濕熱環境下復合材料薄壁梁振動特性研究

馬艷龍， 李映輝

(西南交通大學 力學與工程學院 應用力學與結構安全四川省重點實驗室，成都 　610031)

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濕熱環境下復合材料薄壁梁振動特性研究

馬艷龍， 李映輝

(西南交通大學 力學與工程學院 應用力學與結構安全四川省重點實驗室，成都 610031)

研究濕熱環境變化對復合材料薄壁梁自由振動特性的影響。給出了復合材料薄壁梁的位移場和應變場，將濕熱應變引入單層材料的本構關系，基于Hamilton原理得到濕熱環境下復合材料薄壁梁的多向耦合振動方程。用Galerkin法和假設模態得到薄壁梁的固有頻率。討論了周向均勻剛度(CUS)構型復合材料薄壁梁的耦合振動特點。數值計算分析了濕度、溫度變化及鋪層角度對梁振動特性的影響。

濕熱環境；復合材料薄壁梁；自由振動；固有頻率

一些細長復合材料殼體結構，如風力機葉片等常服役于濕熱環境，濕熱對復合材料性能有較大影響[1-3]，導致結構振動特性改變，因此研究濕熱對細長復合材料結構振動特性影響機理有重要意義。

目前對濕熱環境下復合材料結構振動特性的研究主要用層合梁、板、殼等模型。如Jiang等[4]將濕熱應變引入單層復合材料本構關系，通過建立復合材料旋轉層合梁揮舞振動方程，考察旋轉效應、濕熱效應、輪轂半徑、纖維方向角等因素對其揮舞振動特性的影響；Shiau等[5]用直接積分法和諧波平衡法研究了濕熱環境下旋轉復合材料層合梁在周期激勵下的動態響應和穩定性；Patel等[6]引入濕熱，建立復合材料層合厚板的靜力、屈曲和振動方程，并發展了13自由度C°八節點四邊形板單元求解該問題；楊加明等[7]基于Reddy[8]高階剪切理論，在本構中考慮濕熱，建立復合材料層合板幾何非線性振動控制方程，討論溫度、濕度、長厚比、纖維方向角等對層合板振動特性影響；Swamy等[9]用有限元法，分析濕熱環境下復合材料層合殼的非線性自由振動;文獻[10]研究了濕熱環境對旋轉復合材料疊層梁擺振特性的影響。由于復合材料薄壁梁的復雜性，現有的對薄壁梁在濕熱環境下的振動特性研究還很少。

本文基于復合材料薄壁閉合截面梁位移應變關系，將濕熱應變引入單層材料本構關系，用Hamilton原理建立梁拉伸、彎曲、扭轉多向耦合振動方程探討濕熱效應、纖維鋪層角對薄壁梁振動特性的影響機理。

1　振動控制方程

1.1位移場

考慮細長薄壁閉合截面梁，如圖1。梁長L，壁厚h，截面中性面曲率半徑R，且h?R，R?L。

圖1　薄壁梁結構與坐標系Fig.1 Coordinate systems and geometry of thin-walled beam

薄壁梁整體坐標系oxyz的坐標原點位于固定端，局部坐標系o″xsξ位于薄壁截面上一點。整體坐標系中梁截面位移場為

u2(x,s)=U2(x)-z(s)φ

u3(x,s)=U3(x)+y(s)φ

(1)

式中：ui(i=1,2,3)為截面上任一點沿坐標軸x,y,z方向的位移，Ui(i=1,2,3)為截面沿坐標軸x,y,z方向的平均位移，φ表示截面繞x軸的扭轉角，()′表示對x求導。g(s,x)為截面面外翹曲，可表為[11]

g2(s)U″2+g3(s)U″3

(2)

式中：g1、g2、g3分別為拉伸、繞z,y軸彎曲的面外翹曲函數，G(s)為扭轉翹曲函數。

薄壁上任一點在局部坐標系o″xsξ中的位移為

(3)

