Banach空間上的逼近對偶g-框架

邱堅鋒，楊守志

（汕頭大學理學院，廣東　汕頭　515063）

Banach空間上的逼近對偶g-框架

邱堅鋒，楊守志

（汕頭大學理學院，廣東汕頭515063）

本文提出了可分且自反的Banach空間X中的逼近對偶g-框架的定義，得到了Banach空間上逼近對偶的一些性質與Banach空間上逼近對偶框架的一些新的結果，并把它們推廣到了融和框架甚至g-框架.證明了Banach空間上逼近對偶框架與框架和原子分解有著緊密的聯系，相應的結論也推廣到了g-框架上.最后，得到了Banach空間逼近對偶g-框架在擾動下的穩定性.

逼近對偶；g-框架；框架；原子分解；Banach框架；擾動

0　引言

1952年，Duffin和Schaeffer在文獻［1］中研究非調和Fourier級數時引入了Hilbert空間上框架的概念.接著在1986年，Daubechies、Grossmann和Meyer在文獻［2］中對框架的研究起了極大的作用.近三十年來，框架成為了數學上非常活躍的一個分支，應用非常廣泛，是圖像處理，數字通信等信息學科的重要工具之一.由于它的適用性，推動產生了各種特殊的框架.Gasazza等人在文獻［3］中引入了Fusion框架，Sun在文獻［4］中將框架的概念推廣到了g-框架.在這期間，Banach空間上的框架作為框架理論的另一個分支也得到了快速的發展.在1991年，Grochenig在文獻［5］中把Hilbert空間上框架的概念拓廣到Banach空間.在文獻［6］中李登峰對Banach空間中的框架理論進行了介紹，關于Banach空間的框架研究還可參考文獻［7-8］.在許多的Gabor系統和小波中，框架的逼近對偶理論有著重要的應用，可參考文獻［9-10］，有關框架的逼近對偶理論最新的研究是Christensen和Laugesen的文獻［11］以及Khosravi和Azandaryani的文獻［12］.

本文提出了可分且自反的Banach空間X上逼近對偶g-框架的定義，證明了在Banach空間逼近對偶g-框架的條件下，可得到X關于⊕Yp上的g-框架；X*關于⊕Y*q上的框架，X關于⊕Yp的原子分解與X關于⊕Yp的Banach g-框架.還證明了X關于⊕Yp的原子分解是X上逼近對偶g-框架.更多的，將文獻［13］中的部分推論和定理推廣到了Banach空間.最后，我們也得到了Banach空間逼近對偶g-框架在擾動下的穩定性.

1　基本知識

假設F=｛fk｝k∈N?X*，1＜p＜∞.如果存在常數A，B＞0，使得x∈X有

設Y=｛Yk｝k∈N是數域F上Banach空間的集合

設Y上的基函數｛Pk｝k∈N為

若存在正數A，B使得?x∈X，有

設Wk是Yk的閉子空間，?k∈N，ωk＞0，｛ωk｝k∈N是權重，若存在兩個正數A，B使得

則W=（｛Wk，ω）k｝k∈N是X關于⊕Yp的融合框架，其中Wk是Wk上的正交投影，若僅有右不等式成立，則稱W=（｛Wk，ωk）｝k∈N是X關于⊕Yp的融合序列.

2　定義及一些性質

上述定理得證.

設算子

由定理2.1可得到

由算子S的定義易得，

因此Λ和Γ是X上的逼近對偶g-框架與Γ和Λ是X*上的逼近對偶g-框架等價.

下面引入文獻［13］的一個定義，

則Λ和Γ稱為是對偶的g-框架.特別的，若Λ和Γ是線性無關的，則Λ和Γ稱為對偶的g-Riesz基.

所以

于是當定義的空間特殊化時，便可得到不同空間上的逼近對偶的定義.

例子2：設X=H，Yk=H且p=q=2時，則算子Λ和Γ的定義就與文獻［12］的相同，此時定義2.2就是文獻［12］中的定義2.2.

假設算子

則

下面引入文獻［6］中的一些定理，

定理2.6［6］：假設｛fk｝k∈N為X的p框架，那么下面條件等價：

（1）｛fk｝k∈N為X*的q-Riesz基.

因此G和F是X上的逼近對偶框架與F和G是X上的逼近對偶框架是等價的，下面引入文獻［6］的一個定理.

