高數思想指導　完善初數錯漏

彭翕成

高數思想指導完善初數錯漏

彭翕成

有老師表示，高等數學對中學數學的指導作用毋庸置疑，很多題目用初等數學方法解答較為困難，但使用高等數學方法則比較簡單。比如羅必塔法則、泰勒展開式，讓很多題目變得容易，因為命題人很可能就是從高等數學里獲得靈感。問題是，考試時不能直接應用這些高等數學公式，可謂“空有屠龍技藝，沒有用武之地”！

這種情況確實存在。這就好比成年人做小學的應用題，本來用列方程很容易解決，但限于算術方法，解答起來則十分困難。這說明高等數學應用于初等數學，需要研究如何化用，而不能照搬。除了明面上的應用，也可以是無形中的滲透，指導我們從更高的角度認識問題，特別是在初等數學中容易忽視的問題。下面筆者舉例說明。

多本資料上有這道題，解法也各不相同。

由于a，b，c，d是任意正實數，放縮時等號不能取到，所以1＜s＜2。

對比之下，相信大多數人都會選擇解法2。但解法2真的就是完美的么？要知道此題是第16屆IMO試題，又怎會如此容易！

解法2只是證明了1＜s＜2，但s能否真的取盡（1，2）中的所有數？如果不能證明s取盡（1，2）中的所有數，那只是說明了1（2）是s的下（上）界，而不能說明是下（上）確界，也就和解法1中得到范圍（0，4］并無實質的區別。

（1，2）中的所有數。

思考：解法1并無錯，只是得到（0，4］是下（上）界，而非下（上）確界，需要進一步壓縮。解法2利用放縮技巧，得到更精確的取值范圍，只是忽視了連續性。中學里接觸的函數幾乎都是初等函數，多數情況下不會出問題，因而這一問題也常常被忽視。而對學過高等數學的老師而言，還是要做到心中有數為好。

這樣解答看似沒有問題，但對學習過高等解析幾何的人來說，遇到此題應該很快地聯想到這是一個平面和單位球，而原點到平面的距離要大于球的半徑1，平面與球不相交，意味著方程組無實數解。當Y=0時，則是中學里比較熟悉的二維版本這里的直線和圓也是不相交的。從無實數解可知無實數解，這與題目中x，y，z是 3個實數矛盾，此題為錯題。

由于中學里并不講點到平面的距離公式（其實可看作是點到直線距離公式的升級版本，類比提一下也無妨），所以發現問題之后，需要另找途徑來說明。

利用不等式3（X2+Y2+Z2）≥（X+Y+Z）2，即3×1≥22，矛盾。該不等式的推導可用恒等式：3（X2+Y2+Z2）= （X+Y+Z）2+（X-Y）2+（Y-Z）2+（Z-X）2，這樣初中生也就能理解了。

不只一次看到這樣的解法。如果中學生這樣解，倒還可以理解。作為學過線性代數的中學老師，出現這樣的解法很是不應該。

在線性代數中，求解線性方程組Ax=B的解的數量有三種情況：無解、唯一解、無窮多解。對于有無窮多組解的方程組，解方程組的本質就是用一組可以自由取值的變量（稱為自由變量）表示其余變量（稱為主變量）。對自由變量的任一組值，都能唯一確定主變量的值，它們一起構成方程組的一個解。需要特別強調，主變量和自由變量的分法并不唯一。

單純從解題而言，這樣的代換解法并不好。可利用例2的不等式3（X2+Y2+Z2）≥（X+Y+Z）2來證，或是由展開，或使用均值不等式

例4若ax+by=1，bx+cy=1，cx+ay=1，ac-b2≠0，求證：ab+bc+ca=a2+b2+c2。

所以ab+bc+ca=a2+b2+c2。

看到上述題目和解答，第一感覺就是條件ac-b2 ≠0多余。因為上述證明稍加改寫就可去掉這個條件。

證法1（改寫）：由ax+by=1，bx+cy=1，得acx+bcy= c，b2x+bcy=b。

相減，得（b2-ac）x=b-c。

同理，得（b2-ac）y=b-a。

代入cx+ay=1，得（b2-ac）cx+a（b2-ac）y=b2-ac，得c（b-c）+a（b-a）=b2-ac。

所以ab+bc+ca=a2+b2+c2。

這樣一來，b2-ac不出現在分母，不管其是否為0都不受影響。至于將cx+ay=1兩邊同乘b2-ac，也無需考慮b2-ac是否為0。

證法2（武漢陳起航提供）ab+bc+ca=ab（ax+by）+ bc（bx+cy）+ca（cx+ay）=a（2bx+cy）+b（2cx+ay）+c（2ax+ by）=a2+b2+c2。

