基于分數階微積分的自抗擾控制

關學忠，白云龍，2，孫立剛，佟 宇

（1.東北石油大學 黑龍江 大慶　163319；2.中環天儀股份有限公司 天津　300111）

基于分數階微積分的自抗擾控制

關學忠1，白云龍1，2，孫立剛1，佟 宇1

（1.東北石油大學 黑龍江 大慶163319；2.中環天儀股份有限公司 天津300111）

隨著分數階理論研究的不斷發展，分數階 控制器方法不僅可以改善系統動態響應特性，而且可以獲得優越于傳統PID控制器方法。分數階微積分控制器增加了積分階次 和微分階次 ，提高了設計控制器的靈活度。本文在分數階理論基礎上引入了自抗擾控制器，設計出新型的分數階自抗擾控制器，充分結合分數階控制器高精度控制和自抗擾控制器抗干擾能力強等優勢。通過仿真分析的得出分數階自抗擾控制器的控制效果優越于其單獨的控制效果。

分數階；自抗擾控制器；參數整定；魯棒性

“分數階”的概念早在三百多年前就被提出來了，它是伴隨著經典整數階理論應用共同發展而產的，分數階微積分與的理論研究有著同樣的悠久歷史。德國數學家與在研究討論1/2階的導數時，最早提出了分數階的概念。I.Podlubny教授于1999年提出了分數階 PID控制器 （Fractional order PID controller），其一般格式簡記為 PIλDμ，增加了積分階次 λ，微分階次μ，比整數階 PID控制器多了兩個可調參數，增加了設計控制器的靈活度［1］。通過增加積分階次和微分階次來增加分數階PIλDμ控制器設計的多樣性，繼承傳統PID控制的優點并具有更靈活的結構和更強的魯棒性［2］。

自抗擾控制技術由韓京清教授在近幾十年提出，以改善經典PID控制為開端，分析研究大量數據運用計算機技術進行仿真，在控制中引入非線性結構，實現對動態系統實時估計反饋補償，擁有較強的抗干擾性和穩定性［3］。自抗擾控制器（Active disturbance rejection controler，簡稱ADRC）主要由：過渡安排過程（TD）、擴張狀態觀測器（ESO）、非線性狀態誤差反饋控制律（NLSEF）、擾動估計補償部分組成。它不依賴于被控對象準確固定的數學模型，可以對未知的被控對象模型進行控制，擺脫了對象模型的依賴，有較好的適應能力和自動估計補償未知外部干擾的能力，依靠過程誤差來消除誤差。它的控制理念是把復雜的控制問題變得簡單化，不再以時變或時不變來劃分被控制對象，改變原有嚴格意義上的非線性控制和線性控制等區別，主要采用非線性反饋抑制補償方法，直接檢測系統內外的總擾動，對控制系統被控變量進行實時反饋補償［4］，處理內外總干擾，抑制干擾對系統產生的不良影響，增強系統穩定性，與其它方法相比，能夠有效的抑制系統內外干擾產生的誤差。

1　分數階系統的基礎理論

1.1分數階控制器分類

目前，在分數階基礎理論上發展總結出的控制器主要有4種類型，他們分別是：1）TID控制器；2）非整數階魯棒控制器（CRONE）；3）分數階PIλDμ控制器；4）分數階超前滯后補償器［5］。

1）TID控制器

TID（tilt-integral-deriva）控制器由B.J.Lurie在1994年提出，TID控制器在傳統的PID控制器結構上做了調整，把傳統PID控制器結構中比例kp用S-γn進行替換，改善控制器性能和控制效果，使系統控制效果更趨近于理論期望值。在常規PID控制基礎上進行改善，進而減小實際誤差，TID為了更好的輸出系統動態響應，展現出控制器更強的抗干擾性能，讓實際的閉環控制響應輸出與期望的閉環控制響應輸出的偏差更小，盡可能的趨近于零，使系統輸出量達到理論最優。

2）CRONE控制器

在上個世紀末，Oustaloup提出CRONE控制器的概念，在法語中CRONE是“分數階魯棒控制器”的意思。在工業控制發展中，它的使用已經較為成熟，使用方便具有明確的物理意義。CRONE系統特征方程為：1+（τs）α=0，在系統中可使用Matlab中toolbox工具進行仿真。

