感悟數學思想 積累活動經驗
——“形與數”課堂教學實錄與評析

北京教育科學研究院 劉延革（執教）北京市房山區教師進修學校 王雅薇（評析）

感悟數學思想 積累活動經驗
——“形與數”課堂教學實錄與評析

北京教育科學研究院 劉延革
（執教）
北京市房山區教師進修學校 王雅薇（評析）

劉延革 中學高級教師，北京市學科帶頭人，北京教育科學研究院教研員。

2001年代表北京市參加全國第五屆小學數學課堂教學評優活動，榮獲一等獎；多次在北京市評優課活動中獲一等獎；在市、區基本功大賽中獲一等獎；輔導教師在全國評優課中獲一等獎。

參與國家新課程指定北京版教材的編寫，主編由全國中小學信息技術研究中心組織編寫的《現代信息技術教與學范例叢書》，完成了由北京市教委組織編寫的北京教育叢書《我讀小學數學教材》的個人專著。

被中國教育學會、中國教師繼續教育網、北師大教育培訓中心、北京教育學院、內蒙古教育學會等多家機構聘為指導專家和特約講師；經常在全國大型研討會上作課、講座；前往全國各地進行講學或介紹經驗；多次前往內蒙古、甘肅、陜西、山西、東北等地進行支教活動。

教學內容：人教版數學六年級上冊第107～108頁。

教學目標：

（1）在探究圖形和數的問題中，使學生發現數與形之間的聯系，體會數形互助解決問題的方法。

（2）在觀察、發現、猜想、推理等數學活動中，幫助學生積累數形結合思考問題的經驗，滲透歸納推理和極限思想。

（3）體會數形結合思想在學習和生活中的廣泛應用，感受數形結合的價值，初步形成數形結合的意識。

教學過程：

一、談話導入

師：同學們，一提到數學你們就會想到什么？

生1：我會想到數，如0、1、2、3等自然數，0.1、2.5等小數。

生2：我會想到“加、減、乘、除”等運算符號。

生3：我會想到如何進行運算、有趣的數學問題等。

生4：我會想到三角形、長方形、正方形、平行四邊形等幾何圖形。

師：如果把同學們說的這些知識進行分類，可以分成兩類。一類是由數、運算符號、運算方法組成的“數”；另一類是由點、線、面、體組成的“形”?！皵怠焙汀靶巍笔菙祵W研究的兩大類對象。“數”和“形”有沒有關系呢？

生1：有關系，如圓這個圖形和π有關系。

生2：我沒有想過這個事情。

師：大多數同學沒有想過“數”與“形”之間的關系，今天我們就來研究。（板書：數與形）

評析：從學生學習過的數學知識入手，引導學生回憶數學研究的兩個重要領域——數與代數領域和空間與圖形領域。以“‘數’和‘形’之間有沒有關系”這一問題為突破口，引發學生思考，有效地調動了學生思維的積極性，激發了他們學習本節課的興趣。

二、體會形中有數，數中有形

1.例1教學

課件出示：

師：你發現圖形的規律了嗎？（學生觀察）按照規律第四個圖形應該是什么樣子的？

評析：教師沒有直接把四幅圖一并出示，而是逐次出現。目的是給學生時間，讓學生感受變化，在體會變化中發現規律，根據規律想象出圖形，既培養了學生的空間想象能力，又為將圖形與算式建立聯系做好準備。

生：如果把每個小正方形的邊長看作是“1”，第四個圖形應該是邊長為4的大正方形。

課件出現：

師：你能用數或式子表達你發現的規律嗎？

（學生思考、表達、匯報）

作品一：1、4、9、16

師：你能明白每個數表示的意思嗎？

生：第一個有1個正方形，第二個有4個正方形，第三個有9個正方形，第四個有16個正方形。

作品二：1×1、2×2、3×3、4×4

問：這些算式是什么意思？

生：1是邊長，1×1是第一個圖形的面積；2×2、3×3、4×4分別表示圖形的面積。

作品三：1、1+3、1+3+5、1+3+5+7

問：什么意思？

學生解釋算式中每個數字在圖形中的位置。如下圖：

師：同一個圖形，觀察出的規律不一樣，每個規律是從什么角度觀察的？

生：作品一觀察的是圖形中小正方形的總個數，作品二觀察的是圖形的邊長與面積的關系，作品三反映的是圍繞左下角的正方形，外圈的正方形數逐漸增加。

師：雖然觀察角度不同，但是我們都能從圖形中找到算式中的數。

評析：教師為學生提供了充分的時間和空間，放手讓學生自主觀察、探究，多次安排從圖形中找數，旨在讓學生深刻感受到形中蘊含著數，為學生理解數形結合奠定了堅實的基礎。教師及時獲取學生的信息，并對學生的信息進行了分類、分層處理，處處緊扣“數”與“形”的結合。

