自適應(yīng)最優(yōu)化窄帶分解方法及其應(yīng)用

彭延峰, 程軍圣, 楊　宇, 李寶慶

(湖南大學 汽車車身先進設(shè)計制造國家重點實驗室,長沙　410082)

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自適應(yīng)最優(yōu)化窄帶分解方法及其應(yīng)用

彭延峰, 程軍圣, 楊宇, 李寶慶

(湖南大學 汽車車身先進設(shè)計制造國家重點實驗室,長沙410082)

提出了自適應(yīng)最優(yōu)化窄帶分解(Adaptive Optimization Narrow-Band Decomposition，AONBD)方法。該方法將信號分解轉(zhuǎn)化為對濾波器參數(shù)的優(yōu)化問題，以得到信號的最優(yōu)化解為優(yōu)化目標，在優(yōu)化過程中將信號自適應(yīng)的分解成多個內(nèi)稟窄帶分量(Intrinsic Narrow-Band Components，INBC)。AONBD分為兩步，首先通過優(yōu)化得到最優(yōu)的濾波器，然后使用該濾波器對信號進行濾波以得到信號的最優(yōu)化解。闡述了AONBD的基本原理及分解步驟。采用仿真信號將AONBD方法與自適應(yīng)最優(yōu)化時頻分析(Adaptive Sparsest Time-Frequency Analysis，ASTFA)方法及經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解(Empirical Mode Decomposition，EMD)方法進行對比。結(jié)果表明，AONBD在抑制端點效應(yīng)和模態(tài)混淆、抗噪聲性能、提高分量的正交性和準確性等方面具有一定的優(yōu)越性。對轉(zhuǎn)子振動信號的分析結(jié)果表明，AONBD能有效應(yīng)用于機械故障診斷。

自適應(yīng)最優(yōu)化窄帶分解；內(nèi)稟窄帶分量；局部窄帶信號；奇異局部線性算子；轉(zhuǎn)子故障診斷

非平穩(wěn)信號的分析處理方法是現(xiàn)代信號處理領(lǐng)域中的一個研究熱點。經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解(Empirical Mode Decomposition，EMD)方法[1-3]是近年來最具代表性的自適應(yīng)時頻分析方法之一，但仍存在端點效應(yīng)和模態(tài)混淆等缺點。

在EMD的基礎(chǔ)上，Thomas等[4]提出了一種使用高斯牛頓迭代法解決非線性優(yōu)化問題的自適應(yīng)最優(yōu)化時頻分析(Adaptive Sparsest Time-Frequency Analysis，ASTFA)方法。該方法將信號分解問題轉(zhuǎn)化為非線性約束優(yōu)化問題，優(yōu)化目標為得到非線性信號的最優(yōu)化表示[5-7]，約束條件是所有內(nèi)稟模態(tài)函數(shù)(Intrinsic Mode Functions，IMF)[8]都處于過完備字典庫Dic中。ASTFA無需處理極值點，所以在抑制端點效應(yīng)和模態(tài)混淆等方面優(yōu)于EMD。但ASTFA仍存在一些不足。①若原始信號為N維向量，則ASTFA需要同時對3N個參數(shù)進行優(yōu)化。當原始信號維數(shù)較大時，使用ASTFA進行信號分解會產(chǎn)生很大的計算量。②由于使用高斯牛頓迭代法進行優(yōu)化，且高斯牛頓迭代法對初始值的要求較高。所以，當信號較為復(fù)雜時，若初始值設(shè)置不恰當，則使用ASTFA進行分解時就不能得到準確的IMF分量。

針對ASTFA方法的缺陷，本文提出自適應(yīng)最優(yōu)化窄帶分解方法(Adaptive Optimization Narrow-Band Decomposition，AONBD)。AONBD的實質(zhì)是對原始信號進行濾波。首先設(shè)計了濾波器χ(k|λ)，通過對濾波器χ(k|λ)的參數(shù)λ進行優(yōu)化得到信號的最優(yōu)化解。該方法將ASTFA中對原始N維信號中所有元素的優(yōu)化過程轉(zhuǎn)化為對參數(shù)λ的優(yōu)化過程，避免了ASTFA中優(yōu)化參數(shù)的個數(shù)隨信號長度變化的問題，大大減少了計算量。其次，AONBD使用遺傳算法(Genetic Algorithm，GA)進行優(yōu)化，隨機生成初始種群，避免了ASTFA中初始值設(shè)置的問題。此外，AONBD在優(yōu)化目標函數(shù)中加入奇異局部線性算子，將每個分量約束為局部窄帶信號[9-10]，相對ASTFA，其物理意義更明確。

