基于均勻設計理論的非矩形試驗區(qū)域恒加壽命試驗優(yōu)化設計方法

陳文華　朱志鵬　高 亮　潘 駿　孔祥澤

1.浙江理工大學浙江省機電產(chǎn)品可靠性技術研究重點實驗室，杭州，3100182.四川農(nóng)業(yè)大學，雅安，625014

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基于均勻設計理論的非矩形試驗區(qū)域恒加壽命試驗優(yōu)化設計方法

陳文華1朱志鵬1高 亮2潘 駿1孔祥澤1

1.浙江理工大學浙江省機電產(chǎn)品可靠性技術研究重點實驗室，杭州，3100182.四川農(nóng)業(yè)大學，雅安，625014

針對基于Escobar和Meeker設計思想的非矩形試驗區(qū)域最優(yōu)試驗方案設計，當邊界較為復雜時失效概率最大點難以求得的問題，以正常應力下壽命估計值的漸近方差最小為目標，在非矩形區(qū)域內(nèi)選擇兩個應力水平點分別作為最高和最低應力水平點，以最高、最低應力水平以及各試驗樣本分配比例為設計變量，提出了一種基于均勻設計理論的非矩形試驗區(qū)域恒加壽命試驗方案優(yōu)化設計方法。模擬計算結果表明，與基于Escobar和Meeker設計思想的最優(yōu)試驗方案相比較，所提出的設計方法具有相同的估計精度，為非矩形試驗區(qū)域加速壽命試驗方案設計提供了一種簡便的方法。

均勻設計；非矩形試驗區(qū)域；恒加壽命試驗；優(yōu)化設計

0　引言

恒定應力加速壽命試驗是目前工程上快速評估產(chǎn)品壽命的常用方法。設計最優(yōu)恒加壽命試驗方案，是快速、經(jīng)濟地評估產(chǎn)品壽命的重要環(huán)節(jié)。對于兩應力的恒加試驗，目前多在兩試驗應力構成的矩形區(qū)域[1-7]內(nèi)進行試驗方案優(yōu)化設計。然而在工程實際中，由于試驗設備的限制等原因，有時一個應力的取值會限制另一個應力，使得兩個應力不能同時達到最大值，試驗區(qū)域成為非矩形[8]。對于非矩形試驗區(qū)域上的兩應力加速壽命試驗，如果按照傳統(tǒng)矩形區(qū)域上的方法設計最優(yōu)試驗方案，會出現(xiàn)應力水平組合點位于試驗區(qū)域之外的情況，不能保證獲得可行的方案。因此，有必要研究適用于非矩形試驗區(qū)域的綜合應力加速壽命試驗方案的設計方法。

對于非矩形試驗區(qū)域的最優(yōu)恒加試驗方案設計，Escobar等[9]針對矩形區(qū)域右上角被線性失效物理方程等值線截去而形成的非矩形區(qū)域，給出了優(yōu)化設計方法。Chen等[8]將Escobar等的設計思想推廣至具有任意邊界形狀的非矩形試驗區(qū)域，建立了相應的最優(yōu)試驗方案設計方法。文獻[8-9]中的方法在設計過程中需要求出邊界上失效概率最大的點，當非矩形的邊界較為復雜，難以直接求出失效概率最大的點時，會增加試驗方案設計的難度。因此，一種不需要求失效概率最大點且估計精度也較高的試驗方案設計方法，不失為一種簡便可行的辦法。均勻設計[10]是一種考慮試驗點在試驗區(qū)域內(nèi)均勻散布的試驗設計方法，與其他設計方法相比，壽命估計精度較高。

本文針對機電產(chǎn)品普遍適用的線性-極值模型，以正常應力下壽命分布P階分位數(shù)極大似然估計值的漸近方差最小為設計準則，在非矩形區(qū)域內(nèi)選擇兩個應力水平分別作為最高和最低應力水平點，以最高、最低應力水平點以及各應力水平點試樣分配比例作為優(yōu)化設計變量，限制各試驗應力組合點在最高應力水平點和最低應力水平點為對角的矩形區(qū)域內(nèi)等間隔均勻分布，通過對試驗方案進行優(yōu)化設計，以達到文獻[9]的試驗效果，并簡化非矩形區(qū)域恒加壽命試驗方案優(yōu)化設計方法。