2.算式1+3+5+7+9+11+13對應的圖形

師：如果沿著“1+3+5+7”這個規律繼續往下想，1+3+5+7+9+11+13這個式子對應的圖形是什么樣子？

生：我是用數的方法。一共7個數相加，所以邊長是7。

師：誰理解他的意思了，到圖形上給大家數一數，7指的是哪？（學生到黑板上指圖形說明）

師：那么，1+3+5+7+9+11+13+15+17+19這個算式對應的圖形又是什么樣子？

課件驗證：

1 +3+5+7+9+11+13

師：如果1+3+5+7+9+11+13+15+17+19對應的圖形是什么？

生：對應的圖形是邊長為10的正方形。

師：為什么？

生：10個數相加。

3.小結

師：回顧我們研究的過程，我們從圖中找到數，又在數中想到了形，數與形有著緊密的關系。

評析：給算式想圖形的樣子，旨在讓學生感受數的規律也能用圖形表示出來，隨著數的個數逐漸增加，培養了學生的推理能力和空間想象能力。小結前一段的學習時，教師沒有把著力點放在“規律”的總結上，而是重點讓學生感受數與形的關系，進一步加強學生對“數中有形，形中有數”的理解與體會。

三、體會以形助數、以數解形，數形互助

1.體會以形助數

師：這個算式有什么特點？

師：省略號是什么意思？

生：省略號表示一直加下去，有無數個。

師：猜測一下和是多少？（學生有些迷茫，不知道和是多少）

評析：讓學生觀察算式特點，初步體會極限思想。給學生想象空間，讓學生猜測，激發學生的思維活力，產生了繼續探究的欲望。

學習單：

學生畫圖、交流。（略）

作品展示：線段圖、圓形、正方形。

師：通過畫圖，同學們初步獲得結論，一部分學生認為“和”等于1，一部分學生認為“和”比1小一點。那么，認為和等于1的同學是怎么想的？認為不等于1的又是怎么想的？

生：如果無限加下去不停止，空白部分就越來越小，慢慢就沒有了，也就得到“1”。

師：看來畫圖不能幫助我們解釋這個問題了。我們需要換個角度思考問題，借助數來幫助我們分析一下。

2.體會以數解形

出示：

師：從這個算式可以看出什么？

生：1可以分解為若干個分數相加，而且這些分數后一個分數是前一個分數的一半。

師：同學們可能還無法接受這個算式為什么等于1？沒關系！因為這個問題太難了，同學們到了初中、高中時還要繼續學習這個問題。今天，我們研究這個問題的目的，是在尋求它等于幾的過程中體會數和形之間的關系?；仡櫼幌挛覀儎偛诺难芯窟^程，剛開始同學們看到這樣一個算式，不知道等于幾，誰幫助同學們找到了感覺，找到了和1有關系？

生：圖形！

師：圖形幫助我們看到了：按照這樣的規律加下去，越來越接近1，甚至有的同學都想象到等于1。當圖形不能精確地表示“和”到底是等于1，還是接近1的時候，誰又幫助我們找到了準確結果？

生：數！

師：數又幫助我們通過推理找到了“和”就等于1。同學們，數和形有關系，你們覺得數和形之間有著怎樣的關系？

生：密切，你中有我、我中有你，互相幫助！

師：密切，你中有我、我中有你的本質，在于它們可以相互幫助。其實，同學們在以前的學習當中，有很多地方用到了數、形之間的幫助。

3.出示以前學習中數形互助的例子

課件出示：

評析：借助學生已有的知識經驗和學習素材，進一步感受圖形的直觀特點和數精確、精準的特點，提升對以往學習的認識高度，進一步理解、體會數形結合的好處。

師：數和形的關系非常密切，它們各有各的優勢，數和形有機結合才能更好地幫助我們解決問題。

四、深入體會“數無形時少直觀，形無數時難入微”