本文闡述了AONBD方法的基本理論和迭代步驟，采用仿真信號將其與ASTFA方法和EMD方法進行了對比。結(jié)果表明，該方法能更有效抑制端點效應(yīng)和模態(tài)混淆，并在抗噪聲性能，準確性和正交性方面具有優(yōu)越性。使用仿真信號對三種方法的整體耗時進行了對比。結(jié)果表明，AONBD的整體耗時要低于ASTFA，但仍高于EMD。使用AONBD對轉(zhuǎn)子故障振動信號進行分析，結(jié)果表明該方法能有效應(yīng)用于機械故障診斷。

1　AONBD

1.1ASTFA

ASTFA方法可以用兩個步驟來描述：

① 建立過完備字典庫Dic：

Dic={a(t)cos(θ(t)):θ′(t)≥0,

a(t)∈V(θ)}

(1)

k=0,…μn,l=1,…μn}

(2)

式中：θ′(t)≥0是為了保證瞬時頻率具有物理意義，約束a(t)∈V(θ)的目的是使a(t)比cos(θ(t))更平滑，Span為空間內(nèi)所有元素的線性張成。

② 建立過完備字典庫Dic后，為尋找最佳的內(nèi)稟稀疏結(jié)構(gòu)，將信號分解問題轉(zhuǎn)換成非線性有約束優(yōu)化問題P1，進而得到信號的最優(yōu)化解。信號的迭代過程如下：

(1) 令r1(t)=f(t)。其中f(t)為原始信號。

(2) 解決優(yōu)化問題P1：

Subject to:IMFi(t)∈Dic

(3)

式中：IMFi(t)為ASTFA方法分解得到的第i個分量。

(3) 令ri+1(t)=ri(t)-IMFi(t)。

ASTFA使用高斯牛頓迭代法解決最小二乘問題P1，而高斯牛頓迭代法對初始值的要求較高。若初始值偏離真實值太遠，則目標函數(shù)在迭代后發(fā)散，不能得到準確的IMF分量。并且，由于需要同時對IMFi(t)中所有元素進行優(yōu)化，當f(t)維數(shù)較高時會產(chǎn)生很大的計算量，時效性較差。

1.2AONBD的基本原理

1.2.1內(nèi)稟窄帶分量

信號s(t)一般能夠表示為A(t)cos(ωt+φ(t))的形式。如果A(t)是帶限的，它的最大頻率遠小于ω，且φ(t)是“緩變”相位函數(shù)，則信號s(t)稱為窄帶信號。窄帶信號的概念可以推廣到局部窄帶信號。如果對于s(t)的任一時間點，都存在一個鄰域區(qū)間，使得s(t)在該區(qū)間中近似于窄帶信號，則信號s(t)稱為局部窄帶信號。

若信號分解得到的分量滿足局部窄帶信號的條件，本文稱其為內(nèi)稟窄帶分量(Intrinsic Narrow-Band Components，INBC)。

1.2.2奇異局部線性算子

從L2(R)到L2(R)的線性算子T稱為局部線性算子。若?t∈R，存在t的領(lǐng)域Bt，使得

T(s)(t)=T(s|Bt)(t),(?s∈L2(R))

(4)

式中：s|Bt表示s在Bt上的限制。若T是奇異的，稱T為奇異局部線性算子。本文使用的奇異局部線性算子如下:

(5)

1.2.3AONBD的步驟

AONBD方法將信號分解問題轉(zhuǎn)換成非線性無約束優(yōu)化問題P2，并得到信號的最優(yōu)化解。信號的迭代過程如下：

(1) 令r1(t)=f(t)。

(2) 解決優(yōu)化問題P2：

P2：Minimize

(6)

式中：INBCi(t)為AONBD方法分解得到的第i個分量。D是微分算子，用于規(guī)范化INBCi(t)。由于使用了規(guī)范化的奇異局部線性算子，ASTFA中的有約束非線性優(yōu)化問題被轉(zhuǎn)化為無約束非線性優(yōu)化問題。