1.2本構關系

薄壁梁截面的應變場為

Gφ″+g1U″1+g2U?2+g3U?3

(4)

式中：ε11、ε12和ε22為截面上任一點的軸向應變、剪切應變和環向應變，( ),s和( ),ss為對s的一階、二階導數，rn=y·z,s-z·y,s為x軸到局部坐標s處截面切線的垂直距離[12]。

考慮溫度和濕度變化，單層材料應力-應變關系為

(5)

1.3勢能表達式

濕熱環境下單層材料振動變形應變能密度Φ為

(6)

令H=(H11H22H12)T=ΔTα+ΔCβ，γ=(γ11γ22γ12)T=(ε-H)，則

(7)

當薄壁結構未受到橫向壓力時，環向應力可忽略，得到

(8)

由式(7)和式(8)得

(9)

將式(9)代入式(7)，則單層材料應變能密度Φ為

(10)

式中：

(11)

將γ=(ε- ΔTα- ΔCβ)代入(10)得

2A(s)ε11H11-2B(s)ε11H12-

2B(s)ε12H11-2C(s)ε12H12+

(12)

式中:前三項為振動變形勢能密度，四至七項為濕熱變形與振動變形耦合勢能密度，最后三項為濕熱變形勢能密度。如鋪層數為n，單層厚度hk(k=1,…,n)，有h=h1+…+hn。將式(12) 沿環向和軸向積分，并對各層疊加，可得式(12) 中三部分對應的勢能

(13)

因翹曲為小量，軸向變化率遠小于環向變化率，A(s)、B(s)、C(s)為同一量級，將式(4)中應變代入應變能密度式(13)，并忽略翹曲軸向分量化簡得

(14)

B(s)g1,szk)-C(s)g1,sg3,s]ds，

B(s)g1,syk)-C(s)g1,sg2,s]ds

zkg2,s)+C(s)g2,sg3,s]ds，

(15)

(16)

式中：

(17)

濕熱環境下復合材料薄壁閉合梁總勢能

U=Ud+Uc+Ue

(18)

1.4動能表達式

復合材料薄壁閉合截面梁的動能T

(19)

將式(1)代入式(19)得

(20)

1.5振動方程

(21)

式中：mc、Sy、Sz、I與截面幾何和材料密度ρ有關，表示為

(22)

對應于式(21)的力邊界條件為

(23)

式中：F0、FL為梁兩端的外加軸向力，Mx0、MxL為梁兩端的外加扭矩，My0、MyL為兩端外加繞y軸彎矩，Qz0、QzL為兩端沿z軸方向的剪力，Mz0、MzL為兩端外加繞z軸彎矩，Qy0、QyL為兩端沿y軸方向的剪力。

由方程(21)及邊界條件(23)可見，濕熱不僅通過改變材料屬性能影響薄壁梁的剛度，而且通過產生濕熱變形引起軸向力Nx使梁兩個彎曲方向的剛度變化；同時濕熱還以同樣的方式影響梁的邊界條件。

2　求解方法

方程組(21)是一組耦合偏微分方程，通常不能得到其解析解，為此使用Galerkin方法和假設模態法求其數值解。令

(24)

式中：

(25)

式(24)中φ(x)、η(x)、?(x)和ζ(x)分別為拉伸、扭轉、繞z軸(水平)和y軸(垂向)彎曲的模態函數，式(25)中φi(x)、ηi(x)、?i(x)和ζi(x)是滿足邊界條件的試函數，ai、bi、ci、di為待定系數，N為試函數個數。

式(24)～(25)代入(21)，基于Galerkin過程得

([K]-ω2[M])q=04N×1

(26)

式中：q={a1,…,aN,b1,…,bN,c1,…cN,d1,…,dN}T為待定系數列向量。

[K]和[M]中各子塊均為N×N的方陣，其元素為

由q≠0，得到

(27)