（出示：超市2014年銷售某種餅干的數量）

1.以形助數，解決生活中的銷售問題

課件出示：

月份：一 二 三 四 五 六 七 八 九 十十一 十二

銷量：72 62 79 68 77 69 82 71 89 89 99 105

師：這是某種餅干2014年的銷售量，超市下一年是否還繼續進貨這種餅干？

生：進吧（個別）。

師：如果把這些數據制成折線統計圖，你們再來感受一下。

課件出示：

生：進！（齊聲，堅定）因為銷售量越來越多，是上升的趨勢！

師：在解決這個問題的時候，是誰幫助了誰呢？

生：圖在幫助數！（齊答）

2.以數解形，解決生活中的運輸問題課件出示：

師：如果這樣一輛卡車，想把這個沙坑里的沙子拉走，能不能一次性把沙子全部拉完呢？我們把車廂的形狀和沙坑里的形狀提取出來，同學們判斷一下。

生：（集體沉默2、3秒鐘）不知道！老師能給我們具體數據嗎？

課件出示：車廂長2.5，寬4，高1.5；沙坑長3，寬7，深0.7。

生：能拉走！車廂的容積是15，沙坑的容積是14.7。

師：解決這個問題時，誰幫了誰？

生：數幫了形。

師：同學們思考一下，在數與形互助的過程中，數的優勢是什么？形的優勢是什么？

生：數是準確的，形一目了然。

師：“數”能更精準地表達，“形”能更直觀地表達事物。其實，華羅庚老爺爺很早就說過這樣一句話：“數缺形時少直觀，形少數時難入微。”你能理解其中的含義嗎？

生：只有數沒有形，看不出來；只有形沒有數，難算出來。

師：難算出來就是不具體，不能精確地表達！所以后面還有一句話，同學們讀一讀。

生：數形結合百般好，隔離分家萬事休。

師：對！如果把數、形分家什么事都做不來。

評析：借助生活中的兩個典型素材，再一次讓學生體會數和形各自的特點，形能直觀呈現數的抽象，數能精確描述形的模糊，深刻理解華羅庚先生關于數形結合的經典之詞。

總評：

本節課圍繞數形結合，選擇適當的教學內容，設計了一系列的數學活動，幫助學生親歷活動過程，在活動中滲透數學思想方法，積累基本活動經驗。具體如下：

1.利用學生的好奇心，激發學習興趣

本節課開始部分，教師引導學生回顧數學學習的重要內容“數與代數”和“幾何圖形”，進而抽象出“數”與“形”。因為學生學習這兩個領域時是分別進行的，很少有學生能夠把兩者聯系起來，這與學生的思維習慣形成了強烈的矛盾反差，于是引發了學生的好奇心，激發了學生思考的興趣。

2.整體把握教學內容，凸顯數形結合的思想

本節課安排了兩個例題，例1引導學生從圖形中發現“數”，通過數想象圖形，凸顯“形中有數”“數中有形”的關系。例2引導學生利用圖形解決計算問題，以及“以數解形”的妙處，進一步體會“數形互助”的關系。教學中教師還補充了大量數形結合的實例，如統計圖描述數據，數據描述沙坑、車廂的大小等。這些素材很好地詮釋了華羅庚先生所說：“數缺形時少直觀，形少數時難入微；數形結合百般好，隔離分家萬事休。”

3.核心活動設計為學生積累了數學思考經驗

本節課通過兩個核心活動，一是讓學生看圖寫數，看數想形；二是讓學生借助圖形和數的推理來完成計算。在這兩個活動中，每個學生有自己獨立思考的空間和時間，不斷經歷觀察、猜測、抽象、概括的過程，還經歷了想象、推理、解釋的過程。在組織學生匯報交流中，教師也給予每個學生展示思維過程的權利，促進了學生活動經驗的不斷提升。

4.教師尊重學生，促進了辯證唯物主義世界觀的形成

教學中教師尊重學生的思維習慣和現狀，允許學生對極限思想的暫時不理解。引導學生從“以形助數”和“以數解形”兩個側面體會“數形結合”的思想，并把這種觀點延伸到自然界中事物之間的聯系，有效地促進了學生用辯證唯物主義觀點看待事物的思想方法的形成。