偏序集上的Fuzzy蘊涵代數及其性質

王昭海，吳洪博

( 1.安康學院 數學與統計學院，陜西 安康　725000;2.陜西師范大學 數學與信息科學學院，西安　710062)

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偏序集上的Fuzzy蘊涵代數及其性質

王昭海1，吳洪博2

( 1.安康學院 數學與統計學院，陜西 安康725000;2.陜西師范大學 數學與信息科學學院，西安710062)

給出了偏序集上的Fuzzy蘊涵代數的概念，討論了它的性質，并證明它在滿足一定條件下可構成MV代數，也可構成FuzzyR0代數。

偏序集；蘊涵代數；性質

在偏序集上的蘊涵代數的基礎上，給出了Fuzzy蘊涵代數的概念，研究了它的性質。說明了它在條件(x→y)→y=(y→x)→x成立時，也構成FuzzyR0代數。

1　Fuzzy蘊涵代數

定義1設X是一個非空集合，≤為X上的一個偏序關系，其中0，1分別為X中的最小元和最大元，→是定義于X上的二元運算，使得(X,→，0)成為一個(2，0)型代數，如果對于任意x,y,z∈X,二元運算→對于偏序關系≤滿足

①x→(y→z)=y→(x→z)，

②x≤y當且僅當x→y=1，

則稱(X,→，0)是偏序集(X，≤)上的Fuzzy蘊涵代數，簡稱為Fuzzy蘊涵代數。

性質1設(X,→，0)是偏序集(X，≤)上的Fuzzy蘊涵代數，則對于任意x,y∈X,下面性質成立：

(P1) 0→x=1；

(P2)x→1=1；

(P3)x→x=1；

(P4) 若1→x=1，則x=1；

(P5) 若x→y=y→x=1，則x=y；

(P6) 1→x=x；

(P7) 若x→0=1，則x=0；

(P8)x≤(x→y)→y；

(P9)y≤(x→y)→y；

(P10)x≤(x→y)→x；

(P11)x→y≤((x→y) →y) →y；

(P12)x→(y→0)=y→(x→0)；

(P13)x≤y→z當且僅當y≤x→z；

(P14)x→(y→x)=1。

定義2[1]設(X,→，0)是偏序集(X，≤)上的Fuzzy蘊涵代數，在滿足條件(x→y)→((y→z)→(x→z))=1,稱(X,→，0)為蘊涵代數。

性質2設(X,→，0)是偏序集(X，≤)上的蘊涵代數，則(X,→，0)是Fuzzy蘊涵代數。

引理1[1]設(X,→，0)是偏序集(X，≤)上的蘊涵代數，則對于任意x,y,z∈X，

① 若x≤y,則y→z≤x→z,z→x≤z→y；

② ((x→y) →y) →y=x→y

定義3設(X,→，0)是偏序集(X，≤)上的Fuzzy蘊涵代數，在X上定義一個一元運算﹁，使得對于任意x∈X,﹁x=x→0,則稱﹁為補算子，如果﹁還滿足﹁﹁x=x，則稱(X,→，0)是偏序集(X，≤)上的正則Fuzzy蘊涵代數。

引理2設(X,→，0)是偏序集(X，≤)上的Fuzzy蘊涵代數，則

① (X,→，0)是正則的，當且僅當對于任意x，y∈X，x→y′=y→x′。

② (X,→，0)是正則的，當且僅當對于任意x，y∈X，x→y=y′→x′。

③ 若(X，≤)構成格，∨，∧分別為其上確界和下確界，則

(i)x∨y≤((x→y)→y)∧((y→x)→x),

(ii) De Morgan對偶律成立，即(x∨y)′=x′∧y′,(x∧y)′=x′∨y′。

證明①，②顯然成立?，F在證③：由(P8)、(P9)得，x≤((x→y)→y)∧((y→x)→x),同理y≤((x→y)→y)∧((y→x)→x),所以x∨y≤((x→y)→y)∧((y→x)→x)。

由于′是逆序對合對應，所以De Morgan 對偶律成立。

性質3設(X,→，0)是偏序集(X，≤)上的正則蘊涵代數，若(X，≤)構成格，則對于任意的x,y,z∈X，有x→y≤x∨z→y∨z，x→y≤x∧z→y∧z。

證明由性質1中(P8)、(P9)及引理1得：x≤(x→y)→y≤(x→y)→y∨z,z≤(x→y)→z≤(x→y)→y∨z，因此x∨z≤(x→y)→y∨z，所以由(P13)得x→y≤x∨z→y∨z。又因為(X,→，0)是正則的，由性質2和引理2中的②可得，x∧z≤(x→y)→y∧z。再由(P13)得：x→y≤x∧z→y∧z。

