適合極端深水的雙層高階Boussinesq水波方程

劉忠波，房克照，孫昭晨

(1.大連海事大學 交通運輸管理學院，遼寧 大連 116026； 2.大連理工大學 海岸和近海工程國家重點實驗室，遼寧 大連 116023；3.長沙理工大學 水沙科學與水災害防治湖南省重點實驗室，湖南 長沙 410076)

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適合極端深水的雙層高階Boussinesq水波方程

劉忠波1,2,3，房克照2，孫昭晨2

(1.大連海事大學 交通運輸管理學院，遼寧 大連 116026； 2.大連理工大學 海岸和近海工程國家重點實驗室，遼寧 大連 116023；3.長沙理工大學 水沙科學與水災害防治湖南省重點實驗室，湖南 長沙 410076)

為精確描述深水強非線性波浪運動，本文推導了適用于極端水深、具有高精度色散和非線性特征的雙層Boussinesq水波方程。首先把流體虛擬地劃分為上下兩層，對上下兩層的速度勢分別在靜水面處和交界面處沿水深做泰勒展開，任一點速度可用此兩處速度表達；其次在兩層流體的中間水深位置上選擇速度變量，進一步用兩個計算水平速度矢量和兩個垂向速度分量取代它們，依此速度表達流場內任一水深處的速度；最后結合自由表面的運動學方程和動力學方程、交界面上速度相等以及海底邊界條件，推導了雙層高階Boussinesq水波方程。對該方程進行傅立葉分析，方程色散關系式為Padé(18,20)，當分層位置為0.12倍靜水深時，該方程具有非常優良的線性和非線性性能。在1%誤差下，相速度適用水深可達kh=210，沿水深的速度剖面分布最大適用水深可達kh=114，二階和差頻最大適用水深可達kh=103。

Boussinesq水波方程；計算速度；色散性；非線性；和差頻；速度剖面

網絡出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/23.1390.u.20160704.1436.006.html

自1999年起開始出現具有強色散性和非線性的Boussinesq水波方程以來，Agnon等首次將非線性和色散性分離，實現了非線性也可以適用于kh=6(k為波數，h為水深)的情況[1]。然而此方程速度剖面精度不高，Madsen和他的合作者們開展了一系列開創性的學術研究。Madsen等導出的方程具有優良的色散性、非線性等特征，在1%誤差下，該方程的色散適用最大水深為kh=40，非線性特征(和頻、差頻和二階非線性)可以適合kh=25.2的水深，沿水深的速度分布適用水深約為kh=10[2-4]。為避免求解空間5次導數的難度，一些學者推導了最高空間導數為3階的方程[5-10]，如Lynette和Liu等采用對水體進行虛擬分層，推導了2-4層Boussinesq水波方程，4層模型色散適用水深可達到30左右[6]。 雖然Madsen等導出的Boussinesq方程是最具代表性的[2-4]，但其速度剖面精度不高。為了要改善這一方面性能，開展了適合極端水深的雙層Boussinesq水波方程理論研究工作。

1　雙層Boussinesq方程的理論推導

以靜水面為坐標橫軸，z軸鉛垂向上。考慮水深h為常數，將整個流體分成兩層，交界面位于z=-h1處，其也是一常數。在考慮流體無旋、無粘情況下，上下兩層流體存在速度勢Φ和ψ[7-9]，兩個速度勢滿足Laplace方程。

1.1控制方程

上部流體存在自由波面，在自由面上滿足連續性條件及動力學邊界條件，控制方程為[1-3]

(1)

(2)

(3)

式中:η為波面升高，uη和wη在自由水面上水平速度矢量和垂直分量，水平梯度算子)。

流體內，速度勢滿足：

(4)

(5)

交界面上滿足：

(6)

在海底邊界z= -h上，速度勢ψ滿足：

(7)

