學生積極主動的小組合作探究，但它存在著一定的遺憾：一部分學生沒有充分思考的時間，缺乏獨立的自我思考，只能被動地跟著其他同學、老師的思路走，從而出現替代思維現象。長此以往，這一部分的學生漸漸學習動力不足，主動探索思考的興趣也會逐漸下降。

3.如何把握數學實驗課學生自主實驗探究與教師引導的關系？

在這個實驗課中，面對不同的二次三項式，教師引導比較明顯，學生基本按照教師的設計路線走，如學生在寫關于a、b的二次三項式時，沒有一位學生寫出含“-”號的多項式，說明學生還處于模仿的初級階段，沒有跳出教師設計框架，思維發散程度還不夠，不敢大膽地嘗試，缺少一些讓人興奮的發現和感悟。

教師引導下的自主探究是一種常見的教學形態，過多或過早的“引導”勢必變為教師教授的教學形式，學生失去了自主探索的機會，而放任自流的自主探索，盲目性較大，也不利于探索任務的實現。有效的數學教學活動是教師教與學生學的統一，數學實驗課重在學生實踐，學生在實驗活動中，自主參與、全過程參與，學生積極動腦、動手、動口。教師教學時應著眼于學生的能力的發展與培養，引導學生積極參與，通過自主探索、動手實踐、合作交流等學習方式確保學生的思維得到激活，智慧得到啟迪。

（作者為南京市六合區橫梁初級中學教師）