不等式恒成立問題的求解方法探析

黃秋蘭（江西省南昌市第十六中學）

不等式恒成立問題的求解方法探析

黃秋蘭
（江西省南昌市第十六中學）

恒成立問題是高中數學中的一個熱點，而不等式恒成立問題更是高考的重點.不等式恒成立問題把數學中有關不等式、函數、三角、幾何、數列、導數等內容有機地結合，其既具綜合性較強，覆蓋知識點多，解題方法靈活等特點，又能有效地考核對所蘊涵數學思想和方法的掌握.但學生遇到這類問題時，卻較難找到解題的切入點和突破口，因此它也是教學的難點.

不等式；恒成立；函數

本文通過結合實例來探析解決這類問題的常用策略以及數學思想方法.

一、變量分離法

對于一些含參數的不等式問題，通過將不等式同解變形，使不等式中的變量和參數分離，再通過求函數的值域的方法將問題化歸為解關于參數的不等式的問題.

例1.若對于任意角總有sin2θ+2m cosθ+4m-1＜0成立，求m的取值范圍.

解析：此式是可分離變量型，由原不等式得2m（cosθ+2）＜cos2θ，又cosθ+2＞0，則原不等式等價變形為恒成立.因此，2m必須小于的最小值，這樣問題化歸為怎樣求的最小值.因為

即cosθ=0時，有最小值為0，故m＜0.

一般地，若f（a）≥g（x）恒成立，只須求出g（x）max，則f（a）≥g（x）max，（若f（a）≤g（x）恒成立，只須求出g（x）min，則f（a）≤g（x）min），然后解不等式求出參數a的取值范圍，問題關鍵還是轉化為函數求最值.

二、主元變更法

在解決某些含參數不等式恒成立問題時，應克服思維的定勢和認識上的習慣，常量與變量是相對的，在主元與參量交織在一起時，要敏銳地捕捉到主元，建立關于主元的函數.

例4.對于滿足0≤p≤4的一切實數p，不等式x2+px＞4x+p-3恒成立，求x的取值范圍.

分析：我們的學生習慣上把x當作自變量，若記函數y=x2+ （p-4）x+3-p，于是問題轉化為當p∈［0，4］時y＞0恒成立，求x的范圍.解決這個問題常需要應用二次函數以及二次方程實根分布原理，這就復雜了.但若能把x與p兩個量互換一下角色，即p視為變量，x為常量，則上述問題可轉化為在［0，4］內關于p的一次函數大于0恒成立的問題，問題就簡化了.

解：設f（p）=（x-1）p+x2-4x+3，當x=1時顯然不滿足題意.

由題設知當0≤p≤4時f（p）＞0恒成立，f（0）＞0，f（4）＞0即x2-4x+3＞0且x2-1＞0，解得x＞3 或x＜-1.x的取值范圍為x＞3或x＜-1.

三、數形結合法

我國著名的數學家華羅庚曾說過：“數缺形時少直觀，形缺數時難入微.”這充分說明了數形結合思想的妙處.在不等式恒成立問題中利用數形結合同樣有重要意義.將不等式兩端的式子分別看作兩個函數，且正確作出兩個函數的圖象，

因此，當前物理教學仍應重視實驗教學，加強實驗教學。

1.教導學生對物理現象進行觀察和分析

在觀察某一個物理現象時，教師要引導學生觀察這一現象產生的條件，要對相似實驗進行對比。例如，在開展摩擦起電的現象時，要讓學生重點關注以下幾點：（1）頭發摩擦過的塑料尺對小碎紙產生什么效果？（2）用頭發摩擦過的兩把塑料尺相互靠近時，會有何種現象？（3）分別用毛皮摩擦過的橡膠棒和用絲綢摩擦過的玻璃棒相互靠近時，又會產生怎樣的現象？通過分析對比，學生會明白摩擦起電的實質。不少學生通過實驗觀察，不但了解了教師教學的重點，加深了對實驗現象的理解，同時也加強了觀察力。

2.通過物理實驗，培養學生動手動腦的能力

在物理實驗教學中，要注重學生實驗技能的培養，加強學生的動手能力。開展實驗教學前，教師首先講解相關實驗的理論知識，講述實驗儀器的正確使用方法，強調實驗儀器的使用注意事項，講解讀數、計數的方法，幫助學生高效準確地完成實驗，得到正確的實驗結果。例如，在使用螺旋測微器測量小球直徑時，教師要強調螺旋測微器調零操作，避免學生因為調零不準而造成讀數錯誤。另外，教師還應反復讀數原理，加強學生的讀數練習，防止學生不明讀數規則而錯讀。通過多次實驗，學生可以掌握基本的實驗技巧，具備動手操作的能力，打好實驗基礎。通過實驗，學生不僅學習到了實驗技巧，同時鍛煉了動腦思考實驗現象的能力。

3.通過物理現象，加強學生的分析能力

物理實驗不僅可以加強學生對理論知識的掌握，同時也能促進學生分析案例和解決實際相關問題的能力。例如，在利用實驗引入重力加速度時，細心的同學會觀察到，金屬球和紙片在同一高度自由下落時，金屬球先著地；但兩個質量相差很大的金屬球在同一高度自由下落時，兩球同時著地。此時，問題就產生了，為什么會有這樣的現象？學生就會通過所學知識加以分析，原來紙片在空氣中受到的阻力較大，因而后著地。在此過程中，學生對這個現象加以分析，產生疑惑，并通過對比，最終得出結果。這一系列過程，學生不僅培養了分析能力，同時也加強了解決問題的能力。

總之，物理是一門以進行實驗和觀察現象為重中之重的學科。在實際教學過程中，物理教師應當合理利用這一特殊優勢，引導學生積極主動地參與到物理實驗教學中。通過物理實驗，激發學生學習的熱情和積極性，培養學生動手動腦、合作交流的能力，讓學生在學習中產生樂趣，加深學生對知識的理解。

王能宏.如何提高初中物理實驗教學的有效性［J］.新課程學習：中，2011（5）.

·編輯李琴芳