2　Fuzzy蘊涵代數與幾種代數的關系

性質4設(X,→，0)是偏序集(X，≤)上的Fuzzy蘊涵代數且滿足條件：對于任意x,y∈X,

(＊)

在X中，記x′=x→0，則(X，≤)構成格,上、下確界分別由下面的性質⑦和⑧中的兩個等式確定，而且(X,→,0)有以下性質：

① (x→y)→((y→z)→(x→z))=1；

② (y→z)→((x→y)→(x→z))=1；

③ 若x≤y,則y→z≤x→z,z→x≤z→y；

④ ((x→y)→y)→y=x→y；

⑤ ′是逆序對合對應；

⑥x→y=y′→x′；

⑦x∨y=(x→y)→y；

⑧x∧y=((y→x)→y′)′；

⑨ (x→y)→(x→z)=x∧y→z；

⑩ (x→y)→(z→y)=z→x∨y；

證明

(i) 由(P14)和條件(＊)得：(x→y)→((y→z)→(x→z))= (x→y)→(x→((y→z)→z))= (x→y)→(x→((z→y)→y))= (x→y)→((z→y)→(x→y))=1，所以①成立。再由定義1可得②、③成立。

(ii) 由條件(＊)可得：((x→y)→y)→y=(y→(x→y))→(x→y)= (x→(y→y))→(x→y)= (x→1)→(x→y)=1→(x→y)=1，故④成立。

(iii) (x′)′=(x→0)→0=(0→x)→x=1→x=x,當x≤y時,由③得，y→0≤x→0,即y′≤x′。又由引理2可知⑤、⑥成立。

(iv) 由x≤(x→y)→y,y≤(x→y)→y得,(x→y)→y是x,y的上界，且x∨y≤(x→y)→y。下面證明，若x≤t,y≤t,則(x→y)→y≤t。事實上(x→y)→y≤t當且僅當((x→y)→y)→t=1。只須證((x→y)→y)→t=1。由③和④得：((x→y)→y)→t=((x→y)→y)→(1→t)=((x→y)→y)→((y→t)→t)=((x→y)→y)→((t→y)→y)=(t→y)→(((x→y)→y)→y)=(t→y)→(x→y)≥x→t=1。因此,((x→y)→y)→t=1。即(x→y)→y是x,y的最小上界，也就是上確界，即x∨y=(x→y)→y，故⑦成立。 再由⑤、⑥得：x∧y=(x′∨y′)′=((x′→y′)→y′)′=((y→x)→y′)′是x,y的最大下界，即是下確界。同時⑧也成立。所以，(X，≤)是格。

(v) 由⑤、⑥得，(x→y)→(x→z)=(y′→x′)→(z′→x′)=z′→((y′→x′)→x′)=z′→y′∨x′=z′→x′∨y′= (x′∨y′)′→z=x∧y→z，所以⑨成立。

(vi) 由條件(＊)得，(x→z)→(y→z)=y→((x→z)→z)=y→x∨z，所以⑩成立。

性質5設(X,→，0)是偏序集(X，≤)上的Fuzzy蘊涵代數且滿足條件(＊)，則(X,→，0)是(正則)蘊涵代數。

性質6設(X,→，0)是偏序集(X，≤)上的Fuzzy蘊涵代數且滿足條件(＊),若在X上定義一元運算′和二元運算⊕使得對于任意x，y∈X,x⊕y=x′→y,x′=x→0,則：

① (X,⊕,′,0)構成一個MV代數；

② (X，≤)構成一個分配格。

證明

1) 由于x⊕y=x′→y=y′→x=y⊕x，x⊕0=x′→0=0′→x=1→x=x，(x⊕y) ⊕z=(x′→y)′→z=z′→(x′→y)=x′→(z′→y)=x′→(y′→z)=x⊕(y⊕z)，所以(X,⊕,0)是以0為單位的交換半群。

x⊕0′=x′→0′=0→x=1=0′

由性質3中的⑤知，(x′)′=x。

由條件①得,(x′⊕y)′⊕y= (x→y)→y=(y→x)→x=(y′⊕x)′⊕x。所以(X,⊕,′,0)構成一個MV代數。

2) 由于(X，≤)構成一個格，x∨y=(x→y)→y和x∧y=((y→x)→y′)′分別是它的上、下確界。下面再證明x∧(y∨z)=(x∧y)∨(x∧z)成立。因為x∧y≤x∧(y∨z)，x∧z≤x∧(y∨z)，則(x∧y)∨(x∧z) ≤x∧(y∨z)。反過來,由性質2、3和定義1中②得：x∧(y∨z)→(x∧y)∨(x∧z)≥(x∧(y∨z)→x∧y)∨(x∧(y∨z)→x∧z)≥(y∨z→y)∨(y∨z→z)=1，故x∧(y∨z)→(x∧y)∨(x∧z)=1，即x∧(y∨z)≤(x∧y)∨(x∧z)。所以x∧(y∨z)=(x∧y)∨(x∧z)，說明(X，≤)構成分配格。

