三組元柵格板的振動特性研究

劉榮強， 趙浩江， 李長洲， 郭宏偉，鄧宗全

(哈爾濱工業大學 機電工程學院，哈爾濱　150001)

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三組元柵格板的振動特性研究

劉榮強， 趙浩江， 李長洲， 郭宏偉，鄧宗全

(哈爾濱工業大學 機電工程學院，哈爾濱150001)

依據聲子晶體的局域共振機理提出了一種三組元板狀周期柵格結構。利用有限元法分析計算了這種新型柵格結構的色散關系和特征模態的位移場。由能帶結構圖和振動傳遞的有限元仿真結果可知，柵格結構擁有多個方向的低頻振動帶隙。局域共振帶隙是由行進波和振子的共振相互作用產生的。以第一個彎曲振動帶隙為例，結構參數對帶隙的影響可以用等效的質點彈簧系統模型來解釋。這種三組元板狀周期柵格結構有望應用于低頻振動的隔振設計中。

柵格板；局域共振；帶隙；有限元法

抑制有害的結構振動一直是工程實踐中急需解決的問題。聲子晶體的出現給減少有害的結構振動提供了一種新的方法[1-3]。在聲子晶體的帶隙頻率范圍內聲和振動無法傳遞，從而起到了隔振降噪的作用。帶隙的形成機理包括Bragg散射型和局域共振型[4-5]，其中局域共振型聲子晶體在低頻隔振領域具有廣泛的應用前景。

作為聲子晶體結構的一種，柵格結構已經引起了廣泛的關注[6-13]。Martinssion等[6]調研了一種兩組元的柵格結構，他們通過把柵格簡化成不均一的彈簧，計算出了其能帶結構。溫激鴻等[7-8]從理論上進行了多方面的研究，并實驗驗證了帶隙的存在性。Jenson[9]利用質量-彈簧模型計算了二維柵格結構。Diaz等[10]分析了柵格單胞中附加質量對帶隙的影響。隨后Wang等[11]研究了一種與之類似的帶基板的柵格結構。此外，Wang等[12]將電磁彈性體材料與柵格結構相結合，分析了電磁彈性耦合及預應力對柵格帶隙結構的影響，研究結果表明柵格的帶隙寬度可以通過改變預應力的大小進行調節。以上研究的都是正方形柵格，黃毓等[13]還研究了三角形、米字形、六邊形、反六邊形、Kagome形以及鉆石形等六種典型拓撲結構的柵格的帶隙特性，并與四邊形柵格進行了對比。以上所研究的柵格結構多是二組元結構或單組元結構，主要具有Bragg散射帶隙，不利于獲得低頻帶隙。

本文基于局域共振機理，提出了一種新型三組元柵格結構(Three-Component Grid Plate，TCGP)。采用有限元法計算了該柵格結構的能帶結構及其特征模態位移場，用多質點-彈簧模型分析了柵格結構的局域共振機理[14-16]，并討論了結構參數對帶隙位置和寬度的影響。

1　模型與算法

1.1模型

本文提出的TCGP結構是由傳統柵格板在厚度方向上增加局域共振單元組成，如圖1所示。圖1(a)表示TCGP的三維視圖，圖1(b)表示TCGP的一個單胞。假設Z軸沿厚度方向，XY平面垂直于厚度方向。a和b分別表示TCGP結構的晶格常數和厚度，柵格壁厚為h，橡膠包覆層壁厚為l，包覆層高度為w。TCGP的骨架材料為鋁，其密度為2 780 kg/m3，楊氏模量為7.76×1010Pa，泊松比為0.35；包覆橡膠的密度是1 300 kg/m3，楊氏模量1.37×105Pa，泊松比0.46；其中作為質量-彈簧系統中集中質量的鉛的密度是11 600 kg/m3，楊氏模量4.08×1010Pa，泊松比0.42。

圖1　局域共振柵格結構三維模型和柵格單元Fig.1 Schematics of the LRGS and The unit cell of the LRGS

1.2計算方法

為了研究彈性波在TCGP中的傳播特性，利用有限元法計算了TCGP的色散關系和特征模態的位移場。在色散關系的計算中，直角坐標系下的彈性波傳播計算公式如下：

(i=1,2,3)

(1)

式中：u表示位移，t表示時間，xj代表坐標變量，cijlk代表彈性常量。

根據周期結構的Bloch定理，第一布里淵區之外沒有新的特征值和特征模態。因此，聲子晶體的色散關系可以通過計算一個柵格基本單元(單胞)獲得。采用多物理場商業軟件COMSOL Mutiphysics中的固體力學特征頻率模塊進行具體的有限元求解。在TCGP的上下表面施加自由應力邊界條件，并在圖1(b)所示的相鄰柵格單胞分界面上施加周期邊界條件：

u(x+a1,y)=u(x,y)eik1·a1

(2a)

u(x,y+a2)=u(x,y)eik2·a2

(2b)

