一種新的相關機械振源盲分離方法

于　剛, 周以齊， 張衛芬

(1.山東大學 高效潔凈機械制造教育部重點實驗室，濟南　250061；2.解放軍72850部隊，濟南　250032)

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一種新的相關機械振源盲分離方法

于剛, 周以齊1， 張衛芬2

(1.山東大學 高效潔凈機械制造教育部重點實驗室，濟南250061；2.解放軍72850部隊，濟南250032)

針對傳統盲源分離算法在機械振源不滿足統計獨立特性時，無法有效分離出振源信號的問題，提出了基于信號稀疏特性的相關機械源盲分離方法。盲源分離算法的關鍵在于準確地估計出混合矩陣。因此，首先提出了不相關源混合矩陣的估計方法；然后針對相關源，提出了有效剔除相關成分的方法，使得剩余信號可以按照不相關源進行處理。通過理論分析、仿真驗證以及實測數據分析，驗證了該方法的有效性。

盲源分離；振動源；相關源

機械設備運行中，多個部件都會產生一定的振動，導致測量信號通常是多個振源信號的混合。如果能針對每個振源單獨地分析其信號特征，對于監測設備運行狀態、分析結構特性、控制振動傳遞等應用具有一定的指導意義。盲源分離(Blind Source Separation, BSS)方法僅依靠測量信號即可得到各源信號及其混合模型，在理論上為振動分析提供了有力的技術手段[1]。獨立分量分析(ICA)，利用信號間的統計獨立特性，估計出分離矩陣，并用于源信號的分解，在故障診斷[2-3]、模態分析[4-5]等領域均得到了廣泛的應用。

而工程應用中，各機械振源之間往往會存在交叉頻率成分，導致無法滿足ICA算法的獨立性假設，從而造成算法失效。周曉峰提出利用小波包分解剔除觀測信號間的相關成分，利用剩余分量重構信號進行矩陣估計，成功分離出了多個相關源信號[6]。該方法需要選擇合適的小波包分解層數以及設定子帶間的互信息閾值，需要較多的人工干預，一定程度上降低了其實用性。孟宗利用類似的思想提取源信號，將經驗模態分解應用于測量信號分解，并根據互信息準則重構相關源信號[7]。本文利用源信號在時頻域中的稀疏性估計混合矩陣，并提出了一種能有效剔除相關成分的方法，從而形成了一套完整的相關源盲分離算法。

1　BSS基本概念

盲源分離是指輸入信號與系統參數均未知的情況下，僅依靠輸出測量信號來估計這兩項參數。源的混合模型可以表示為：

X(t)=AS(t)+n(t)

(1)

式中：X(t)為N維觀測信號，S(t)為M個未知的相互統計獨立的輸入信號，A為N×M未知的滿秩混合矩陣，通常N=M，n(t)為噪聲信號。盲源分離的目的是根據獨立性測度函數，尋求分離矩陣W，使得W=A-1，利用式(2)使得恢復出來的源信號Y(t)盡可能獨立：

Y(t)=WX(t)

(2)

從式(2)可以看出，源分離的關鍵在于準確地估計出混合矩陣。由于相關源信號不滿足統計獨立假設，因而無法利用獨立性準則有效地估計混合矩陣。本文先以不相關源為例說明矩陣估計的具體過程，然后提出一種有效剔除相關成分的方法，并將兩者結合，提出一種新的相關源分離算法。

2　稀疏分量分析

信號稀疏性是指信號在時頻域中大多數的時頻點取值為零，或者接近于零，但有少數時頻點取值明顯大于零。當信號具有較好的稀疏性時，觀測信號在某一時頻點只有一個源的可能性增大。對于隸屬同一源信號的時頻點將會正比于源信號在測量信號中的混合衰減系數，因此信號的稀疏特性可以被用于估計源信號的混合矩陣。

m個通道信號中包含n個源的模型可表示為：

(3)

xj(t)代表第j個觀測信號，aij為第i個源信號到第j個通道的混合衰減系數，si(t)為第i個源信號。利用線性時頻變換，(如短時傅里葉變換)，將觀測信號變換到時頻域中。由于時頻變換方法的線性保持特性，觀測信號中的各個源分量間的系數關系是不變的，因此，混合信號在時頻域中的分布可寫為：

(4)

假設在時頻點(tk,fk)，只有源si取值非零(其他源幅值較小或為零)，則式(4)可表示為：

(5)

