基于分數階導數的瀝青膠漿動態力學特性

李銳鐸， 樂金朝， 李瑞霞， 姚立陽

(1.鄭州大學 水利與環境學院，鄭州　450002； 2.河南城建學院 交通運輸工程學院，河南 平頂山　467036)

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基于分數階導數的瀝青膠漿動態力學特性

李銳鐸1,2， 樂金朝1， 李瑞霞1， 姚立陽2

(1.鄭州大學 水利與環境學院，鄭州450002； 2.河南城建學院 交通運輸工程學院，河南 平頂山467036)

通過對粉膠比為0.62、0.82、1.02、1.22和1.42的瀝青膠漿在20℃、30℃、40℃和50℃條件下進行動態頻率掃描試驗，研究了不同粉膠比及試驗溫度條件下瀝青膠漿復模量、抗車轍因子和相位角的變化規律。基于分數階導數理論，建立了Nutting蠕變方程與經典分數階導數Abel黏壺蠕變模型之間的關系，從而明確了Nutting蠕變方程各參數的物理意義。對分數階Riemann-Liouville算子黏彈性蠕變本構模型的動態力學響應進行分析，提出了利用瀝青膠漿動態頻率掃描試驗結果確定蠕變本構模型中參數A值和γ值的新方法。

瀝青膠漿;粉膠比;動態剪切流變試驗;分數階導數;Nutting蠕變方程;變形因子;黏彈因子

按照膠漿理論，瀝青膠漿是構成瀝青混合料的微分散系，主要起填充細集料空隙和黏結作用[1]，其組成結構決定了瀝青混合料的高低溫性能。瀝青膠漿是典型的黏彈性材料，常用經典的元件模型描述其力學性能[2]。元件模型主要由彈簧元件和黏壺元件構成，不同的元件數量及組合形式構成了 Maxwell、Kelvin、Kelvin-Voigt、廣義Maxwell、廣義Kelvin、廣義Kelvin-Voigt、Burgers等模型。近幾十年來，國外許多學者[3-6]以及國內的劉麗等[7-10]先后采用傳統的力學理論及評價指標對瀝青膠漿的性能進行了深入研究。但傳統的力學模型存在參數多、參數確定不便和不能精確描述材料的力學特性等缺點。

近年來，分數階導數模型因為能夠克服經典整數階微分模型與試驗結果吻合不好的缺點而被廣泛應用于各個工程領域[11-13]。Celauro等[14-15]依據冪函數經驗方程構建了以分數階Riemann-Liouville算子描述黏彈性材料黏彈性應變的蠕變本構模型，并對純瀝青的力學特性進行了研究。李銳鐸等[16]提出了改進的分數階導數經驗蠕變模型并利用該模型來描述瀝青膠砂的蠕變特性。

鑒于瀝青膠漿組成的微分散系對瀝青混合料的性質起著重要影響，本文結合分數階導數模型優勢建立了Nutting蠕變方程[17]與經典分數階導數Abel黏壺蠕變模型之間的關系。以不同粉膠比的瀝青膠漿為研究對象，研究不同溫度條件下的瀝青膠漿動態力學特性，探討Nutting蠕變方程各參數表征的物理意義，并提出利用動態剪切流變試驗結果進行一元線性回歸分析來確定蠕變方程的參數，為進一步深入研究瀝青膠漿在不同溫度條件下的動態流變性能提供借鑒。

1　分數階導數黏彈性本構模型

黏彈性高聚物材料的蠕變服從Nutting公式[17]：

lgε(t)=lgA+γlgt+lgσ,0<γ<1

(1)

其蠕變柔量

J(t)=Atγ,0<γ<1

(2)

式中：A、γ為反映材料性能的材料參數，可通過試驗確定。

Celauro等[18]依據冪函數經驗方程構建了以分數階Riemann-Liouville算子描述黏彈性材料黏彈性應變的蠕變本構模型如式(3)所示

(3)

Koeller等[19]以Abel黏壺元件模型構建的黏彈性材料的蠕變柔量為

0≤γ≤1

(4)

式中：Γ(1+γ)為1+γ的gamma函數；φ(t)為蠕變柔量單位階躍函數，即

當γ=1時，該元件為Newton黏壺，代表理想流體，γ=0時，該元件變為彈簧元件，代表理想固體。

2　分數階導數黏彈性本構模型動態力學特性

在交變應力荷載作用下，基于分數階導數的黏彈性材料的本構方程[15]為

(5)

