海洋垂直重力梯度異常的計算及其在地形反演中的應用

歐陽明達 　孫中苗　翟振和　劉曉剛

1　地理信息工程國家重點實驗室，西安市雁塔路中段1號，710054 2　西安測繪信息技術總站，西安市西影路36號，710054 3　西安測繪研究所，西安市雁塔路中段1號，710054

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海洋垂直重力梯度異常的計算及其在地形反演中的應用

歐陽明達1,2孫中苗1,3翟振和1,3劉曉剛1,3

1地理信息工程國家重點實驗室，西安市雁塔路中段1號，710054 2西安測繪信息技術總站，西安市西影路36號，710054 3西安測繪研究所，西安市雁塔路中段1號，710054

將測高重力異常、局部大地水準面和垂線偏差作為輸入數據，計算海洋垂直重力梯度異常。以中西太平洋海域作為研究對象，對垂直重力梯度異常和海底地形的相關性進行分析，在20～200 km波段范圍內利用梯度異常推估海底地形。結果表明，反演地形的相對精度在7.14%左右，在多海山地區精度較差。

垂直重力梯度異常；海底地形；導納理論；重力異常

海底地形反演計算多基于空間重力場和深度數據在一定波段內高度相關的理論。Wang[1]提出可以采用垂直重力梯度異常進行海底地形反演，以得到獨立于重力異常的海底地形模型。Wessel等[2]認為，垂直重力梯度異常能夠放大短波信號，抑制長波信號，Moho面以下的密度差異和巖石圈有效彈性厚度等參數對海面垂直重力梯度異常的影響遠小于對大地水準面和重力異常的影響。吳云孫等[3]將基于頻域向下延拓的方法應用于垂直重力梯度異常反演南中國海海底地形模型的計算中，但結果并不理想。Kim等[4]在橢圓形海山模型假設的基礎上，利用垂直重力梯度異常和非線性反演方法對全球的海山分布進行研究。胡敏章等[5]基于高斯海山模型，采用垂直重力梯度異常反演海底地形，并研究了地殼密度、巖石圈有效彈性厚度及截斷波長對反演結果的影響，通過實測數據得到了高分辨率、高精度的海深模型。之后，胡敏章等[6]給出了垂直重力梯度異常和海底地形起伏之間的函數關系，并通過研究地殼均衡現象和高次項的影響量級發現，垂直重力梯度異常在中短波段(100～200 km)表現較優，并據此聯合垂直重力梯度異常和船測海深數據，構建全球75°S～70°N的1′×1′海底地形模型。

本文利用衛星測高重力異常、大地水準面和垂線偏差計算垂直重力梯度異常，基于垂直重力梯度異常和海底地形的導納關系，將中西太平洋海域作為研究對象，開展地形反演計算。考慮到垂直重力梯度異常具有放大短波信號的效果，引入低通/高通濾波器進行抑制。

1　基本原理

垂直重力梯度?g/?h分為正常和異常兩個部分:

(1)

式中，γ為正常重力，Δg為重力異常。異常部分的計算有以下3種方法。

1)利用空間重力異常Δg表示：

(2)

式中，R為地球平均半徑，θ′為計算點元P和流動點元的地心余緯，λ′為地心經度，Δg為P點的重力異常，l為計算點元P(R,θ,λ)到流動點元的距離。

2)利用局部大地水準面N表示：

(3)

式中，G為全球平均重力值，N為大地水準面起伏，φ為計算點的地心緯度(φ=π/2-θ)。該方程以大地水準面起伏N的一階、二階水平方向導數表示。

3)利用垂線偏差的子午分量ξ和卯酉分量η表示：

(4)

式中，|2GN/R2|≤0.05 E，可以忽略。

以115°～119°E、13°～17°N海域為例，利用已有模型計算垂直重力梯度異常，使用到的輸入數據包括：1)重力異常，DTU10GRAV模型，1′分辨率；2)大地水準面，利用DTU10MSS(平均海水面)和DTU10MDT(瞬時海面地形)模型得到，1′分辨率。3)垂線偏差，IGG2006_DOV模型，2′分辨率。