由式(5)可知，在時頻域中，對所有屬于源sj的時頻點(tk,fk)，觀測信號[x1(tk,fk)x2(tk,fk)…xm(tk,fk)]的值正比于源si的混合系數[a1ia2i…ami]，因此可以估計出對應源的混合矩陣列向量。通過尋找隸屬于不同源信號的時頻點x(tk,fk)，則可以準確地估計出完整的混合矩陣。

3　仿真分析

3.1不相關源

以兩不相關源信號s1、s2混入兩觀測信號x1、x2為例，同時混入一定比例的高斯噪聲，來說明混合矩陣A的具體估計過程。

(6)

(7)

(8)

利用短時傅里葉變換，將混合信號x1、x2變換到時頻域，得到x1(t,f)、x2(t,f)。如果以x1(t,f)、x2(t,f)的實部或者虛部分別作為橫、縱坐標畫在散點圖中，則隸屬于不同源信號的時頻點(x1(t,f),x2(t,f))將會聚類成相應的直線，兩聚類直線的方向向量對應著各源的混合衰減系數，如圖1。圖1中有兩條明顯的聚類直線，在散點圖中的方向向量分別為[cos(30°)sin(30°)]T、[cos(60°)sin(60°)]T，對應著混合矩陣中的列向量。

圖1　散點圖Fig.1 The scatter plot

為了能準確地估計聚類直線的方向向量，定義觀測信號的頻域能量分布為

(I(xi(t,f)))2)dt

(9)

E(f)代表i個傳感器接收到的信號在頻域的能量和，R(xi(t,f))與I(xi(t,f))為第i個傳感器信號在時頻變換后的實部與虛部，m為通道數目。兩源信號在各自頻率處附近，其能量值達到最大，因此可以利用峰值檢測法得到對應于各源的頻率值fk，如圖2中‘*’所示。分別畫出時頻點(x1(t,f),x2(t,f))在fk的散點圖，如圖3(a)、(b)所示。然后，將時頻點歸一化到單位圓，再利用聚類算法估計各自的聚類中心，即為對應的混合衰減系數，如圖3(c)、(d)中‘*’所示。圖中實線為理想的聚類直線，可以看出兩者之間具有較小的偏差，說明本文方法具有較高的矩陣估計精度。

圖2　頻域能量圖Fig.2 The sum energy in frequency-domain

圖3　對應峰值點的散點圖Fig.3 The scatter plot in peak frequencies

3.2相關源

當各源信號之間具有相關成分時，以上方法將無法有效估計混合矩陣。以3.1節仿真信號為例，在兩源信號s1、s2之間加入相關成分c=sin(300πt)，即

(10)

圖4　相關源散點圖Fig.4 The scatter plot of correlated sources

依然采用相同的混合方式，如式(8)。利用短時傅里葉變換得到觀測信號的時頻分布，畫出二維散點圖，如圖4。從圖中可以看出，相關成分使得散點圖中產生了橢圓成分，不具有直線聚類特性，無法利用上述方法估計混合矩陣。同時，相關成分會產生一定的頻域能量峰值，也會干擾3.1節中方法的聚類估計過程。因此去掉相關成分的影響，是保證混合矩陣能夠被準確估計的關鍵步驟。

引入文獻[8-9]中提出的單源點與多源點的概念，兩者定義如下

定義1：如果在某一時頻點，僅有一個源存在，那這個點被稱為單源點。

定義2：如果在某一時頻點，有多個源存在，那這個點被稱為多源點。

根據以上定義可知，對于不相關分量所在的時頻點，由于只有不相關源存在，因此可以將其視為單源點；對于相關分量所在的時頻點，由于有多個源的相關成分存在，因此可以視為多源點。下面通過理論分析，得到單源點與多源點的性質。

將式(8)變換到時頻域為

(11)

假設某一時頻點(tk,fk)為單源點，即僅有s1(t,f)存在，那么式(11)可寫為

(12)

取公式(12)兩邊的實部與虛部

(13)

(14)

則有下式成立

(15)

(16)

式(15)與式(16)說明，對于單源點，觀測信號x1(t,f)、x2(t,f)在時頻域中的實部與虛部具有相同的聚類方向，并且與混合矩陣向量一致。

假設某一時頻點(th,fh)為多源點，即s1(t,f)與s2(t,f)同時存在，那么式(11)可寫為

(17)