1.2基于z= zα處速度(uα，wα)和z= zβ處速度(uβ，wβ)的表達形式

將速度勢Φ做關于水深z的泰勒展開[2-3]，將其分解成為水平速度勢與垂直變量z的乘積，將其代入方程(4)，并利用靜水面處速度(u10, w10)信息可確定上部流體任意水深處的速度；類似地處理下部流體ψ，對其關于(z+h1)做泰勒展開[7-9]，并利用式(6)，將下部流體速度與交界面處下部流體的速度(u20, w20)相關聯，最終可以得到

(8)

(9)

(10)

(11)

其中,x=(x, y),cos和sin運算符為泰勒展開：

(12)

根據表達式(8)～(11)，在z = zα(zα=-αh)和z= zβ(zβ=-βh)的速度可寫為

(13)

(14)

(15)

(16)

任意水深處的速度可用兩個特定位置處的速度信息表示，即

(17)

(18)

(19)

(20)

在兩層流體交接面處滿足:

(21)

(22)

在水底處滿足:

(23)

注意到本文研究限于常水深情況，故在以上所有替換過程中，表達式中不含水深導數。

為便于后文推導和數值求解的可能性，將任意水深處速度對應于cos和sin運算符均取前3項，即表達式中的無窮大取值為2。Madsen等研究表明用截斷泰勒展開的方式不足以在很大程度上提高方程的色散精度[2-3]，為此本文也將在1.2節中的兩個速度轉換成為計算速度，速度之間的關系表示如下:

(24)

(25)

根據Agnon等和Madsen等的研究結果[1-3]，當截斷項為3時，系數取值為

(26)

當截斷項為2時，系數取值為

(27)

將式(24)代入式(17)～(20),上部水體任意點處的速度表達為

(28)

(29)

下部水體任一點速度的表達為

(30)

(31)

其中系數取值為

在交界面處，有

(32)

(33)

以上方程中的系數中是將z=-h1代入即可。方程(32)和(33)右端表明下部流體的速度表達式是Padé逼近型，但左端均不是，因此必須對上部流體對照的zα予以特定設置，即

(34)

為避免類似Madsen等[2]處理海底邊界時采用的一個M算子，本文將zβ設定在下部流體的中間部分，即

(35)

對應的海底邊界條件為

(36)

式(36)中的系數中的z取值為-h。

自由面處的速度及靜水面上的速度表達形式為

(37)

(38)

(39)

(40)

方程(1)、(2)和連接處方程(32)和(33)、海底處方程(36)以及(37)～(40)構成本文的雙層高階Boussinesq水波方程，以下簡稱模型1。該模型是對Madsen等給出的單層高階Boussinesq水波方程的拓展[2]。模型1對應著sin和cos截斷項均是3項的情況，當截斷項為2時，則可忽略所有速度表達式中3次以上的導數項，此時表達式(30)～(31)中的系數取值為

此模型以下簡稱為模型2。

2　Boussinesq方程性能的理論分析

下面研究方程在色散性、非線性(波-波相互作用的和差頻)以及速度沿垂向上的分布等方面的性能。

2.1色散性

忽略方程的非線性，方程(1)、(2)、(32)～(34)、(37)～(40)可寫為

(41)

(42)

優化方程的色散性是通過以下過程實現的：從0到指定水深范圍內將方程的相速度與線性解析解的均方誤差和累加，使其取最小值，從而確定參數α的取值，即采用式(43)的誤差最小時對應的參數值。

(43)

當κ0=100時，可以優化出來α=0.059 6，近似地取α=0.06，此時水深h1=0.12h。我們也將α為0.1、0.25對應相速度的計算結果一并繪制在圖1中。

圖1　模型1的相速度Fig.1　Phase celerity of model 1

由圖1可見，當α=0.06時，1%誤差對應著的最大水深kh=210。同樣地對模型2也進行了優化，取κ0=25時，參數值為0.121 6，近似地取α=0.12，分層水深h1=0.24h，方程的相速度見圖2，1%相速度誤差對應著的kh=48。以上表明模型1和模型2均有很高的色散精度。