(3) 令ri+1(t)=ri(t)-INBCi(t)。

設(shè)f(t)為N×1向量，若使用ASTFA中的優(yōu)化方法解決優(yōu)化問題P2，則需要同時對N個參數(shù)進行優(yōu)化，計算量極為巨大[4]。為減小計算量，使用基于快速傅里葉變換(Fast Fourier Transform，F(xiàn)FT)的迭代過程解決優(yōu)化問題P2：

② 令λ=[ωb,ωc]，簡單帶通濾波器χ(k|λ)如下：

(7)

對仿真信號及試驗信號的分析表明，使用式(7)所示濾波器時AONBD方法僅適于周期信號的分析。因此，為處理非線性、非平穩(wěn)信號，令λ=[ω,ωb,ωc]，建立濾波器χ(k|λ)如下：

χ(k|λ)=

(8)

③ 解決非線性無約束優(yōu)化問題P3：

P3：Minimize

(9)

本文使用MATLAB自帶的GA程序?qū)V波器χ(k|λ)中λ包含的三個參數(shù)進行優(yōu)化，GA的最大進化代數(shù)設(shè)置為200，種群大小設(shè)置為20，其它參數(shù)使用MATLAB中的默認參數(shù)。GA隨機生成初始種群，避免了ASTFA中初始值設(shè)定的問題。

④ 得到最優(yōu)參數(shù)λo后，令

(10)

上述基于FFT的迭代過程將ASTFA中對原始數(shù)據(jù)N個點的優(yōu)化過程轉(zhuǎn)變成對濾波器參數(shù)λ的優(yōu)化過程，大大減少了運算量。

2　信號仿真與對比分析

考慮如下仿真信號：

(11)

式中：x1(t)由調(diào)幅調(diào)頻信號和簡單正弦信號組成，n(t)表示兩段間歇噪聲信號，每段間歇信號的長度為0.1 s，信噪比為15 dB?；旌闲盘杧(t)由x1(t)和n(t)組成，信號的時域區(qū)間為[0,1]?；旌闲盘杧(t)及其分量的時域波形如圖1所示。圖1(a)為x(t)的時域波形，(b)為x1(t)中的調(diào)幅調(diào)頻分量，(c)為x1(t)中的簡單正弦分量，(d)為間歇噪聲信號n(t)。

圖1　混合信號x(t)及其分量的時域波形Fig.1 The time-domain waveforms of mixed signal x(t) and its components

分別采用AONBD、ASTFA和EMD對x(t)進行分解。為了對比，對原始信號進行端點波形延拓[11]。AONBD、ASTFA和EMD的分解結(jié)果分別如圖2～圖4所示。分解得到的第一個分量和第二個分量分別對應(yīng)x1(t)中的調(diào)幅調(diào)頻分量和簡單正弦分量。

圖2　混合信號x(t)的AONBD分解結(jié)果Fig.2 The decomposition results generated by AONBD of mixed signal x(t)

圖3　混合信號x(t)的ASTFA分解結(jié)果Fig.3 The decomposition results generated by ASTFA of mixed signal x(t)

從圖2～圖4可以看出，AONBD分解出來的分量幅值較為平穩(wěn)并與真實值更接近，其殘余量和噪聲信號的誤差較小。由于間歇噪聲信號的干擾，ASTFA和EMD分解出來的分量都出現(xiàn)了一定的誤差，尤其是EMD的分解結(jié)果出現(xiàn)了嚴重的模態(tài)混淆。

圖4　混合信號x(t)的EMD分解結(jié)果Fig.4 The decomposition results generated by EMD of mixed signal x(t)

為了量化地比較三種方法的分解結(jié)果，本文考慮參數(shù)：分量的能量誤差Ei、相關(guān)性系數(shù)ri[12]、正交性指標IOjk[13]及分解時間T。由三種方法得到的分量的上述參數(shù)如表1所示，其中Ei和ri是分解得到的第i個分量與其相對應(yīng)的真實值之間的比較結(jié)果，IOjk為分解得到的第i個分量和第j個分量之間的正交性指標。分析結(jié)果表明，與ASTFA和EMD相比，AONBD的能量誤差更小，且擁有更好的相關(guān)性和正交性。因此，AONBD對噪聲干擾引起的模態(tài)混淆有很好的抑制作用，分解得到的信號更準確。由于擁有更好的正交性，AONBD的能量泄露更小。且相對ASTFA，AONBD的分解速度更快。

表1　AONBD、ASTFA和EMD的參數(shù)對比(SNR=15)