式中：G*(ω)=G1(ω)+iG2(ω)；G*(iω)為動態剪切模量，G1(ω)為存儲模量，G2(ω)為損耗模量。

將cγ=AγΓ(γ)代入式(5)并取絕對值可得

(6)

3　試驗材料及試驗條件確定

3.1試驗材料

瀝青為重交70號石油瀝青，基本技術性質測試結果如表1所示。填料為石灰石礦粉，對礦粉試樣進行X衍射分析(如圖1所示)，主要包含了CaC03、CaMg(C03)2和SiO2衍射峰。其密度為2.814 g/cm3，親水系數為0.86。參照實際工程瀝青混合料配合比中粉膠比，使用高速剪切乳化機制備粉膠比分別為0.62、0.82、1.02、1.22和1.42的瀝青膠漿。

表1　基質瀝青基本技術性質

圖1　礦粉XRD衍射圖譜Fig.1 XRD diffraction pattern of mineral powder

3.2線黏彈性范圍確定

剪切流變儀測試原理是基于流變學線黏彈性假設的基礎上，對基質瀝青及粉膠比為1.42的瀝青膠漿進行應變掃描試驗，結果如圖2所示。可以看出：隨著粉膠比的增大，線黏彈性應變范圍逐漸降低，同一粉膠比條件下，溫度越低，線黏彈性范圍也越小。因此，為保證所有試樣均能處于線黏彈性范圍內，并考慮試驗數據分析方便，最終確定在進行頻率掃描時的應變幅值為0.1%。

4　試驗結果及分析

4.1瀝青膠漿動態頻率掃描試驗結果及分析

瀝青膠漿頻率掃描試驗結果如圖3所示。可以看出：① 在雙對數坐標中，同一溫度條件下，任一粉膠比瀝青膠漿的復數剪切模量隨著角頻率的增加而線性增加；② 在不同溫度條件下，同一粉膠比瀝青膠漿的復數剪切模量均隨著溫度的增加而減小，說明其抗變形能力隨著溫度的升高而降低。而對于不同粉膠比，復數剪切模量隨著粉膠比的增大而增大。說明礦粉含量的增大提高了瀝青膠漿的抗變形能力。

圖2　瀝青膠漿應變掃描曲線圖Fig.2 Asphalt mortar dynamic shear strain scan

瀝青膠漿的抗車轍因子(G*(ω)/sinδ)[20]與粉膠比和溫度關系如圖4所示。可以看出：① 除40℃條件下粉膠比為1.42的瀝青膠漿的抗車轍因子比粉膠比為1.22的瀝青膠漿略低外，其它不同溫度條件下，隨著粉膠比的增大，瀝青膠漿的抗車轍因子均有所增大。說明從瀝青混合料的高溫穩定性考慮，宜選用較大的粉膠比，但并非粉膠比越大越好，過大的礦粉含量不但會增大瀝青用量，增加工程造價，同時礦粉也不宜均勻分散在瀝青混合料中，影響瀝青混合料整體結構的高溫穩定性；② 當粉膠比增大，隨著溫度的降低，抗車轍因子急劇增大。說明溫度對瀝青膠漿的抗車轍因子有著重要影響。

圖3　瀝青膠漿動態頻率掃描曲線Fig.3 Dynamic frequency scanning curve of asphalt mortar

圖4　不同粉膠比不同溫度瀝青膠漿抗車轍因子Fig.4 The rutting factor of asphalt mortar at at different temperature and ratio

動態頻率掃描試驗得到的瀝青膠漿的相位角(振蕩角頻率為10 rad·s-1)如圖5所示。可以看出：① 對同一粉膠比，相位角隨著溫度的升高逐漸增大，說明瀝青膠漿的黏性特性越來越強；② 隨著粉膠比的增大，各溫度條件下的相位角均逐漸降低，說明礦粉含量的增加增強了瀝青膠漿的彈性固體特性。

圖5　不同粉膠比不同溫度瀝青膠漿相位角Fig.5 The phase angle of asphalt mortar at different temperature and ratio

4.2基于分數階導數瀝青膠漿動態力學特性分析

基于分數階導數的黏彈性材料的本構方程可以表示為式(6)，其中A和γ均為材料參數，對特定材料其為常數。為了確定材料參數A和γ，可將式(6)改寫為，

y=a+bx

(7)