圖2　模型2的相速度Fig.2　Phase celerity of model 2

2.2速度剖面

模型1沿水深的水平與垂直速度分量與解析解的比較見圖3。由圖可見，速度與解析解吻合程度良好。為分析沿水體垂向的速度誤差，我們采用Madsen等給出的表達式[2]：

(44)

用式(44)定義計算出來的速度誤差見圖4.1%誤差下，水平和垂直速度適用水深kh分別是114和119，這表明提高了方程的色散精度，速度沿水深分布的特征也十分精確。沿垂向水深上，模型2水平與垂直速度分量與解析解的對比在圖5中給出，相應的誤差見圖6。由圖可見，1%誤差下，Fu和Fw適用水深kh均是19.2。

圖3　模型1的速度剖面(實線代表理論解, 虛線代表模型1)　　　　　Fig.3　Vertical profile of velocities for model 1(solid line is for analytical solution, and dash line is for model 1)

圖4　模型1的速度誤差Fig.4　Velocity errors of model 1

圖5　模型2的速度剖面(實線代表理論解,虛線代表模型2)　　　　　　Fig.5　Vertical profile of velocities for model 2(solid line is for analytical solution, and dash line is for model 2)

圖6　模型2的速度誤差Fig.6　Velocity errors of model 2

2.3波-波相互作用的和差頻

準確再現非線性波-波相互作用的演化過程，闡釋非線性波-波相互作用機理，勢必要求數學模型除了優秀的色散性外，還應具備良好的和差頻性能。一般來說，將方程關于波-波相互作用和差頻的理論計算結果與相關解析解結果進行比較，來考察各類Boussinesq方程的非線性性能[1-3,5,8-9]。

圖7和圖8中分別給出了模型1的參數取值α=0.06和模型2中α取值0.12的計算結果。由圖可見，模型1也具有極佳的非線性性能，1%誤差下和差頻的最大適用水深kh分別為140、103。1%誤差下模型2和差頻的適用水深kh分別是35、28。

圖7　模型1的和差頻Fig.7　Super-and sub-harmonics of model 1

圖8　模型2的和差頻Fig.8　Super-and sub-harmonics of model 2

2.4比較分析

將本文方程在相速度、沿水深分布的速度、和差頻等3方面性能與Madsen等的方程[2-3]、Lynett和Liu[6]的4層模型的加以比較，并匯總于表1，由表可見，模型1具有無比優良的色散性和非線性特征。

1)模型1比Madsen等模型(高階)的速度分布特征更勝一籌，這是因為前者多引入一層的速度信息。多1層信息使得方程的解更能接近Laplace理想解，因而對應方程的色散性和非線性精度也大幅度提高。Agnon等成功分離非線性與線性，推導出來的方程非線性與色散性一樣達到很高的精度[1]；Madsen等在Agnon等研究基礎上，實現了色散性和非線性精度的突破[2-3]；本文在Madsen等研究基礎上，采用了分層的理念，最終實現了在色散和非線性等性能方面質的飛躍，特別是速度分布適用范圍更大，其是Madsen等方程的11.4倍。

2)與模型Madsen等、Lynett和Liu[6]的4層模型相比，模型2在線性和非線性等性能更好，這是因為Madsen等模型色散關系式是Padé(8, 10)，模型2是Padé(10, 12)，而Lynett和Liu[6]的則是Padé(8, 8)。Lynett和Liu的4層模型水平速度為二次表達式，垂向速度是線性分段的，而本文模型2的水平速度和垂向速度均是互耦的，最高次均是3次，因而垂向速度和水平速度的精度都很高。在展開過程中，必須保證垂直速度和水平速度展開項是互耦才能提高方程的性能。而傳統Boussinesq方程推導過程中將垂向速度用低階的水平速度來表達，這導致垂向精度都不如水平速度的精度高。