對兩邊同時取實部與虛部，可得

(18)

(19)

為了說明多源點與混合矩陣間的關系，建立以下公式

(20)

(21)

由于混合矩陣為滿秩矩陣，因此(a21·a12-a11·a22)≠0。由于已經設定時頻點(th,fh)為多源點，因此R(s2(th,fh))與I(s2(th,fh))不可能同時為0。所以，式(20)與式(21)無法同時為0。上述分析說明，對于多源點，觀測信號x1(t,f)、x2(t,f)在時頻域中的實部與虛部具有不同于混合矩陣列向量的聚類方向。因此提出以下論斷：可以通過檢測所有時頻點在實部與虛部的向量方向是否相同，即

(22)

是否成立，來達到剔除多源點的目的。為驗證推論的正確性，對于多源點建立以下公式：

(23)

由于混合矩陣為滿秩矩陣，因此(a11a22-a21a12)≠0。式(23)為0的唯一條件是

R(s1(th,fh))·I(s2(th,fh))-

R(s2(th,fh))·I(s1(th,fh))=0

(24)

即來自兩個源信號的相關成分具有相同的相位。

式(23)說明，對于多源點，各通道觀測信號的實部與虛部的方向向量的關系僅與相關分量的相位有關。當各觀測信號xj(t)中所包含的相關分量si(t)具有相同的相位時，即式(24)成立，則式(22)無法有效剔除相關分量的影響。然而大多數情況下，產生于各源信號的相關成分之間的相位關系是隨機的，所以滿足條件(24)的多源點比例較小，可以被忽略。因此可以認為，產生于各源信號的相關成分之間的相位關系是不同的，即式(24)不成立。因此，可以得出結論：對于多源點，觀測信號x1(t,f)、x2(t,f)在時頻域中的實部與虛部具有不同的聚類方向。因此，通過判斷式(22)是否成立，可以準確地剔除混合信號中的相關成分。多源點的影響被消除之后，則可以按照不相關源混合的處理方式進行矩陣估計。

4　仿真信號分析

4.1仿真信號驗證

文獻[6]以旋轉機械設備的異常振動為模型，給出了仿真信號。借此信號，用于說明本文方法的有效性。假設某旋轉機械的基頻f0=50 Hz，s1，s2和s3分別對應著不對中、油膜渦動、組件松動等故障信號，并加入一定比例的高斯噪聲信號。源信號頻譜如圖5。

圖5　源信號頻譜Fig.5 3 Sources in frequency domain

(25)

式中：s1，s2為相關源。混合矩陣為

(26)

信號采樣頻率為1 024 Hz，共1 024個點。對其進行短時傅里葉變換，由于有3個觀測信號，得到三維散點圖，如圖6。

圖6　散點圖Fig.6 The scatter plot

圖7　去相關處理后散點圖Fig.7 The scatter plot of removing correlated component

圖8　本文方法分離信號Fig.8 The separated source using proposed method

圖9　ICA算法分離結果Fig.9 The separated sources using ICA

從圖6中可以看出，相關成分使得散點圖產生了較為散亂的橢圓成分。去相關成分處理后，散點圖如圖7。可以看出，剩余的不相關分量具有明顯的直線聚類特性，可以準確地估計出混合矩陣。分離信號頻譜如圖8，可以看出分離信號與源信號頻譜特征基本一致，利用式(28)，計算兩兩之間的相似系數為[0.99 0.98 0.96]。為了對比分析，利用FastICA算法處理混合信號，分離信號頻譜如圖9。可以看出，僅23 Hz源信號得到了有效地分離，當源信號不滿足統計獨立特性時，ICA方法無法分離出相關源信號，因此本文方法比ICA算法更適合于相關源信號的分離。

4.2噪聲對算法性能的影響

為說明所加背景噪聲的大小對本文算法分離結果的影響，引入平均相似系數指標，定量地評價本文方法的分離性能。平均相似系數公式為：

(27)

(28)

1)p≤1。

2)p=1時，表示源信號與分離信號完全相似。

3)p=0時，表示源信號與分離信號相互統計獨立。

因此，p越接近于1，說明本文算法的分離結果越好。通過在觀測信號中加入不同信噪比的背景噪聲，進行盲分離處理后計算p的值，p隨噪聲比例的變化結果曲線如圖10。

圖10　相似系數曲線Fig.10 The similarity index

由圖10可以看出，低信噪比的噪聲會對分離結果造成一定的影響，如在0 dB左右，但相似系數依然大于0.55。隨著信噪比的增大，分離結果趨近于1。說明本文算法具有一定的噪聲魯棒性。