式(2)中，被積函數隨距離的增加而迅速減少，只需將積分擴展到計算點的鄰近即可[7]，令重力異常積分半徑為500 km；式(3)中，令計算點周圍10′×10′的大地水準面數據作為起算；式(4)中，令計算點周圍5′×5′的垂線偏差作為起算。圖1給出了利用重力異常計算的垂直重力梯度異常模型，其反映了中高頻的海底地形信息，突出的海山、寬闊的海底平原等反映出了明顯的地形特征。

圖1　SIO垂直重力梯度異常模型Fig.1　The gravity gradient anomalies model published by SIO

將本文反演模型與斯克里普斯海洋研究所(SIO)發布的垂直重力梯度異常進行比較。將采用式(2)～(4)計算的梯度異常模型分別定義為模型1、模型2和模型3。表1給出了垂直重力梯度異常模型與SIO發布的異常模型的差異。大地水準面反映的是重力場長波特性(更平滑)，垂線偏差反映的波長也大于空間重力異常，表1中結果的不同精度對應不同重力場數據反映的梯度異常波長段信息，波長越長，精度越差，對梯度異常模型的貢獻就越小；波長越短，垂直重力梯度異常模型越精細，精度越高，對梯度異常模型的貢獻越大。模型比較結果的中誤差在±11.747 E內，采用大地水準面數據得到的異常模型精度較低，采用重力異常數據得到的異常模型精度較高，且僅耗時4 min左右。

表1　垂直重力梯度異常與SIO模型的差異

2　海底地形/梯度異常導納及相關性分析

胡敏章等[6]給出了頻率域內垂直重力梯度異常和海底地形之間的響應函數關系式：

(5)

(6)

式中，g為平均重力加速度，D為巖石圈的撓曲剛度，其與巖石圈的有效彈性厚度Te有關：

(7)

式中，υ為巖石圈的泊松比，E為彈性模量。

r的最小二乘解可以寫為：

(8)

圖2為垂直重力梯度異常和海底地形的相關關系圖。可以看出，在波長段30～500 km，兩者的相關關系大于0.5(本文反演波長段在20～200 km)。顧及地殼均衡導納的影響會增加計算量，但不會提高計算精度[6]，因此，本文在構建海底地形模型時，不考慮地殼均衡的影響。

圖2　垂直重力梯度異常與海底地形的關系Fig.2　The correlation between the bathymetry and gravity gradient anomalies

3　結果及討論

3.1計算過程

以中西太平洋海域為研究對象，其上分布有眾多的海山、海丘，經緯度范圍為150°～170°E、10°～18°N。海域內的船測水深分布見圖3，垂直重力梯度異常見圖4。梯度異常模型由測高重力異常算得，由于部分點位的船測水深存在粗差，因而必須先進行粗差剔除。將剔除粗差后剩余船測點的2/3作為水深控制點，1/3作為檢核點，控制點和檢核點不重復，且在海域內均勻分布。垂直重力梯度異常衰減過快，在20～200 km波段內對地形信息敏感。圖5為垂直重力梯度異常法的計算流程，構建步驟如下。

圖3　船測航跡Fig.3　Distribution of shipborne tracks

圖4　垂直重力梯度異常Fig.4　The vertical gravity gradient anomalies

圖5　垂直重力梯度異常法計算流程圖Fig.5　The bathymetry predicting procedure

1)將船測水深數據格網化，采用低通濾波得到大于200 km波長的長波海底地形。重力異常經20～200 km的帶通濾波、向下延拓等處理后，獲得反演波段內的垂直重力梯度異常。

2)比例因子通過離散船測點確定。在船測點上對長波海底地形內插計算后，從實測水深值中減去此長波值，得到船測點上的殘余海深。在船測點上對反演波段內的垂直重力梯度異常模型內插計算，得到離散的殘余梯度異常值。離散的殘余海深和殘余梯度異常值之比即為比例因子，剔除其中的粗差，并將其格網化，即可得到比例因子格網(圖6)。比例因子格網的確定是該方法的關鍵，其受離散船測點數量和分布等的影響較大。