式中：k=(k1,k2)是被限制在第一不可約布里淵區的波矢，a1、a2表示柵格單胞的基矢。沿著第一不可約布里淵區的高對稱邊界求解特征值方程，即可得到TCGP的能帶結構和相應的模態位移場。

2　結果與討論

2.1能帶結構

取TCGP的幾何參數為a=0.03 m，b=0.03 m，h=0.004 m，w=0.022 m，l=0.002 m，計算得到的沿高對稱邊界MΓ-ΓX-XM的能帶結構如圖2所示。從圖2(a)中可以看出，TCGP中存在一個頻率范圍從220 Hz到385 Hz的完全帶隙。顯然此頻率范圍內的波長遠大于柵格單胞的晶格常數a?？梢园l現除了Γ點及其附近領域，大多數頻帶都是平直的，因此這個帶隙具有局域共振特性。

(a)　MΓ-ΓX-XM能帶

(b)　ΓX能帶圖2　TCGP沿MΓ-ΓX-XM和ΓX方向的能帶結構Fig.2 Band structure of the LRGS along

2.2特征模態

為了確定各條頻帶代表的振動特性，圖3列出了對應于圖2(b)中標出的各點處的特征頻率對應的特征模態的位移場。圖2(b)中從Γ點開始的三個能帶分別表示反對稱Lamb波(A0模態)、對稱Lamb波(S0模態)和水平剪切波(SH0模態)[17]。在頻率很低的范圍內，對稱Lamb波(S0)和水平剪切波(SH0)在TCGP中的傳播與在均勻平板中非常相似。如圖3(d)所示，對于A0點處的反對稱Lamb波，TCGP的三種組元均沿著Z軸方向移動，這一點同樣與在均勻平板中的運動相似。如圖3(a)所示，共振模態A1同樣沿著厚度方向移動，因此它可以被反對稱Lamb波激勵。由于和A1模態的強耦合作用，反對稱Lamb波的能帶被截斷，變成平直能帶。因此，第一彎曲振動間隙(圖2(b)間隙3)從這條被截斷的平直能帶開始；而如圖3(b)所示，模態T3下鋁柵格板沿Z軸發生明顯位移，表明彎曲振動可以穿過柵格，第一彎曲振動帶隙截止。傾覆振動模態D和扭轉振動模態F在Z軸平行和垂直方向上均有位移，并且與之對應的帶型以平直帶貫穿整個第一布里淵區，因此這兩個模態所在頻率的振動可以穿過柵格板。對于共振模態E(圖3(c))，柵格單元在X軸方向上的鉛塊與在Y軸方向上的鉛塊的垂直振動的位移等大反向，導致局域共振單元施加在豎直板上的合力趨近于零，由此如圖2(b)所示，模態E以貫穿整個第一布里淵區的平直帶形式在三組元柵格板中傳播。

在XY面內的振型中，對稱Lamb波(模態S0)與其一階倍頻(模態S1)分別被共振模態C1(圖3(f))和C2(圖3(j))截斷。因此，如圖2(b)所示，第一、第二個縱向振動帶隙分別在C1、C2平直帶處形成。同時，水平剪切波(模態SH0)與其一階倍頻(模態SH1)分別被沿Y軸方向振動的共振模態B1(圖3(e))和B2(圖3(i))截斷。因此，第一、第二個水平剪切振動帶隙分別在平直帶B1、B2處形成。注意到平直帶B1和C1彼此非常接近，而且第一個縱向振動帶隙和第一個水平剪切振動帶隙均終止于模態T1。如圖3(g)所示，T1模態是柵格板中鋁合金骨架部分沿X軸和Y軸方向振動的耦合模態，這意味著縱向振動和水平剪切振動均可通過。并且，鉛芯的振動方向與鋁合金骨架的振動方向相反。類似的，平直帶B2和C2也非常接近彼此，而且第二個縱向振動帶隙和第二個水平剪切振動帶隙均終止于模態T2。

圖3　與圖2各點對應的振型和位移矢量圖Fig.3 Eigenmode shapes and displacement vector fields of the corresponding points as shown in Fig.2b

2.3振動傳遞特性

為了驗證圖2中不同方向的振動帶隙，建立了5×5單胞數的有限尺寸TCGP結構，利用有限元軟件對其振動傳遞特性進行仿真。分別在TCGP結構一端邊界上沿x,y,z三個方向施加單位位移激勵，仿真TCGP受剪切振動、縱向振動和彎曲振動的情況；在另一端拾取位移響應信號，與輸入信號對比得到振動衰減幅值曲線，如圖4所示。其中，圖4(a)中陰影部分對應圖2中前兩階剪切振動帶隙的頻率范圍，圖4(b)中陰影部分對應前兩階縱向振動帶隙的頻率范圍，圖4(c)中陰影部分對應第一階彎曲振動帶隙的頻率范圍。

圖4　有限周期數的TCGP沿不同方向的振動響應Fig.4 Response curves of vibration along different directions in a TCGP structure with limited unit cells