為了證明AONBD相對ASTFA和EMD能更有效的抑制端點效應(yīng)，在未處理端點效應(yīng)時對混合信號x(t)進行分解，結(jié)果分別如圖5～圖7所示?？梢钥闯?，相對EMD，AONBD和ASTFA分解結(jié)果的端點效應(yīng)更小。可見由于需要處理極值點，EMD受端點效應(yīng)的影響更大，其端點效應(yīng)更嚴重。

圖5　混合信號x(t)的AONBD分解結(jié)果(未處理端點效應(yīng))Fig.5 The decomposition results generated by AONBD of mixed signal x(t)(end effect is not handled)

圖6　混合信號x(t)的ASTFA分解結(jié)果(未處理端點效應(yīng))Fig.6 The decomposition results generated by ASTFA of mixed signal x(t)(end effect is not handled)

圖7　混合信號x(t)的EMD分解結(jié)果(未處理端點效應(yīng))Fig.7 The decomposition results generated by EMD of mixed signal x(t)(end effect is not handled)

為了證明AONBD相對ASTFA和EMD具有更好的抗噪聲性能，在混合信號x(t)的信噪比為20和25時，使用三種方法分別對信號進行分解，得到的分量的參數(shù)如表2和表3所示。

表2　AONBD、ASTFA和EMD的參數(shù)對比(SNR=20)

表3　AONBD、ASTFA和EMD的參數(shù)對比(SNR=25)

由表2和表3可知，在不同的噪聲強度下，AONBD分解得到的結(jié)果仍然擁有更好的準確性和正交性。同時，和ASTFA相比，AONBD的分解速度更快。

3　整體耗時對比分析

考慮如下簡單信號：

(12)

仿真信號x(t)由兩個簡單余弦信號混合而成，其時域區(qū)間為[0,1]?；旌闲盘柕臅r域波形如圖8所示。為對AONBD、ASTFA及EMD的整體耗時進行分析，令x(t)的采樣頻率分別為512 Hz、1 024 Hz、2 048 Hz、4 096 Hz、8 192 Hz。使用三種方法對不同采樣頻率下的信號進行分解，得到第一個分量和第二個分量所耗時間如表4和表5所示。

圖8　混合信號y(t)及其分量的時域波形Fig.8 The time-domain waveforms of mixed signal y(t) and its components

方法T/s512Hz1024Hz2048Hz4096Hz8192HzAONBD0.18050.56200.63960.78910.9532ASTFA0.27170.58690.72111.01471.9059EMD0.04680.07240.14510.45060.8573

由表4及表5可知，首先，由于使用了優(yōu)化算法AONBD及ASTFA的整體耗時比EMD更長。其次，相對ASTFA，AONBD的整體耗時較低且受采樣頻率的影響更小。這是因為AONBD對濾波器χ(k|λ)中λ包含的三個參數(shù)進行優(yōu)化，其優(yōu)化參數(shù)的數(shù)目是不變的，而ASTFA方法的優(yōu)化參數(shù)的數(shù)目隨著采樣頻率的增加而增加。

表5　AONBD、ASTFA和EMD的耗時對比(第二個分量)

4　AONBD方法在轉(zhuǎn)子故障診斷中的應(yīng)用

為了驗證AONBD方法的實用性，將其應(yīng)用于轉(zhuǎn)子系統(tǒng)碰摩故障診斷[14-15]，振動信號的采樣頻率為4 096 Hz，工頻f0為50 Hz。圖9為轉(zhuǎn)子徑向位移振動信號的時域波形。振動信號的包絡(luò)譜分析[16]結(jié)果如圖10所示，可知信號的主要頻率成分只有工頻和其2倍頻，其它和碰摩故障有關(guān)的高頻或分頻信息全部被噪聲和背景干擾所淹沒，無法識別出。

圖9　碰摩故障的轉(zhuǎn)子徑向位移振動信號Fig.9 The radial displacement vibration signal of the rotor with rubbing fault

圖10　轉(zhuǎn)子徑向位移振動信號的包絡(luò)譜Fig.10 The envelope spectrum of the radial displacement vibration signal of the rotor

圖11　轉(zhuǎn)子徑向位移振動信號的AONBD分解結(jié)果Fig.11 The decomposition results generated by AONBD of the radial displacement vibration signal of the rotor

圖12　圖10中分量的包絡(luò)譜。(a)、(b)和(c)分別對應(yīng)INBC1、INBC2和INBC3的包絡(luò)譜Fig.12 The envelope spectrum of the components in Fig.10.(a)，(b) and(c) the envelope spectrum of INBC1、INBC2 and INBC3 respectively