圖6　比例因子Fig.6　The proportion factors

3)比例因子格網與反演波段內的垂直重力梯度異常之積即為殘余的海深格網，將長波海底地形和殘余海深格網疊加得到海底地形(圖7)。

圖7　海底地形模型Fig.7　The bathymetry model

3.2精度評定

表2給出了本文反演模型與ETOPO1、GEBCO、SIO和GINA模型的精度統計結果。可以看出，采用垂直重力梯度方法得到的反演模型精度略低。表3給出了反演模型在不同水深層的精度反演結果。可以看出，隨著水深層的向上變化，模型精度不斷降低。將檢核點上的精度比較結果與實際水深之比定義為相對精度，圖8給出了點位上相對精度的絕對值大小。可以看出，在多海山和海礁的地區，相對精度較差。

3.3粗差分析

將相對精度大于40%的點定為粗差。圖9給出了粗差點的位置分布，共計659個，約占總數的1.42%。可以看出，粗差點主要集中在右側海域，該部分海域地形起伏變化劇烈，對反演模型精度造成了很大影響。

圖8　檢核點相對精度的絕對值統計Fig.8　Statistic of absolute values of relative precision of check points

模型min/mmax/mmean/mstd/mRMS/mETOPO1-3754.375744.6024.13352.126.87%SIO-3745.465580.402.59257.255.02%GEBCO-3744.685647.146.24267.475.22%GINA-3737.35620.73-14.83300.145.86%本文模型-3413.064881.82142.46365.707.14%

表3　檢核點精度的水深分層統計及比較

圖9　檢核點粗差分布Fig.9　The distribution of grass error points

4　結　語

1)將測高重力異常、局部大地水準面和垂線偏差作為輸入數據可以得到垂直重力梯度異常，采用重力異常得到的梯度異常模型精度較高。

2)梯度異常反演海底地形的關鍵在于比例因子的確定，計算比例因子需要足夠數量和分布狀況良好的船測點作為控制，從而使殘余海底地形和波段內梯度異常保持良好的線性關系。

3)采用梯度異常反演海底地形模型結果可靠，方法簡便，不涉及復雜地球物理參數的求取，其相對精度為7.14%左右，略低于國際上現有的公開發布的地形模型。其中，淺海海域地形精度低于深海海域，多海山、海礁、海溝等地形的海域精度低于地形平坦的海域。

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Foundation support:National Natural Science Foundation of China,No,41304022; Open Fund of State Key Laboratory of Geo-Information Engineering, No.SKLGIE2015-M-1-2.

About the first author:OUYANG Mingda, assistant engineer, majors in geodetic data processing, E-mail: oymd6666@163.com.

The Calculation of Vertical Gravity Gradient Anomalies and Its Application in Bathymetry Inversion

OUYANGMingda1,2SUNZhongmiao1,3ZHAIZhenhe1,3LIUXiaogang1,3

1Stake Key Laboratory of Geo-Information Engineering,1 Mid-Yanta Road, Xi’an 710054,China 2Xi’an Division of Surveying and Mapping,36 Xiying Road, Xi’an 710054,China 3Xi’an Research Institute of Surveying and Mapping,1 Mid-Yanta Road, Xi’an 710054,China

Altimeter gravity anomalies, geoid and vertical deflection are used to calculate oceanic vertical gravity gradient anomalies. The correlation between the gravity gradient anomalies and bathymetry is analyzed. Taking islands in Midwest Pacific Ocean as examples, the bathymetry model is inversed in 20～200 km wavelength; results show that the relative precision of the bathymetry model is 7.14%. In seamount distributed areas, the relative precision is lower.

vertical gravity gradient anomalies; bathymetry; admittance theory; gravity anomalies

2015-09-21

歐陽明達，助理工程師，主要研究方向為大地測量數據處理，E-mail：oymd6666@163.com。

10.14075/j.jgg.2016.09.004

1671-5942(2016)09-0766-04

P223

A

項目來源：國家自然科學基金(41304022)；地理信息工程國家重點實驗室開放基金(SKLGIE2015-M-1-2)。