性質7設(X,→，0)是偏序集(X，≤)上的Fuzzy蘊涵代數且滿足條件(＊)，對于任意x，y∈X，若定義﹁x=x′=x→0,x∨y=(x→y)→y，則(X,﹁,∨，→)構成一個FuzzyR0代數。

證明因為對于任意x，y，z∈X,x∨y=(x→y)→y，故運算﹁,∨，→的定義是合理的。(y→z)≤(x→y)→(x→z),且﹁是逆序對合對應。

下面證明(R5)x→y∨z=(x→y)∨(x→z)成立。

由性質3的(2)和條件(＊)得，

(x→y∨z)→(x→y)∨(x→z)=

(x→y∨z)→(((x→y)→(x→z))→(x→z))=

(x→y∨z)→((x∧y→z)→(x→z))=

(x→y∨z)→(x→(x∧y)∨z)=

x∧(y∨z)→(x∧y)∨z=

(x∧y)∨(x∧z)→(x∧y)∨z=1，則(x→y∨z)→(x→y)∨(x→z)=1，即x→y∨z≤(x→y)∨(x→z)。

又x→y≤x→y∨z且x→z≤x→y∨z，故，(x→y)∨(x→z)≤x→y∨z，所以x→y∨z=(x→y)∨(x→z)。

再證(R6)也成立。由(R5)和性質4得：

x∧y→z=z′→(x∧y)′=

z′→x′∨y′=(x→y)∨(x→z)

所以

(x→y)∧(x→z)→(x→y∧z)=

(x→y∧z)′→((x→y)∧(x→z))′=

(x→y∧z)′→(x→y)′∨(x→z)′=

((x→y∧z)′→(x→y)′)∨((x→y∧z)′→

(x→z)′)=((x→y)→(x→y∧z) )∨

((x→z)→(x→y∧z) )≥(y→y∧z) ∨

(z→y∧z)=1

故(x→y)∧(x→z)→(x→y∧z)=1，即(x→y)∧(x→z)≤x→y∧z。

反之，x→y∧z≤x→y，x→y∧z≤x→z，可得x→y∧z≤(x→y)∧(x→z)，則x→y∧z=(x→y)∧(x→z)。

由上面的分析知(X,﹁,∨，→)顯然構成一個FuzzyR0代數。

[1]李志偉.偏序集上的關聯蘊涵代數[J].模糊系統與數學,2002(16):99-102.

[2]李志偉.偏序集上的關聯蘊涵代數的性質[J].首都師范大學學報,2003,24(2):15-18.

[3]劉練珍,王國俊.Fuzzy蘊涵代數與MV代數[J].模糊系統與數學,1998,12(1):20-25.

[4]王國俊．數理邏輯與歸結原理引論[M]．北京：科學出版社，2003.

[5]王國俊.非經典數理邏輯與近似推理[M].北京:科學出版社,2003.

[6]裴道武.剩余格與正則剩余格的特征性質[J].數學學報,2002,45(2):271-278.

[7]CHANG C C.Algebraic analysis of many value Logic[J].Trans Amer Soc,1958,87(1):1-53.

[8]PAVELKA J.On Fuzzy logic(II)[J].Z.Math.Logik Grund.Math.,1979,25(1):119-134.

(責任編輯何杰玲)

Poset on Fuzzy Implication Algebras and Their Properties

WANG Zhao-hai1, WU Hong-bo2

(1.School of Mathematics and Statistics,Ankang University, Ankang 725000, China;2.School of Mathematics and Information Science, Shaanxi Normal University, Xi’an 710062, China)

Poset was given on the concept of Fuzzy implication algebra and the nature of it was discussed. And we proved that it constitutes MV algebra under satisfying certain conditions, and also constitutes a FuzzyR0algebra.

poset; implication algebra; property

2016-01-09

陜西省教育廳科研計劃項目資助((15JK1012)

王昭海(1966—)，男， 陜西安康人，碩士，副教授，主要從事從事模糊數學和非經典數理邏輯的研究，E-mail:akwzh@163.com。

format：WANG Zhao-hai, WU Hong-bo.Poset on Fuzzy Implication Algebras and Their Properties[J].Journal of Chongqing University of Technology(Natural Science)，2016(8):148-151.

10.3969/j.issn.1674-8425(z).2016.08.024

O141.1

A

1674-8425(2016)08-0148-04

引用格式：王昭海，吳洪博.偏序集上的Fuzzy蘊涵代數及其性質[J].重慶理工大學學報(自然科學)，2016(8):148-151.