5　實驗仿真分析

內燃機作為工程領域中重要的動力來源，同時也是主要的振動來源。對于一些大型設備，往往會有多個動力源，因此可以將每一臺內燃機視為一個振源進行分析。受限于僅有一臺內燃機的實驗條件，將內燃機在怠速、額定轉速及最高轉速這三個常用工況下的振動信號視為3個振源，采用人工混合的方式進行數據分析。因此，分別采集內燃機在這3個轉速下的振動信號，采樣頻率為5 120 Hz，頻譜如圖11。

圖11　3個轉速下測量信號Fig.11 The measurement signals

此內燃機為4缸4沖程，其怠速、額定轉速及最高轉速分別為980 r/min、2 000 r/min、2 400 r/min。通過工況信息，可以計算得出3個轉速下的發火基頻分別為34 Hz、67 Hz、80 Hz，如圖11中所示，由于發火基頻處于不同頻段，因此可以將其視為不相關分量。同時，各源之間都存在著峰值約為321 Hz左右的寬頻成分，因此可以視為相關分量。利用一隨機混合矩陣得到3個觀測信號。對其進行短時傅里葉變換，得到三維散點圖，如圖12。

圖12　散點圖Fig.12 The scatter plot

圖13　去相關處理后散點圖Fig.13 The scatter plot of removing correlated component

圖14　分離信號Fig.14 The separated sources

從圖12中可以看出，散點圖較為混亂，只有比較模糊的聚類特征，無法用于估計混合矩陣。利用提出的算法進行去相關成分處理之后，散點圖如圖13。可以看出，圖中直線的聚類特性得到了明顯地提高，可以更加精確地估計出混合矩陣。利用估計得到的矩陣分離信號，結果如圖14，分離信號與源信號間的兩兩相似系數為[0.94 0.93 0.96]。從分離結果來看，各源信號均得到了有效分離，說明本文方法在處理復雜的實測數據時依然有效。

6　討　論

本文提出的相關源盲分離算法，是以不相關源盲分離為基礎，因此需要保證各個源信號中存在不相關分量，如4.1節中仿真信號s1、s2中的100 Hz與17 Hz分量，以及第5節實測信號中的各個發火基頻分量。如果不滿足此條件，本文方法將會失效。因此，經過去相關成分處理之后，才可以利用剩余的不相關分量進行矩陣估計，并進行下一步的源信號分離。

7　結　論

實際工程中，不同部件之間產生的振源信號，往往是相關源以及不相關源的混疊，使得傳統盲源分離方法無法有效分離出正確的機械振源信號。本文利用信號間的稀疏特性，首先以不相關源為例，提出了有效估計分離矩陣的方法；并理論推導出相關源及不相關源的性質，提出了可以有效剔除相關分量的方法，使得剩余信號可以按照不相關源進行處理。通過仿真信號與實測信號，均驗證了本文方法的有效性，具有一定的工程應用價值。

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Blind source separation of correlated vibration sources

YU Gang1, ZHOU Yiqi1, ZHANG Weifen2

(1. Key Laboratory of High-efficiency and Clean Mechanical Manufacture, Ministry of Education, Shandong University, Jinan 250061, China; 2.Unit 72850 of PLA, Jinan 250032, China)

The conventional blind source separation(BSS) method, independent component analysis(ICA), may not separate correlated vibration sources. However, most vibration sources generated in different structures are correlated, they may cause failure of ICA. Here, a new BSS method capable of separating correlated vibration sources was proposed. It was divided into two steps. Firstly, it was needed to remove the correlated components, and then the reminder components were regarded as uncorrelated sources to be processed. Theoretical analysis, simulation and tests were employed to validate the effectiveness of the proposed method.

blind source separation; vibration sources; correlated sources

國家科技支撐計劃(2015BAF07B04);國家自然科學基金(51475277)

2014-12-16修改稿收到日期：2015-03-19

于剛 男，博士生，1987年12月生

周以齊 男，教授，1957年1月生

TN911.7;TH165.3

A

10.13465/j.cnki.jvs.2016.15.036