3)模型1、2均含9個變量(水平速度矢量看成1)，差別在于模型1含高階項，其是導致模型1具備更優良性能的主因，但這給數值求解帶來了巨大挑戰；而模型2最高空間導數是3次，更便于數值計算。

表1　表1不同模型最大適用水深比較(1%誤差內)

3　結論

從Laplace控制方程出發，推導出了兩組適合極端深水的雙層Boussinesq水波方程，并對模型進行了理論分析，研究結果表明：

1)雙層Boussinesq水波方程的線性、非線性性能在更大范圍內與解析解較為吻合，且超過了Madsen等學者的單層模型的水深適用范圍，這說明雙層概念的引入來拓展Boussinesq適用性是非常有效的。

2)雙層Boussinesq水波方程的速度適用范圍大約是單層模型的5倍左右，雙層概念的引入促使方程具備更佳的速度剖面特性，這說明雙層模型的速度更逼近于解析解。

以上兩點也說明，若將水體分成更多層，則方程在線性和非線性等方面的精度將會進一步提高。此外，本文模型針對常水深情況導出的，下一步將對方程進行拓展，使其適于變水深情況。

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本文引用格式：

劉忠波，房克照，孫昭晨. 適合極端深水的雙層高階Boussinesq水波方程[J]. 哈爾濱工程大學學報, 2016, 37(8): 997-1002.

LIU Zhongbo,FANG Kezhao , SUN Zhaochen. Two-layer high-order Boussinesq model for water waves in extremely deep water[J]. Journal of Harbin Engineering University, 2016, 37(8): 997-1002.

Two-layer high-order Boussinesq model for water waves in extremely deep water

LIU Zhongbo1,2, 3,FANG Kezhao2, SUN Zhaochen2

(1. Transportation Management College, Dalian Maritime University, Dalian 116026, China; 2. State Key Laboratory of Coastal and Offshore Engineering, Dalian University of Technology Dalian, 116024, China; 3. Key Laboratory of Water & Sediment Science and Water Hazard Prevention of Hunan Province, Changsha University of Technology, Changsha, 410114, China)

To accurately describe strongly nonlinear wave motion in deep water, a new two-layer Boussinesq model for water waves is derived in this paper with excellent dispersive and nonlinear properties in extremely deep water. First, we separated the fluid into two parts: the upper layer and lower layer. Then, using Taylor expansion, we expanded the velocity potential in the vertical direction at the still water surface and interface, and the velocity at arbitrary water depths can be expressed by the velocities defined atz=0 andz=-h1, respectively. Second, we replaced these two velocities defined at z=0 andz=-h1with two velocities defined at midwater depths within the two layers, which were further replaced by two computational velocities. Then, other velocities at arbitrary water depths could be expressed by these computational velocities. Finally, by applying this velocity information to dynamic and kinematic equations at the surface elevation to the velocity connection condition atz=-h1and to the bottom condition, we derived a two-layer Boussinesq model. A Fourier analysis is conducted to this model, and the linear dispersion expression is Padé (18, 20). Moreover, when the interface water depth is set toh1= 0.12h, the model exhibits extremely dispersive and highly nonlinear properties. Within 1% error, the model can be applicable to maximum water depthskh=210 for phase celerity,kh=114 for vertical profile of the velocities, andkh=103 for super-and sub-harmonics.

Boussinesq wave equations; computational velocity; dispersion; nonlinearity; super-and sub-harmonics; velocity profile

2016-03-18.網絡出版日期：2016-07-04.

國家自然科學基金項目(51579034)；遼寧省教育廳科學研究一般項目(2015062)；水沙科學與水災害防治湖南省重點實驗室開放基金項目(2015SS01)；中央高校基本科研業務費專項資金(3132016052).

劉忠波(1976-), 男, 副教授，博士；

孫昭晨(1960-)，男，教授，博士生導師.

劉忠波,E-mail: zhongbo_liu1976@163.com.

10.11990/jheu.201603065

O353.2

A

1006-7043(2016)08-0997-06