證法3：ab+bc+ca-a2-b2-c2=

，而不是（b2-ac）x=b-c。

進一步想，就會發現，條件ac-b2≠0純屬畫蛇添足。因為所求等式ab+bc+ca=a2+b2+c2可轉化為（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=0，等價于a=b=c，可推出acb2=0。這意味著條件ac-b2≠0不僅多余，還造成了矛盾。添上腳的蛇也就不再是蛇，添上矛盾條件的題也就不再是合格的題了。

后面三種證法表明，無需考慮b2-ac是否為0。題目中加上ac-b2≠0這一條件，可能是命題者為了降低難度，考慮到中學生更習慣

證法2：（9x3-17x2+9）′=27x2-34x=0，可得x=0或分析函數增減性可知，當時，9x3-17x2+9取得最小值

這樣做，讓學習者一方面是無比崇拜，另一方面則是望而生畏。這讓人想起關于數學家高斯的一段評語：“高斯并不喜歡教書，而且通常給人的感覺是冷冷的，故和其他數學家相處得不好，或許是因為他無時無刻都在思考研究，因而疏于人際關系吧！終其一生，高斯總是靜靜地將答案寫下，不留一點計算痕跡，而且對答案有絕對的把握，就像雪地中狐貍總是用尾巴掃拭足跡一般。”

變式教學是數學教學中的常用招數。老師在講完一道題目之后，常常會給出一些變式，既鞏固原題，又開闊視野。有時不直接給出變式，而是啟發學生，你能從這個問題想到什么，能否提出新問題。這樣的啟發自然是好的。但有時也容易出問題，哪怕是看似簡單的變化。

比如，學完勾股定理之后，有些老師會補充：凡滿足x2+y2=z2的整數解稱之為勾股數，如何求解勾股數呢？講解完勾股數的求法之后，如果學生再問，如何求解x3+y3=z3，x4+y4=z4，…，xn+yn=zn，這可就麻煩了。

證法1：

相當多的微積分教材都是采用這種證明，稱之為經典并不為過。但經典的是不是最好，是不是就沒有商榷、改進的余地呢？并非如此。

中學沒有無界這個概念，但通過分析，學生可以看到這個結果是要多大就有多大的。

這是QQ群里網友求助的問題。問題一出，熱心網友紛紛支招，提供各種解題思路。

求助者問：思路很多，誰最終解出來了么？結果沒一人給出解答。

我說：這題是你自己改編的吧，原題是什么？

他不承認，說：哪有什么原題，這明明是一個獨立完整的題目，數列的每一項都是唯一被確定的。

我說：那我搞不定。大膽說一句，沒人搞得定。

他說：你做不出來，怎么能確定其他人也做不出來？

他說：你講的好玄乎，能講清楚一點嗎？

我問：你知道蟲口模型嗎？

他說：不知道。

我說：蟲口模型也是二次函數迭代，異常復雜。你不知道其厲害，所以無所畏懼。用最基本的思路來思考，當一時找不到通項公式的時候，常常會算出數列的前幾項，希望從中找出規律，有助于解題。

數列的前幾項是：

這時，他才老實交代，其實是在做：數列滿足a0=，對于自然數n，，則的整數部分是______。

他希望求出an，代入求解。他將求an當作是計算的整數部分的必要條件，事實上并非如此。求解整數部分，是一個近似值，遠比求解an的通項公式簡單。解法如下：

因為an遞增，于是，顯然，從而，所以整數部分為3。

以上案例說明，如果研究者了解一些問題的數學背景，教學和教研就可以少走很多的彎路，少犯一些錯誤，從而更深刻地認識問題，更快速地解決問題。更多案例參看筆者的新書《從初等數學到高等數學》。

（作者單位：華中師范大學國家數字化學習工程技術研究中心）