由式(27)可求得梁的固有頻率，再由式(26)求得模態向量，最后由式(25)求得其模態函數。

3　應用

3.1CUS構型梁

對沿周向均勻鋪層構型梁，如圖2。由式(11)知A(s)、B(s)、C(s)為常數，且C13=C14=C23=C24=C34=0，有Sy=Sz=0。方程組(21)簡化為

(28)

圖2　CUS構型截面Fig.2 Cross section of the circumferentially uniform stiffness construction

由式(28)可見，CUS構型梁僅存在拉-扭耦合，不存在拉-彎、彎-扭和彎-彎耦合；濕熱不僅通過改變材料屬性影響梁的剛度矩陣[C]，還通過濕熱變形引起的軸向力Nx影響梁的垂向(V-bending，vertical)和水平(H-bending，horizontal) 彎曲剛度，從而影響其振動特性。

3.2算例

為考察濕熱對復合材料薄壁閉合截面梁振動特性的影響，以兩端固支周向均勻鋪層(CUS)薄壁閉合截面梁為算例。幾何參數見表1，材料為石墨/環氧，其彈性模量隨濕度、溫度變化如表2，濕膨脹系數β1=0，β2=0.44×10-6℃，熱膨脹系數α1=-0.3×10-6℃，α2=28.1×10-6℃,泊松比ν21=0.3。

表1　復合材料薄壁梁幾何參數

表2　石墨/環氧彈性模量[6](a)不同吸水濃度；(b)不同溫度

3.2.1收斂性驗證

式(25)中試函數φi(x)、ηi(x)、?i(x)和ζi(x) 理論上有多種取法，在給定精度要求下，不同取法其試函數目N不同。本文以固支梁拉伸、扭轉、彎曲振型函數[13]為試函數。即

(29)

1-cosh(ωiL)cos(ωiL)=0,i=1,2,…,N

圖3給出了試函數個數N對前拉伸、扭轉、完全前四階固有頻率精度的影響。可見N增加，各階固有頻率快速收斂。在僅計算前四階固有頻率時，N=8可以保證足夠精度。如需計算更高階固有頻率，則N要相應增大。

3.2.2有效性驗證

為驗證本文理論和方法，將本文結果與有限元法(FEM)結果比較如表3。有限元計算使用Nasran四節點殼單元，共3 456個節點、3438個單元。

由表3可見，本文結果與有限元結果非常接近，最大誤差4.7%，具有非常好的一致性，說明本文理論和方法正確。

3.2.3溫度效應

濕熱將改變材料力學性能，從而影響結構的固有頻率。從方程式(28)可見對CUS構型梁，濕熱僅通過材料性能改變影響拉-扭耦合振動特性；但以材料性能改變、濕熱變形兩種方式影響彎曲振動特性。

圖3　前四階固有頻率的收斂性(ΔT=50℃, ΔC=0.5%, θ=60°)Fig.3 Convergence of the first four naturalfrequencies(ΔT=50℃, ΔC=0.5%, θ=60°)

階數拉伸本文FEM扭轉本文FEM水平彎曲本文FEM垂向彎曲本文FEM11759.41740.31003.6996.468.3467.82123.7120.123518.83446.22007.21972.8215.1209.7356.4348.735278.15109.73010.82942.3441.9431.5711.0694.247037.56721.64014.53842.5745.6718.71184.71135.8

表4給出了在ΔC=0、θ=60°時，梁前兩階拉伸、扭轉、兩個方向彎曲振動特性隨溫度的變化規律。由表4可見溫度增加梁各振動固有頻率均下降，對彎曲振動特性影響較拉、扭振動更加顯著(溫度升高100°，水平彎曲振動一階頻率下降近29%)。

為分析溫度導致的材料性能改變和熱膨脹導致的熱變形二者對振動特性影響機理，表5給出了僅考慮溫度導致的材料性能改變對兩個方向的彎曲振動特性影響規律，表6給出了僅考慮熱變形對兩個方向的彎曲振動特性影響規律。