定理2.9［6］：設｛fk｝k∈N為X*界為（A，B）的q-Riesz基，存在唯一的｛gk｝k∈N為X*的p-Riesz基.使得

則｛gk｝k∈N為｛fk｝k∈N的對偶且｛gk｝k∈N界為1/B和1/A.

算子

則

下面我們引入在文獻［13］中的g-框架和g-Riesz基等價的條件，

定理2.12［14］：設X和Yk是Banach空間，?k∈N，Λk∈B（X，Yk），則｛Λk｝k∈N是關于線性無關的g-框架當且僅當｛Λk｝k∈N是X關于⊕Yp的g-Riesz基.

其中g-Riesz基的定義可以參考文獻［13］.

下面定理2.13的是文獻［12］推論2.3的推廣.

下面的推論2.4是由文獻［12］推論2.4的推廣.

證明：由文獻［12］推論2.4及定理2.13的（1），推論可得證.

推論2.16：設Λ和Γ是逼近對偶g-框架，若SΓΛ=IX或SΛΓ=IX*，則Λ是Γ的對偶g-框架，特別的，若Λ或Γ是線性無關的，則Λ和Γ是逼近對偶的g-Riesz基.

證明：由算子Λ和Γ的定義，及定理2.13，和定義2.3，易得推論2.16.

推論2.17：設F和G是X上逼近對偶g-框架，若SGF=IX或SFG=IX*，且｛fk｝k∈N為X*上界為（A，B）的基，則存在唯一的｛gk｝k∈N為X上的p-Riesz基，且界為（1/B，1/A），使得F和G是逼近對偶的Riesz基.

證明：由點列F和G的定義，及推論2.15和定理2.9，和定義2.3，易得推論2.17.一般來說Banach空間上的兩個g-框架的和不一定是g-框架，但在加強了的逼近對偶的條件下，它們的和依然是g-框架.

則｛Λk+Ψk｝是X關于⊕Yp的g-框架，｛Γk+Φk｝k∈N是X*關于⊕Y*q的g-框架.

證明：由推論的條件易知，｛Λk+Ψk｝是X關于⊕Yp的g-Bessel序列；｛Γk+Φk｝k∈N是X*關于⊕Y*q的g-Bessel序列，

于是

根據定理2.13，推論2.18的結論成立.

推論2.19：P=｛pk｝k∈NF是X關于lp（N）的p-Bessel序列；Q=｛qk｝k∈NG是X*關于lq（N）的g-Bessel序列，若

則｛fk+gk｝k∈N是X關于lp（N）的g-框架，｛gk+qk｝k∈N是X*關于lq（N）的g-框架.

證明：由推論2.18的證明過程，易得推論2.19的結論.

接下來的定理是文獻［12］的定理2.5的推廣.

（2）設F和G是兩個g-Bessel序列，則SGF=SΓGΛF，且G和F是逼近對偶框架當且僅當ΓG和ΛF是逼近對偶g-框架.

同理可證得?y∈X*，設yk=Γ*kek，j，可得

3　Banach空間上逼近對偶框架與框架和原子分解的聯系

定理3.1：設Λ和Γ是X上的逼近對偶g-框架，Λ的上界為B，Γ的上界為D，則

證明：由定理2.8的（1）的證明過程，易知（1）成立.

即

推論3.2：若F和G是X上的逼近對偶框架，F的上界為B，G的上界為D.

證明：由推論2.15，類似于定理3.1的證明，推論3.2可得證.

推論3.3：若F和G是X上的逼近對偶框架，設F的框架上、下界分別為A，B.

（2）而對于F，存在算子P使得（｛fk｝k∈N，P）是X關于lp（N）的界為A，B的Banach框架.

證明：由推論2.15知，F為X上的p框架，且界為A，B，逼近對偶框架算子

由定義1.1（1）結論得證.

（2）的結論得證.

定理3.4：若Λ，Γ是X關于⊕Yp的原子分解，則Λ和Γ是X關于⊕Yp的逼近對偶g-框架.

證明：由定理的條件知，Λ是X關于⊕Yp的g-Bessel點列.

推論3.5：若F，G是X關于lp（N）的原子分解，則F和G是X上的逼近對偶框架.

證明：由推論條件知，｛fk｝k∈N?X*是X上的p-Bessel點列，

在可分的Banach X中原子分解和Banach框架是等價的，因此，在Banach框架的條件下也可類似得到逼近對偶框架.