1　模型假設

(1)在試驗區(qū)域上的所有應力水平組合(試驗點)，產(chǎn)品的對數(shù)壽命θ服從極值分布，其概率分布函數(shù)為

F(θ)=1-exp{-exp[(θ-μ)/σ]}

式中，μ為位置參數(shù)；σ為尺度參數(shù)。

(2)在試驗區(qū)域中，位置參數(shù)μ與標準化處理(具體標準化的方法參見文獻[8-9]，下同)后的試驗應力u、v滿足：

μ(u,v)=γ0+γ1u+γ2v

其中，0

(3)在試驗區(qū)域中，尺度參數(shù)σ與應力點坐標無關，為常數(shù)。

(4)各試驗樣本的壽命相互獨立。

(5)采用定時截尾恒加壽命試驗，各個應力水平組合上的截尾時間相等，均為τ。

由文獻[2-4]可知，大多數(shù)機電產(chǎn)品的統(tǒng)計模型都可以轉化為上述線性-極值模型。

2　試驗方案優(yōu)化設計思路

首先，將一般非矩形試驗區(qū)域標準化[8-9]，如圖1所示，A(0,1)、B(1,0)，O(0,0)為正常應力水平點。SAB為非矩形試驗區(qū)域邊界曲線，設SAB的曲線方程為v=f(u)，0

圖1　標準化后的非矩形區(qū)域

矩形試驗區(qū)域上的方案優(yōu)化，按失效機理不變的原則選定最高應力水平點后，只需優(yōu)化最低應力水平點即可。但在非矩形試驗區(qū)域中，最高應力水平點的選定，除了要滿足失效機理不變的原則外，還需按試驗精度最高的原則，在非矩形試驗區(qū)域內(nèi)通過優(yōu)化選定。通過分析可以證明[1]，試驗的最高應力水平越高，產(chǎn)品在正常工作應力水平下壽命分布P階分位數(shù)極大似然估計值的標準離差越小。過試驗區(qū)域OAB內(nèi)某點作失效物理方程的等值線l=μ*=γ0+γ1u+γ2v可以證明[8]，當該點在曲線SAB上時，其失效概率比在區(qū)域OAB內(nèi)要大(過曲線SAB上的點μ*在v軸截距較大)，因此，在邊界SAB上優(yōu)選最高應力水平點，可保證壽命估計值的方差較小。

試驗方案優(yōu)化時，在邊界曲線SAB上任取一點H(uH,f(uH))作為最高應力水平點，然后，在矩形區(qū)域OMHG內(nèi)就給定的應力水平數(shù)K按均勻組合的方式，以正常應力水平下壽命估計值的漸近方差最小為目標對最低應力水平點C(uC,vC)進行優(yōu)化，具體方法如下。

給定應力水平K，其他應力水平可由最高應力水平點H和最低應力水平點C按等間隔應力水平分配原則來表示：

i=1,2,…,K

在估計精度基本保持不變的前提下，為減少試驗次數(shù)，采用均勻設計理論對應力水平進行組合。按均勻設計理論，同一個應力水平，按照均勻設計理論會有多種不同的應力點組合方式，但其方差因子的值不同，方差因子值最小的應力點組合方式為最佳組合方式。當應力水平K分別為3、4、5時，應力點的最佳組合方式如圖2所示(圖中實心圓點代表應力點的分布位置)。

圖2　基于均勻設計理論最佳應力點組合方式

在取定H點所形成的矩形區(qū)域OMHG內(nèi)以方差因子最小為目標優(yōu)化出C點后，可以得到該最高應力水平點下的優(yōu)化試驗方案坐標(ui,vi)，i=1,2,…,K，其分布如圖2中實心圓點所示。

取遍曲線SAB上每一點作為最高應力水平H，比較每一個H點下最優(yōu)試驗方案方差因子值VK，VK最小時的H點即為最優(yōu)點，相應的最優(yōu)試驗方案為最后優(yōu)選的試驗方案。

當邊界為凹域時，按照上述方法設計的試驗方案，試驗點有可能在試驗區(qū)域外，故以上方法只針對邊界為凸域的非矩形試驗區(qū)域。

3　試驗方案優(yōu)化設計建模

試驗區(qū)域經(jīng)過標準化處理后，正常工作應力水平點為(0,0)，約束最高應力水平點在邊界上取值，即vH=f(uH)，相應的優(yōu)化模型可以表示為[3]

(σ2/N)VK

s.t.0=u0≤ui≤uH≤1

0=v0≤vi≤vH≤1

vH=f(uH)

經(jīng)過標準化后的fisher信息矩陣如下[8]：

A(ζi)=1-exp(-expζi)

ζi=(lnτ-γ0-γ1ui-γ2vi)/σ

因為σ2/N為常數(shù)，故優(yōu)化時可將目標函數(shù)簡化為求VK的最小值。

4　算例

如圖3所示，設試驗區(qū)域OBMQRA的邊界SAB由拋物線BM、線段MQ、線段QR和圓弧RA組成。點M、Q、R的坐標分別為(0.7946,0.9)、(0.8748,0.4845)和(0.8748,0.6)，各分段的方程分別為