圖6　不同粉膠比和不同溫度條件下擬合得到的A值Fig.6 The value of parameter A at different temperature and ratio

圖7　不同粉膠比和不同溫度條件下擬合得到的γ值Fig.7 The value of parameterγ at different temperature and ratio

由圖6可知，A值隨粉膠比的增大而減小；對任一粉膠比，隨著溫度的增高，A值逐漸增大，且礦粉含量越低，A值增加的幅度越大，說明A值對粉膠比和溫度的變化均比較敏感。因此，同溫度或同粉膠比條件下，A可以作為瀝青膠漿的高溫性能評價指標，稱A為變形因子，A值越大，材料的高溫穩定性越差。

由圖7可知，同一溫度條件下，粉膠比越大，說明瀝青膠漿的彈性成分越大，而γ值越小；同一粉膠比條件下，隨著溫度的升高，瀝青膠漿表現出來的黏性性能逐漸增加，越來越接近牛頓流體。因此，同溫度或同粉膠比條件下，可以稱γ為黏彈因子，γ值越大，瀝青膠漿的黏性性能越強，而彈性越弱。

5　結　論

(1) 在雙對數坐標中，對任一粉膠比的瀝青膠漿同一溫度條件下的復模量隨著角頻率的增加而線性增加；在不同溫度條件下，瀝青膠漿的復模量均隨著溫度的增加而減小；對不同粉膠比的瀝青膠漿的復模量隨著粉膠比的增大逐漸增大。

(2) 瀝青膠漿的抗車轍因子隨著粉膠比的增大逐漸增大，且隨著溫度的降低急劇增大，而相位角則逐漸降低，說明溫度對瀝青膠漿的抗變形能力有著重要的影響；同一粉膠比條件下，隨著溫度的升高，抗車轍因子逐漸降低，而相位角則逐漸增大。

(3) 基于分數階導數理論，對Nutting蠕變方程和Abel黏壺蠕變方程進一步推導，建立了Nutting蠕變方程與經典分數階導數Abel黏壺蠕變模型之間的關系，并進一步明確了Nutting蠕變方程的各參數的物理意義。提出A為變形因子，A值越大，材料的抗變形能力越差，而γ為黏彈因子，γ值越大，材料表現的黏性越強。對不同溫度下的瀝青膠漿的動態剪切流變試驗結果進行了擬合分析，確定了Nutting蠕變方程中的變形因子和黏彈因子，提出一種確定Nutting蠕變方程參數的新方法。

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Dynamic performances of asphalt mortar based on fractional derivatives

LI Ruiduo1,2, YUE Jinchao1, LI Ruixia1, YAO Liyang2

(1. School of Water Conservancy and Environment, Zhengzhou Univ., Zhengzhou 450002, China;2. School of Transportation Engineering, Henan University of Urban Construction, Pingdingshan 467036, China)

Asphalt mortars were prepared with different ratios of filler bitumen of 0.62, 0.82, 1.02, 1.22 and 1.44. Then the dynamic behaviors of asphalt mortars at 20℃, 30℃, 40℃ and 50℃ were studied with a dynamic shear rheometer. The relationships among complex modulus, rutting resistance factor and phase angle udner different ratios of filler bitumen and test temperatures were studied. The relationships between Nutting creep equation and Abel sticky pot creep model of classic fractional order derivatives were established based on the theory of fractional derivatives. The dynamic responses of fractional order Riemann-Liouville operator viscoelastic creep constitutive model were analyzed. The model parametersAandγwere determined using the results of dynamic shear rheological tests.

asphalt mortar; ratio of filler bitumen; dynamic shear rheological tests; fractional derivative;Nutting creep equation; deformation factor; viscoelastic factor

河南省科技攻關計劃(112102310602)；教育部“長江學者和創新團隊發展計劃”創新團隊(IRT1186)；水利與交通基礎設施安全防護河南省協同創新中心(2012-6)

2015-09-21修改稿收到日期：2016-01-09

李銳鐸 男，博士生，講師，1980年生

樂金朝 男，博士，教授，博士生導師，1965年生

E-mail: yuejc@zzu.edu.cn

U414

A

10.13465/j.cnki.jvs.2016.15.008