表4　溫度對梁振動特性的影響(ΔC=0, θ=60°,單位：Hz)

表5　僅考慮溫度引起的材料性質改變對梁彎曲振動特性的影響(ΔC=0, θ=60°, 單位：Hz)

表6　僅考慮溫度引起的熱變形對梁彎曲振動特性的影響(ΔC=0, θ=60°, 單位：Hz)

由表5和表6可見，溫度增加導致的材料性能改變和熱膨脹導致的熱變形均使梁的彎曲振動頻率下降。對高階振動，溫度導致的材料性能改變強于熱變形的影響；對低階振動，溫度導致的材料性能改變較熱變形的影響弱。

3.2.4濕度效應

從式(21)和(28)可以看出， 濕度與溫度作用機理相同。表7給出了濕度對梁振動特性的影響。可見濕度增大，梁各階固有頻率降低。鑒于石墨/環氧復合材料飽和吸水濃度一般在1%左右[14]，相對于溫度而言濕度對梁的振動特性影響較小。

3.2.5鋪層角效應

圖4給出了在不同濕熱下，材料鋪層角對前兩階拉伸、扭轉、兩個方向的彎曲振動特性的影響。可見拉伸和彎曲振動頻率隨鋪層角增大而下降；扭轉振動頻率先增后減，在45°鋪層角達到最大；鋪層角對振動特性影響與濕熱環境、振動形態密切相關。

表7　濕度對梁振動特性的影響(ΔT=0, θ=60°,單位：Hz)

圖4　鋪層角對梁振動特性的影響Fig.4 Effects of ply angle on vibration characteristics of the beam

4　結　論

本文綜合考慮梁截面翹曲、濕熱對材料性能影響、濕熱變形等因素，建立了濕熱環境下復合材料薄壁截面梁的耦合振動方程，基于此研究了濕熱效應、材料鋪層角對薄壁梁振動特性的影響。結論如下：

(1) 濕熱通過改變材料性能、產生濕熱變形兩種形式影響梁的振動特性，濕熱增加二者均導致振動頻率降低。

(2) 對高階振動，溫度導致的材料性能改變強于熱變形影響；對低階振動，溫度導致的材料性能改變較熱變形的影響弱。

(3) 總體來說，溫度對振動特性的影響是主要的，相對于濕度影響更大；

(4) 濕熱對梁振動特性的影響與振動形態密切相關，對彎曲振動特性影響較拉、扭振動更加顯著。鋪層角對振動特性影響與濕熱環境、振動形態密切相關。

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Free vibration characteristics of a composite thin-walled beam under hygrothermal environment

MA Yanlong, LI Yinghui

(Applied Mechanics and Structure Safety Key Laboratory of Sichuan Province,School of Mechanics and Engineering, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031, China)

Free vibration characteristics of a composite thin-walled beam under hygrothermal environment were investigated here. Firstly, the displacement field and strain one of the closed-section beam were derived. The influence of hygrothermal environment on the beam’s dynamic characteristics was introduced through adding the strain of moisture and thermal expansion into the constitutive relation of single layer material. The multi-directional coupled vibration equations of the composite beam were derived employing Hamilton’s principle. The natural frequencies of the beam were obtained based on Galerkin method and the assumed-modes method. The coupled vibrations of a typical composite beam with circumferentially uniform stiffness(CUS) were discussed. The influences of temperature, moisture and ply angle on the natural frequencies of the beam were analyzed through numerical simulations.

hygrothermal; composite thin-walled beam; free vibration; natural frequency

國家自然科學基金(11372257);西南交通大學研究生創新實驗實踐(YC201412230)

2015-01-27修改稿收到日期：2015-07-02

馬艷龍 男，碩士，1986年9月生

李映輝 男，博士，教授，1964年10月生

E-mail:yinghui.li@home.swjtu.edu.cn

O326

A

10.13465/j.cnki.jvs.2016.15.026