圖3　算例示意圖

分別考慮在應力水平K=3、4、5時的最優(yōu)試驗方案設計。由于算例中的邊界曲線比較復雜，是由分段函數(shù)構成的邊界曲線，故試驗方案優(yōu)化時需在曲線段BM、MQ、QR、RA上分別找出最優(yōu)試驗方案，再通過比較找出最后優(yōu)選的試驗方案。

(1)按第3節(jié)中優(yōu)化設計方法分別求出K=3、4、5時的基于均勻設計理論的恒加壽命試驗方案(簡稱U-3、U-4、U-5)。其各應力組合點分布如圖4中實心圓點所示,各試驗方案對應的方差因子分別為72.0746、85.7891、85.9401。

圖4　基于均勻設計理論的優(yōu)化試驗方案應力點分布

(2)按文獻[9]中方法分別求出K=3、4、5時基于Escobar和Meeker設計思想分裂得到的試驗方案(簡稱EM-3、EM-4-1、EM-4-2、EM-5,其中EM-4-1和EM-4-2指K=4時的兩種應力組合方式)，其方差因子分別為71.0184、87.2230、87.2230、87.2230。

(3)比較兩種不同設計方法所得最優(yōu)試驗方案的方差因子可得，基于均勻設計理論的優(yōu)化設計方案的方差因子與按文獻[9]中方法求出最優(yōu)試驗方案的方差因子相差不大，甚至在K=4,5時方差因子更小，因此，基于均勻設計的試驗方案同樣具有較好的估計精度。

綜上，針對算例求得的基于均勻設計理論的優(yōu)化設計方案見表1，試驗點的位置分布如圖4中實心圓點所示。

5　結語

本文根據(jù)均勻設計理論，以在正常應力水平時P階分位數(shù)極大似然估計值的漸近方差最小為準則，在非矩形區(qū)域內(nèi)選擇兩個應力水平點分別作為最高和最低應力水平點，以最高、最低應力水平點以及各應力水平點試樣分配比例作為優(yōu)化設計變量，限制各試驗應力組合點在最高應力水平點和最低應力水平點為對角的矩形區(qū)域內(nèi)等間隔均勻分布，建立了基于均勻設計理論的非矩形區(qū)域恒加試驗方案優(yōu)化設計方法。最后，通過算例和基于Escobar和Meeker設計思想的最優(yōu)試驗方案比較，結果表明本文的試驗方案具有較好的壽命估計精度，是可行的試驗方案，為非矩形試驗區(qū)域上的最優(yōu)試驗方案設計提供了一種新的思路和方法。

表1　應力水平數(shù)K=3,4,5時算例優(yōu)化設計結果

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(編輯陳勇)

Optimum Design of Accelerated Life Test Plan on non-rectangle Test Region Based on Uniform Design Theory

Chen Wenhua1Zhu Zhipeng1Gao Liang2Pan Jun1Kong Xiangze1

1.Zhejiang Province’s Key Laboratory of Reliability Technology for Mechanical and Electrical Product, Zhejiang Sci-Tech University, Hangzhou,310018 2. Sichuan Agricultural University,Ya’an,Sichuan,625014

Aiming at the problems of hardly finding out the points of the maximum probability of failure on the complicated boundary curves when designed the optimal multiple stress accelerated life test plan on the non-rectangle test region based on Escobar-Meeker method, minimum variance of product life estimated value at normal working stresses was taken as design object for constant stress accelerated life test method. After selecting two stress level points as the highest level point and the lowest level point on the non-rectangle test region , the highest stress level , the lowest stress level of each accelerated factor and allocation proportion of test samples were adopted as design variables; the optimum design method of multiple stress accelerated life test on the non-rectangle test region was built based on uniform design theory. The computer simulation results show that the optimized test plan has the same estimation precision of test data compared to the optimized test plan based on the Escobar-Meeker method. The research fruits provide a simple method for the test plan design of multiple stress accelerated life test on the non-rectangle test region.

uniform design; non-rectangle test region; constant accelerated life test; optimum design

2015-10-08

國家自然科學基金資助項目(51275480)；浙江省重點科技創(chuàng)新團隊計劃資助項目(2010R50005)

TB114.3；V442

10.3969/j.issn.1004-132X.2016.15.014

陳文華，男，1963年生。浙江理工大學機械與自動控制學院教授、博士研究生導師。主要研究方向為可靠性設計、試驗與統(tǒng)計分析。朱志鵬(通信作者) ，男，1990年生。浙江理工大學機械與自動控制學院碩士研究生。高亮，男，1981年生。四川農(nóng)業(yè)大學信息與工程技術學院講師。潘駿，男，1974年生。浙江理工大學機械與自動控制學院教授?？紫闈?，男，1989年生。浙江理工大學機械與自動控制學院碩士研究生。