根據上面的定理和推論，易知可分自反的Banach空間中，在逼近對偶g-框架的條件下，可以構造相應的Banach g-框架和原子分解；在Banach g-框架和原子分解的條件下，可得到Banach空間的逼近對偶g-框架.

4　空間上逼近對偶框架的擾動

下面的定理是把文獻［9］中的定理3.1推廣到Banach空間上.

證明：設B是Λ序列的上界，則對?x∈X有

所以Ψ是X關于⊕Yp的g-Bessel序列，

由已知條件可得，

所以Γ和Ψ是X上的逼近對偶g-框架.

4.2便可得證.

類似于文獻［12］中Hilbert空間上的擾動，我們給出一個在X中的擾動的定義.

證明：設Q是N的一個有限子集，由定義4.3（1）可知

則

所以

（2）得證.

證明：由算子的定義，令

類似于定理4.6的證明，推論4.7得證.

證明：由算子的定義，令

類似于定理4.6的證明，推論4.7得證.

證明：由推論4.3及文獻［12］的推論3.10的證明過程，可得到推論4.9的結論.

證明：由推論4.9的證明過程，可得到推論4.10的結論.

［1］DUFFINR J，SCHAEFFER AC.Aclass ofnonharmonic Fourier series［J］.Trans Amer Math Soc，1952，72（2）：341-366.

［2］DAUBECHIESI，GROSSMANNA，MEYERY.Painlessnonorthogonalexpansions［J］.JMathPhys，1986，72（5）：1271-1283.

［3］CASAZZA P G，KUTYNIOK G，LI S.Fusion frames and distributed processing［J］.Appl Comput Harmon Anal，2008，25（1）：114-132.

［4］SUN W.G-frame and G-Riesz bases［J］.J Math Anal Appl，2006，322（1）：437-452.

［5］GROCHENINGK.Describingfunctions：Atomicdecompositionsversusframes［J］.Monatsh Math，1991，112（1）：1-41.

［6］李登輝，薛明志.Banach空間上的基和框架［M］.北京：科學出版社，2007：209-234.

［7］KHOSRAVI A，KHOSRAVI B.Fusion frames and g-frames in Banach spaces［J］.Proc Indian Acad Sci（Math Sci），2011，121（2）：155-164.

［8］LIUB，LIUR，ZHENGBT.Parseval p-frames and feichtinger conjecture［J］.J Math Anal Appl，2015，424（1）：248-259.

［9］BALAZS P，FEICHTINGER H G，HAMPEJS M，et al.Double preconditioning for Gabor frames［J］.IEEE Trans Singal Process，2006，54（12）：4597-4610.

［10］WERTHER T，ELDAR Y C，SUBBANNA N K.Dual Gabor frames：theory and computational aspect［J］.IEEE Trans Singal Process，2005，53（11）：4147-4158.

［11］CHRISTENSEN O，LAUGESEN R S.Approximate dual frames in Hilbert spaces and applications to Gabor frames［J］.Sampling Theory in Singnal and Image Processing，2011，9：77-90.

［12］KHOSRAVI A，MIRZAEE AZANDARYAIN M.Approximate dualityofg-frames in Hilbert spaces［J］.Acta Mathematica Scientia，2014，34（3）：639-652.

［13］LI C Y.Operator frames for banach spaces［J］.Complex Anal Oper theory，2012，6（1）：1-21.

AbstractA definition of the approximate dual g-frames in the separable and self-adjoint Banach spaces is given.Some properties of approximate dual and new results of approximate duality of frames in Banach spaces are obtained.The results in approximate duality of frames are also generalize to fusion frames and even to g-frames.It is proved that the approximate duality of frames in Banach spaces have a strongconnection with Banach frames and atomic decomposition.The corresponding results are generalized to g-frames.At last，it is shown that the approximate duality of g-frames are stable under the perturbation.

Keywordsapproximateduality；g-frame；frame；atomicdecomposition；Banach frame perturbation

Approximate Duality of Banach Frames in Banach Spaces

QIU Jianfeng，YANG Shouzhi
（Department of Mathematics，Shantou University，Shantou 515063，Guangdong，China）

TU43；O344

A

1001-4217（2016）03-0040-15

2015-09-10

邱堅鋒（1990—），男，在讀研究生.主要研究方向：小波分析與應用.E-mail：13jfqiu2@stu.edu.cn