由一道高考題談解析幾何問題“代數化”的策略

蘇懷堂（北京市第二中學亦莊學校）

由一道高考題談解析幾何問題“代數化”的策略

蘇懷堂
（北京市第二中學亦莊學校）

解析幾何作為高中數學知識的重要組成部分，也是重要的高考高頻考點之一。解析幾何的核心思想是坐標法，即用代數方法研究幾何圖形的性質。因此，解決解析幾何問題的首要任務是將問題代數化，即用坐標和方程表示問題中涉及的幾何元素。本文將通過一道高考題的解析，探討解析幾何問題的“代數化”的策略。

（Ⅰ）當點B是W的右頂點，且四邊形OABC為菱形時，求此菱形的面積；

（Ⅱ）當點B不是W的頂點時，判斷四邊形OABC是否可能為菱形，并說明理由。

一、問題分析

本題要研究圖形的幾何性質是“是否為菱形”，因此要解決好如下幾個問題：第一，菱形的判定定理有哪些；第二，本題應選擇什么定理；第三，如何代數化“所選定理”。

菱形的判定定理有：①四邊相等；②對角線互相垂直平分；③鄰邊相等的平行四邊形。

判定定理的選擇：①、③均需將距離代數化，而②只需代數化垂直平分，易知，選擇第二個計算更簡便，因此首先考慮“對角線互相垂直平分”。

代數化“對角線互相垂直平分”：如果代數化AC、OB互相平分，則需要O，A，B，C四點坐標分別表示AC、OB的中點，而代數化AC⊥OB，則需要直線AC、OB的斜率或向量的坐標。由此可知，直線AC方程、點B及直線OB方程三者知其一，就可將其他所有量代數化，因此就有了如下的方法一、二、三。

二、解法賞析

方法一：

∵點B不是W的頂點

∴直線AC斜率存在且不為0

設AC的方程為y=kx+m（k≠0，m≠0）

設A（x1，y1），C（x2，y2），

所以四邊形OABC不是菱形

所以當點B不是W的頂點時，四邊形OABC不可能是菱形。

方法二：設B（x0，y0），x0≠0且y0≠0，則OB的中點坐標為

其判別式Δ＞0恒成立

設A（x1，y1），C（x2，y2），則

所以四邊形ABCD不可能為菱形

方法三：假設四邊形OABC是菱形，則AC⊥OB

因為點B不是W的頂點，所以直線OB的斜率存在且不為0

設直線OB的方程為y=kx（k≠0）

又∵AC⊥OB

∵直線AC與橢圓W有兩個不同的交點

∴Δ=64k2m2-16（k2+4）（k2m2-k2）=16k2（k2-k2m2+4）＞0，

設點A、C坐標分別為（x1，y1），（x2，y2），則

化簡得1=4，這與1≠4矛盾

所以四邊形OABC不是菱形

方法四：

則A，C兩點為圓x2+y2=r2與橢圓的交點

所以A，C兩點的橫坐標相等或互為相反數。

因為點B在W上

若A，C兩點的橫坐標相等，點B應為橢圓的左頂點或右頂點。不合題意。

若A，C兩點的橫坐標互為相反數，點B應為橢圓的上頂點或下頂點。不合題意。

所以四邊形OABC不可能為菱形。

三、總結歸納

坐標化的一般方式有兩種：第一，直接設點坐標，然后坐標化相關問題；第二，設直線方程，通過聯立方程表示坐標，然后再進行坐標化。一般的，若直線與橢圓相交，且需要兩點坐標，則更多地選擇設直線方程；若直線與橢圓相交，而只需要其中一點，則更多地選擇設該點坐標。另外，從方法四可知，幾何性質研究得越充分，計算就會越簡單！

李鐵安，宋乃慶.高中解析幾何教學策略：數學史的視角［J］.數學教育學報，2007（2）.

·編輯張珍珍