由圖4可知，振動響應曲線在對應圖2所得的各帶隙的頻率范圍內都有不同程度的衰減，說明圖2中理論帶隙存在。并且，x方向和z方向的振動衰減幅度要大于y方向的振動。響應曲線中，除帶隙起止頻率對應的峰谷外，還有結構作為整體對應的特征頻率。

2.4幾何參數的影響

以第一階彎曲振動帶隙為例，分析包覆層和芯體的整體填充率和柵格板厚度等幾何參數對帶隙特性的影響。以下針對不同填充率進行一系列計算，在計算過程中保持a=0.03 m,h=0.004 m,b=0.03 m，l=w/4不變。由圖5(a)可以看出，隨著填充率的增加，帶隙起始頻率單調下降，而帶隙終止頻率先下降后上升，且在f=0.5附近達到最低點，導致帶隙隨著填充率的增加而變寬。保持a=0.03 m,h=0.004 m,l=b/8,w=b/2不變，進一步研究柵格板厚度b對第一階彎曲帶隙的影響，結果如圖5(b)所示。帶隙的起始頻率fs和終止頻率ft都隨板厚b的增加而下降，且終止頻率的下降速度快于起始頻率，導致帶隙隨板厚b的增加而變窄并向低頻移動。

圖5　整體填充率和柵格板厚對第一彎曲振動帶隙的影響Fig.5 The first flexural vibration band gap as a function

為了進一步揭示整體填充率和柵格板厚對第一彎曲振動帶隙的產生影響的機理，給出對應該帶隙的起始模態A1和終止模態T3的質量-彈簧系統模型，如圖6所示。在模態A1的質量-彈簧系統模型中，鉛芯對應質量塊MA，橡膠對應彈簧Ke，鋁合金骨架可被視為剛體。而終止模態T3對應于含兩個質量塊的質量-彈簧系統模型：除了質量塊MA之外，鋁合金骨架對應質量塊MB。當模態T3達到其平衡狀態時，質量塊MA和MB同時移向或遠離振動靜止點。

這兩個質量-彈簧系統的固有頻率可由如下公式進行計算：

(3a)

(3b)

式中：fs和ft分別是第一階彎曲帶隙的起始頻率和終止頻率。

圖6　第一彎曲振動帶隙起止頻率質量-彈簧系統模型Fig.6 Mass-spring system models for mode

整體填充率增加則等效質量塊MA增加，由公式3(a)可知，起始頻率fs下降。對于終止頻率ft，隨著填充率增加，等效質量塊MB和MA先后起主導作用。由式3(b)和圖6(b)可知，終止頻率ft先下降后上升，與此同時靜止點由MB移向MA，與圖5(a)的計算結果一致。另外，格柵板厚的增加使等效質量MB和MA增加。由式(3)可知，隨著厚度b的增加，fs和ft均下降，且ft下降趨勢比fs更快，與圖5(b)的計算結果一致。

3　結　論

本文提出了一種新型的三組元柵格板結構，并對該結構中的彈性波的傳播特性進行了深入的理論研究。該柵格結構由鋁柵格板、鉛芯、包覆橡膠組成，利用有限元法計算了其色散關系和對應振型的位移場。通過分析各條能帶結構和相應的振型，發現三組元柵格板沿不同方向的局域共振模態分別與反對稱Lamb波、對稱Lamb波和水平剪切波產生強耦合作用，從而產生了彎曲、縱向和水平剪切局域共振帶隙。根據對振動響應的有限元仿真，證明了各帶隙的存在，并且發現，振動在剪切振動帶隙和彎曲振動帶隙頻率范圍內的衰減幅度要大于縱向振動帶隙。根據一階彎曲振動帶隙的起始模態和終止模態的振型特征，建立了兩個質量-彈簧系統模型。該模型可以很好的解釋一階彎曲振動帶隙隨填充率和柵格板厚度這兩個參數變化的規律。本文提出的新型三組元周期柵格板結構具有低頻寬帶隙，為低頻隔振提供了一個新思路。

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Vibration characteristics of three-component grid plates

LIU Rongqiang, ZHAO Haojiang, LI Changzhou, GUO Hongwei, DENG Zongquan

(School of Mechatronics Engineering, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China)

A three-component grid plate structure inspired due to the local resonance mechanism of phononic crystals was presented. The dispersion relation and displacement field of eigenmodes of this novel grid structure were calculated with the finite element method. According to energy band structure figures and vibration response curves obtained with FE simulation, it was shown that the proposed grid structures possess low frequency vibration band gaps along different directions; the local resonant band gaps are caused due to the interaction between traveling wave modes and local resonances; taking the first flexural vibration band gap as an example, the effects of geometric parameters on the band gap can be explained with an equivalent mass-spring system model; these properties of band gaps in three-component grid plates can potentially be applied to design devices for low-frequency vibration reduction.

grid plate; local resonance; band gap; finite element method

“111”工程(B07018)

2015-04-20修改稿收到日期：2015-07-16

劉榮強 男，博士，教授,博士生導師，1965年10月生

郭宏偉 男，博士，副教授，1980年12月生

O734

A

10.13465/j.cnki.jvs.2016.15.010