圖11為對振動信號進行AONBD分解得到的結(jié)果，INBC1、INBC2和INBC3的包絡(luò)譜分別如圖12(a)、(b)和(c)所示。轉(zhuǎn)子每旋轉(zhuǎn)一周，動、靜件就摩擦一次，因此調(diào)幅信號中調(diào)制波的頻率存在工頻成分[17-19]。同時，轉(zhuǎn)子發(fā)生碰摩故障時，頻譜上還會存在非常豐富的高次諧波成分，嚴重摩擦時，還會出現(xiàn)分頻成分。由圖12可知，AONBD方法有效分解出了倍頻成分INBC1、工頻成分INBC2和分頻成分INBC3，符合轉(zhuǎn)子碰摩故障的特征，說明了AONBD方法識別機械故障的有效性。

5　結(jié)　論

AONBD方法是一種新的基于ASTFA方法和奇異局部線性算子的自適應(yīng)分解方法，可以用于非平穩(wěn)、非線性信號的處理。相對ASTFA和EMD，AONBD具有以下優(yōu)點：

(1) ASTFA需要對原始數(shù)據(jù)所有的點進行優(yōu)化，而AONBD則只需對濾波器參數(shù)進行優(yōu)化，大大減少了計算量。

(2) 由于ASTFA采用了高斯牛頓迭代法，而高斯牛頓迭代法對初值的要求較高，如果初值選擇不正確，往往不能正確的分解。而AONBD采用遺傳算法對數(shù)據(jù)進行優(yōu)化，隨機產(chǎn)生初值，無需事先對初值進行設(shè)定。

(3) 仿真分析結(jié)果表明，相對ASTFA和EMD，AONBD在抑制端點效應(yīng)和模態(tài)混淆、抗噪聲性能、提高分量的正交性和準確性等方面具有一定的優(yōu)越性，且AONBD的整體耗時要低于ASTFA。

將AONBD應(yīng)用于轉(zhuǎn)子系統(tǒng)碰摩振動信號的故障診斷，對其做包絡(luò)譜分析后提取了信號的倍頻、工頻及分頻成分，實現(xiàn)了轉(zhuǎn)子的故障診斷，證明了該方法用于機械故障診斷的有效性。

值得一提的是，AONBD方法剛被提出，在算法的收斂性，迭代終止條件，優(yōu)化算法和奇異局部線性算子等方面還需要進一步的探討。隨著這些問題的深入研究，AONBD方法擁有廣闊的應(yīng)用前景。

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Adaptive optimization narrow-band decomposition method and its application

PENG Yanfeng, CHENG Junsheng, YANG Yu, LI Baoqing

(State Key Laboratory of Advanced Design and Manufacture for Vehicle Body,Hunan University, Changsha 410082, China)

The adaptive optimization narrow-band decomposition(AONBD) method was proposed. Signal decomposition was converted into optimizing parameters of a filter. The optimization objective was to obtain the optimal solution of signals. An original signal was adaptively decomposed into several intrinsic narrow-band components(INBC) via optimization. AONBD method had two steps. Firstly, the optimal filter was obtained with optimization. Secondly，the optimal solution was derived by filtering the original signal using the optimal filter. The basic theory and decomposition steps of AONBD were described. Comparisons were made among AONBD, the adaptive sparsest time-frequency analysis(ASTFA) and the empirical mode decomposition(EMD) by utilizing a simulated signal. The results showed that the AONBD method is superior to the other two methods in restraining end effects and mode mixing，anti-noise performance, and improving the orthogonality and accuracy of components. The AONBD method was applied to analyze vibration signals of a rotor. The results indicated that AONBD can be effectively applied to diagnose mechanical faults.

adaptive optimization narrow-band decomposition; intrinsic narrow-band components; local narrow-band signal; singular local linear operator; rotor fault diagnosis

國家科技支撐計劃課題(2015BAF32B03);國家自然科學基金(51375152;51575168); 智能型新能源汽車國家2011協(xié)同創(chuàng)新中心、湖南省綠色汽車2011協(xié)同創(chuàng)新中心資助

2015-03-06修改稿收到日期：2015-08-08

彭延峰 男，博士生，1988年1月生

程軍圣 男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，1968年10月生

E-mail：signalp@tom.com

TH165.3; TN911.7

A

10.13465/j.cnki.jvs.2016.15.001