微積分基本定理教學(xué)新探

王興良

摘 要： 為使學(xué)生更好地理解微積分基本定理，作者采用發(fā)現(xiàn)式教學(xué)法并結(jié)合數(shù)學(xué)史相關(guān)內(nèi)容，按照觀察、得到結(jié)論、猜想、歷史溯源、微積分基本定理的表述、微積分基本定理意義、微積分基本定理應(yīng)用等七個(gè)方面講述，以期達(dá)到教學(xué)的趣味性、直觀性、自然性、合理性、通俗性、有效性、深刻性的結(jié)合與統(tǒng)一.

關(guān)鍵詞： 微積分基本定理 數(shù)學(xué)史 發(fā)現(xiàn)式教學(xué)法

定積分作為一種和式的極限按照極限計(jì)算的方法求值是十分困難的.即使對(duì)于最簡(jiǎn)單的函數(shù)，按照定積分定義計(jì)算和式極限也是困難和復(fù)雜的，因此必須找到計(jì)算定積分和式極限的一般方法.在17世紀(jì)后期，兩位天才的數(shù)學(xué)家牛頓和萊布尼茲分別找到了計(jì)算方法——微積分基本定理.正是由于微積分基本定理的發(fā)現(xiàn)，才誕生了對(duì)近代社會(huì)產(chǎn)生巨大影響的微積分.

教學(xué)中可通過兩個(gè)特殊的例子，引導(dǎo)學(xué)生猜想.

一、觀察

1669年，牛頓在他的朋友中散發(fā)了題為《運(yùn)用無窮多項(xiàng)方程的分析學(xué)》的小冊(cè)子.其中，牛頓不僅給出了求一個(gè)變量對(duì)于另一個(gè)變量的瞬時(shí)變化率的一般方法，而且證明了面積可以由變化率的逆過程得到.因?yàn)槊娣e也是用無窮小面積的和來表示從而獲得的，所以牛頓證明了這樣的和能由求變化率的逆過程得到，這個(gè)事實(shí)就是我們現(xiàn)在所講的微積分基本定理.在1675年11月的一篇手稿中，萊布尼茲已深刻認(rèn)識(shí)到？蘩與d的互逆關(guān)系，在筆記中斷言：作為求和過程的積分是微分的逆.實(shí)際上已初步給出了微積分基本定理，在1686年萊布尼茲在《博學(xué)學(xué)報(bào)》上發(fā)表了微積分歷史上第一篇積分學(xué)論文《深?yuàn)W的幾何與不可分量及無限的分析》，論述了積分與微分的互逆關(guān)系.

五、微積分基本定理的表述

微積分的基本定理是牛頓、萊布尼茲發(fā)現(xiàn)的，但都沒有給出嚴(yán)格的證明.事實(shí)上在當(dāng)時(shí)的歷史條件下，也不可能給出嚴(yán)格的證明.關(guān)于微積分基本定理的嚴(yán)格證明及表述直到一百多年后，才由柯西（Augustin Lonis Cauchy ， 1789—1857）完成.數(shù)學(xué)知識(shí)的形成與發(fā)展是一種漸進(jìn)累積但不是線性發(fā)展的過程.

六、微積分基本定理的應(yīng)用

牛頓-萊布尼茨公式給出了計(jì)算定積分無窮和的一般方法，對(duì)某些無窮和的極限也可考慮將其轉(zhuǎn)換為積分和，再利用牛頓-萊布尼茨公式計(jì)算.由于定積分計(jì)算轉(zhuǎn)化為了不定積分運(yùn)算，不定積分的運(yùn)算法則也可轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的定積分運(yùn)算法則.但在應(yīng)用微積分基本定理時(shí)要特別注意適用條件——被積函數(shù)在積分區(qū)間上連續(xù).

七、結(jié)語

高等數(shù)學(xué)的教學(xué)改革無論是在理論層面還是在實(shí)踐層面都有許多問題沒有解決.本文對(duì)微積分基本定理的教學(xué)做了一些教學(xué)探索，希望對(duì)廣大教師有所啟迪.

參考文獻(xiàn)：

[1]杜瑞芝.數(shù)學(xué)史辭典[M].山東：山東教育出版社，2000.