3）分數階PIλDμ控制器

教授最早提出了分數階PID控制，簡記為PIλDμ。

一般形式為：

其中，Kp，Ki，Kd為比例、積分、微分增益。

當λ=1，μ=1時，就是整數階PID控制器；當Kd=0，λ=1時，即為傳統PI控制器；當 Ki=0，μ=1時，即為傳統PD控制器；當λ=0時，即為PDμ；當μ=0時，即為PIλ控制器。

4）分數階超前滯后補償器

分數階PIλDμ超前滯后補償器屬于經典控制理論超前滯后校正的范疇思路，經典分數階超前滯后校正器可以表示為：

1.2分數階PIλDμ控制器

分數階PIλDμ控制系統結構框圖結構為：

圖1　分數階PIλDλ控制器結構圖

分數階控制單位負反饋結構，G（s）為分數階被控系統的傳遞函數，C（s）為分數階 PIλDμ控制器的傳遞函數，E（s）=R （s）-Y（s）是分數階控制器的輸入。R（s）為系統輸入，E（s）為系統誤差輸入，U（s）為控制器輸出，Y（s）是系統輸出。

圖2　分數階控制系統結構圖

控制器G（s）傳遞函數為：

對公式（3）進行變換后可得到其他表達式為：

其中，λ＞0，μ＞0。

在時域時控制系統輸出：

離散傳遞函數可表示為：

分數階控制器的G（s）傳遞函數為：

分數階PIλDμ控制系統閉環的特征多項式為：

圖3　控制系統穩定區域示意圖

2　分數階自抗擾控制器

分數階自抗擾控制器的設計是對自抗擾控制器魯棒性能的提升，同時改進自抗擾技術的非線性誤差反饋環節，引入分數階積分環節的作用，分數階積分sλ使系統的幅頻響應曲線的斜率不再是-20 dB/dec，而是變為-20 dB/dec，改善整數積分環節導致閉環響應速度緩慢，調節時間長，容易產生振蕩，積分飽和引起的控制量飽和等負面影響，同時也消除擴張狀態觀測器“總和干擾”估計誤差，使得穩態誤差盡可能的降低，減小系統內因為積分飽和導致的控制量的不良影響，增強了控制器的響應特性，改善后的控制器能夠得到更好的控制效果［7］，擴張狀態觀測器實現了對被控對象擾動誤差的估計補償，同時增強了分數階微積分控制器的抗干擾能力。所設計的分數階自抗擾控制器結構如圖4所示。

ESO的基本結構在任意擾動空間狀態為：

可以根據其線性化結構設計成為非線性結構：

圖4　分數階自抗擾控制結構圖

其中，z1，z2，z3為觀測器的狀態 β01，β02，β03是大于零的待設計觀測器增益系數，bo則是對象控制量增益b的估計。

ESO使用在fal非線函段（c，1）和（-1，-c）范圍內，依據所具有的反饋的作用，反饋形式可寫成：

觀測器誤差狀態可表達為：

對各個誤差求其比較的基準點，系統各個穩態誤差可以表示為：

對分數階微積分采用Oustaloup數字計算實現方法，利用尋優確定濾波器參數，實現一段頻率段內微分算子的sa近似，應用改善后的最優Oustaloup最優算法尋優確定濾波器參數來提高近似精度。

在頻率段內ωb＜ω＜ωh用泰勒展開，并提取一階推導可得：

3　仿真研究

對分數階自抗擾控制器的性能分析，以伺服電動機控制為研究對象，分析比較相同環境下，被控對象在不同控制器單獨作用和組合應用的控制效果，分析他們的基本性能值并與期望設定值作比較分析［8］。

發動機被控制對象函數為：

為了應用在新建立的控制器上做出對比，進行簡化參數的運算，設定發動機控制運行慣性環節時間常數為0.1 s。

對FOPID參數使用同樣方式進行優化得到：

為了公平比較，分析這幾類控制器的動態響應，對部分基本參數進行同一設定，設定FOPIDADRC中的ESO與單獨作用時基本參數相同。

ADRC中非線性誤差反饋器：b01=35，b02=175

分數階自抗擾控制器參數：

Kp=9.845，Ki=-7.175，Kd=5.846，λ=0.796，μ=0.473。分別比對PID，FOPID，FOPIDADRC，ADRC這幾種控制器分析比較。

