一種 Caputo型時間分數階波動方程的差分方法

余躍玉

（四川文理學院數學與財經學院,四川 達州635000）

1 引言及預備知識

隨著科技的發展,計算能力的提高,分數階微分方程不僅越來越多的應用于光學、熱學、材料學、力學、信號處理和辨別、控制學、生物學、金融及其其它領域［1-5］,而且能更好地擬合某些自然物理過程和動態系統過程,特別是分數階時間導數模型能用較少的參數精確地擬合實驗數據,因此分數階微分方程引起了廣大學者的關注.然而,分數階微分方程的解析解往往形式復雜,很難用簡單的函數表示而且有些非線性的方程的解析解是不易求得的,于是研究分數階微分方程的數值解引起了廣大學者的關注［6-8］.

2 差分格式的建立及差分解存在唯一性

3 差分格式的穩定性

4 差分解的收斂性

5 數值試驗

對于方程（2） ～（4）,考慮α＝1.8,β＝0.7,λ＝μ＝1,L＝2,T ＝1,f（x） ＝g（x）＝0,

時的情形,此時方程的精確解為:u（x,t） ＝t2x（2-x）.

表1給出了當t＝1,空間、時間步長分別為τ＝0.1、h＝0.1,τ＝0.05、h＝0.05和 τ＝0.01、h＝0.01時的數值解與精確解u（x,1）.從表1可見,當網格剖分越細時,數值解越接近精確解.這說明該格式是有效的.

表2給出了取不同的時間、空間步長,在時間t＝0.1,0.2,…,1.0時的L∞-誤差,數值結果表明收斂階能達到O（τ+h2）,與理論分析一致.

表1 當t＝1時不同步長下的數值解與精確解的比較Table 1 The comparison of numerical solution and exact solution in different steps when t＝1

表2 在t時刻的每個時間層上的L∞-誤差Table 2 The‖·‖L∞errors of numerical solution

致謝四川文理學院校級項目（2013Z003Z）和教育教學改革項目（2013JZ14）對本文給予了資助,謹致謝意.

［1］ Podlubny I.Fractional Differential Equations［M］.San Diego:Academic Press,1999.

［2］ Jack J J B,Noble D,Tsien R W.Electric Current Flow in Excitable Cells［M］.Oxford:Oxford University Press,1975.

［3］Liu F,Anh V,Turner I,et al.Numerical simulation for solute transport in fractal porous media［J］.Anziam J,2004,45（E）:461-473.

［4］劉勇,謝勇.分數階Fitz Hugh-Nagumo模型神經元的動力學特性及其同步［J］.物理學報,2010,59（3）:2147-2155.

［5］同登科,王瑞和.分形油藏非Newton粘彈性液分數階流動分析［J］.中國科學:物理學·力學·天文學,2004,G34（1）:87-101.

［6］ Mainardi F,Luchko Y,Pagnini G.The fundamental solution of the space-time fractional diffusion equation［J］.Fract Cal Appl Anal,2001,4:153-192.

［7］ Chen S,Liu F,Zhuang P,et al.Finite difference approximations for the Fractional Fokker-Plank equation［J］.Appl Math Model,2009,33:256-273.

［8］ Mainardi F.The fundamental solutions for the fractional diffusiona-wave equation［J］.Appl Math,1996,9（6）:23-28.

［9］ AI-Khaled K,Momani S.Approximate solution for a fractional diffusion-wave equation using the dcomposition method ［J］.Appl Math Comput,2005,165:473-483.

［10］ Fix G J,Roop J P.Least squares fiinit element solution of a fractional order two-point boundary value problem［J］.Comput Math Appl Math,2004,48:1017-1033.

［11］陳景華.Caputo分數階反應-擴散方程的隱式差分逼近［J］.廈門大學學報:自然科學版,2007,46（5）:616-619.

［12］ Zhuang P,Liu F.Implicit difference approximation for the time fractional diffusion equation ［J］.Appl Math Comput,2006,22:87-99.

［13］ Wyss W.The fractional diffusion equation［J］.Math Phys,1986,27:2782-2785.

［14］蘇麗娟,王文洽.雙邊空間分數階對流-擴散方程的一種有限差分解法［J］.山東大學學報:理學版,2009,44（10）:26-29.

［15］盧旋珠.時間分數階對流-擴散方程的有限差分方法［J］.福州大學學報:自然科學版,2004,32（4）:423-426.

［16］李曉明,余躍玉,胡兵.時間分數階對流-擴散方程的有限差分法［J］.四川大學學報:自然科學版,2013,50（2）:225-229.

［17］鄭茂波,胡勁松,胡兵.正則長波方程的一個新的差分逼近［J］.四川師范大學學報:自然科學版,2011,34（3）:305-308.

［18］胡勁松,王玉蘭,鄭茂波.Rosenau-Burgers方程的一個新的差分格式［J］.四川師范大學學報:自然科學版,2010,33（4）:455-457.

［19］余躍玉,胡兵,閔心暢.非線性Sobolev-Galpern方程的一種有限差分格式［J］.四川大學學報:自然科學版,2011,48（1）:48-53.