表1　時域響應性能指標對比

分析表1，FOPID控制器的超調量最大，但其峰值時間最短，上升時間也最短；FOPIDADRC與ADRC和PID控制器相比超調量稍大，但上升時間和調節時間明顯縮短；FOPIDADRC與FOPID控制器相比，增加了自抗擾擾控制器的過渡過程，因此其超調量明顯的降低，提高了系統的穩定性，FOPIDADRC的各項指標綜合比較性能較好。

穩定性是控制器控制的基本要素，在輸入信號為階躍信號的條件下，對這幾類控制器的抑制外部干擾以及穩定性進行分析。在不同控制器輸出均達到穩定后，在0.6 s加入持續時間為0.2 s，幅值為-2的矩形外部干擾信號。從圖5中可觀測控制器的動態響應，分數階的抗干擾抑制外部擾動的效果不如分數階自抗擾控制器，在分數階自抗擾控制器中中由于分數階系統引入了擴張狀態觀測器，能夠對系統進行實時估計誤差補償，抑制干擾性能得到了充分體體現。這種新型的結合控制器，吸取了自身優點的長處，彌補了其自身的不足，二者共同作用提高了系統的穩定性，增強了抗干擾性，減少了響應時間。

圖5　分數階自抗擾控仿真分析

4　結　論

本文主要在分數階微積分理論基礎上引入了自抗擾控制技術，將分數階微積分控制器微積分階次調節參數范圍廣控制器設計靈活度高，以及自抗擾控制器抗干擾能力強等優點結合在一起，設計出新型分數階自抗擾控制器，在分數階控制器中嵌入自抗擾的擴張狀態觀測器。通過仿真比較在同一被控對象下，分數階自抗擾控制器具有比傳統PID控制、分數階控制和自抗擾控制單一控制器作用下更好的控制效果，表現出響應速度快，穩定性好，抗干擾能力強。仿真結果分析可總結出，分數階自抗擾控制器達到了所設計結合的目的。

［1］朱呈祥，鄒云.分數階控制研究綜述［J］.控制與決策，2009，24（2）：161-169.

［2］曹軍義，曹秉剛.分數階控制器的數字實現及其特性［J］.控制理用，2006，23（5）：791-794.

［3］韓京清，王偉.非線性跟蹤微分器［J］.系統科學與數學，1994，14（2）：177-183.

［4］韓京清.一類不確定對象的擴張狀態觀測器［J］.控制與決策，1995，10（1）：5-88.

［5］王振濱，曹廣義，朱新堅.分數階微積分在系統建模中的應用［J］.上海交通大學學報，2004，38（5）：802-805.

［6］趙春娜，李英順.分數階系統分析與設計［M］.北京：國防工業出版社，2011.

［7］嚴慧.分數階控制器階數變化對控制性能的影響［J］.金陵科技學院學報，2008，24（4）：13-18.

［8］李大字，劉展，靳其兵，等.分數階控制器參數整定策略研究［J］.系統仿真學報，2007，19（19）：4402-4406.

Active disturbance rejection control based on fractional order calculus

GUAN Xue-zhong1，BAI Yun-long1，2，SUN Li-gang1，TONG Yu1
（1.Northeast Petroleum University，Daqing 163319，China；2.Zhonghuan TIG Co.，LTD，Tianjin 300111，China）

With the continuous development of the fractional-order theory，fractional-order controller method can not only improve the dynamic response characteristics，but also can obtained superior to the conventional PID controller method. Fractional calculus controller increases the integral and differential，improve the the flexibility of the controller.In this paper，based on the fractional-order theory added ADRC，design fractional-order active disturbance rejection controller，combine fractional order controllers precision control with ADRC disturbance rejection ability.Through simulation analysis fractionalorder active disturbance rejection controller results superior to their individual control.

fractional-order；active disturbance rejection；parameter tuning；robust ability

TN0

A

1674－6236（2016）06-0111-04

2015-05-14稿件編號：201505126

關學忠（1962—），男，吉林蛟河人，博士，教授。研究方向：智能控制，模糊控制，嵌入式系統。