先猜后證：利用數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)“問(wèn)題解決”*

●房香玉　李昌勇　文　東

(四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院　四川成都　610068)

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先猜后證：利用數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)“問(wèn)題解決”*

●房香玉李昌勇文東

(四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院四川成都610068)

以學(xué)生已有的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)作為“問(wèn)題解決”的基礎(chǔ)，以“先猜后證”的方式為問(wèn)題中已知條件與未知結(jié)果搭建橋梁；先對(duì)問(wèn)題結(jié)果進(jìn)行“言之有理”的猜，然后再給出“持之有據(jù)”的證；這不僅有助于快速找到問(wèn)題解決的策略，實(shí)現(xiàn)“問(wèn)題解決”，而且還能提升學(xué)生已有的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，幫助學(xué)生養(yǎng)成“化解為證”的問(wèn)題解決意識(shí)，形成一定的數(shù)學(xué)思維，為學(xué)生今后進(jìn)行更深層次地學(xué)習(xí)提供準(zhǔn)備.

活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)；先猜后證；問(wèn)題解決

1　實(shí)現(xiàn)“問(wèn)題解決”的策略

1.1找基礎(chǔ)

著名教育家陶行知曾說(shuō)：“我們要以自己的經(jīng)驗(yàn)為根，以這經(jīng)驗(yàn)所發(fā)生的知識(shí)為枝，然后別人的知識(shí)才能接上去，別人的知識(shí)才能成為我們知識(shí)的一個(gè)有機(jī)體部分.”舍恩菲爾德在提出的影響“問(wèn)題解決”的4個(gè)要素中把知識(shí)資源作為首要因素，他認(rèn)為知識(shí)資源作為解題者解題的根源，如果解題者缺少與原問(wèn)題解決相關(guān)的數(shù)學(xué)事實(shí)、數(shù)學(xué)定義以及解題技巧，那么該解題活動(dòng)便很難進(jìn)行下去[1].而解題者所具有的對(duì)原問(wèn)題相關(guān)的數(shù)學(xué)事實(shí)、數(shù)學(xué)定義以及解題技巧是解題者在以往的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、數(shù)學(xué)解題等活動(dòng)中積累起來(lái)的經(jīng)驗(yàn)，即數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)[2].因此，解題者本身已有的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)便是實(shí)現(xiàn)問(wèn)題解決的基礎(chǔ).

1.2搭橋梁

“先猜后證”是指在問(wèn)題解決中，解題者可以先拋開(kāi)問(wèn)題的某些方面或部分，抓住問(wèn)題的主要結(jié)構(gòu)，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成較簡(jiǎn)單或較特殊的形式，猜測(cè)出這個(gè)簡(jiǎn)單或特殊問(wèn)題的答案，然后利用這個(gè)答案的特征來(lái)實(shí)現(xiàn)更復(fù)雜或更一般的問(wèn)題解決[3].因此，利用這種“先猜后證”的問(wèn)題解決方式能為已知條件和未知結(jié)論搭起橋梁，幫助“問(wèn)題解決”.當(dāng)然先猜并不是無(wú)根據(jù)地亂猜而是以解題者已有的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)、以直覺(jué)為先導(dǎo)、以聯(lián)想為手段、以邏輯為根據(jù)、以觀察為向?qū)А⒁运季S為核心進(jìn)行的合理猜測(cè)[4].

那么，解題者在具體問(wèn)題解決時(shí)該如何以自己已有的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，以“先猜后證”的方式搭建起已知和未知的橋梁找到“問(wèn)題解決”的策略呢？下面，筆者結(jié)合4個(gè)具體的“問(wèn)題解決”案例來(lái)加以分析.

2　“問(wèn)題解決”的案例分析

圖1 　　　　　　　　　　圖2 　　　　　　　圖3

(2007年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)

先猜觀察到結(jié)論與點(diǎn)B的位置無(wú)關(guān)，利用極端化的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，將點(diǎn)B趨于點(diǎn)C(如圖2)，此時(shí)線段BP將半圓分成S1,S2+S△ACP這2個(gè)部分.注意到S1=S2，故分成的這2個(gè)部分面積之差的絕對(duì)值就是S△ACP，因此猜測(cè)線段BP把圖形APCB分成2個(gè)部分面積之差的絕對(duì)值是S△ACP=4.

分析從極端情況回到一般情況，如圖3，聯(lián)結(jié)AP,CP，也有2個(gè)弓形S1=S2，因此BP分成的2個(gè)部分是S△CBP,S△ABP，只需證|S△ABP-S△CBP|=S△ACP.以圓心O為中心作點(diǎn)M的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N，根據(jù)等底同高得到

S△CMP=S△ANP，S△CMB=S△ANB,S△PMO=S△PNO,S△BMO=S△BNO，

從而

|S△ABP-S△CBP|=S△PBN，

于是只需進(jìn)一步證明S△PBN=S△ACP即可.

證明如圖3，聯(lián)結(jié)AP,CP，由對(duì)稱(chēng)性知S1=S2.作點(diǎn)M關(guān)于圓心O的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N，則CM=AN,OM=ON,從而

S△CMP=S△ANP，S△CMB=S△ANB，S△PMO=S△PNO,S△BMO=S△BNO,

于是

|S△ABP-S△CBP|=S△PBN=2S△PBO=2S△PCO=S△PCA=4.

反思以極端化的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，利用“先猜后證”的解題方式搭建已知條件與未知結(jié)論的橋梁，“化解為證”；提升學(xué)生變靜為動(dòng)、動(dòng)中找定的“問(wèn)題解決”能力，找到定值，進(jìn)而尋找依據(jù)回歸定值S△ACP=4，驗(yàn)證猜測(cè)，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題解決.

(2015年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽初二試題)

圖4

所以

反思“凍結(jié)變量，猜測(cè)為橋，后證索據(jù)”可將很多代數(shù)問(wèn)題化難為易，化繁為簡(jiǎn).“凍結(jié)變量”不僅能發(fā)現(xiàn)剩下變量的關(guān)系，更有助于化繁為簡(jiǎn)；“猜測(cè)為橋”以猜測(cè)搭起已知與未知之橋，化求為證；“后證索據(jù)”以證說(shuō)理，論證猜測(cè).

例3如圖4，在四邊形ABCD中，BD是∠ABC的角平分線，∠ADB=45°，∠ACB=90°,求∠DCA的大小.

策略1先猜利用尺規(guī)作圖的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，首先構(gòu)造出任意∠B及其角平分線，并在∠B的角平分線上任取一點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作BD的垂線，然后作該直角的角平分線與∠B的一條邊相交于點(diǎn)A，這時(shí)再過(guò)點(diǎn)A作AC⊥BC于點(diǎn)C，聯(lián)結(jié)DC，便可構(gòu)造出滿足條件的四邊形ABCD；最后用量角器可測(cè)出∠DCA的大小為45°，進(jìn)而猜測(cè)∠DCA=45°.

分析要證∠DCA=45°，只需證明CD是∠ACB補(bǔ)角的角平分線.過(guò)點(diǎn)D向AC,BC作垂線,垂足分別為點(diǎn)G,E(如圖5)，只需證DG=DE.注意到BD是∠ABC的角平分線，過(guò)點(diǎn)D分別向AB,BC作垂線，垂足分別為點(diǎn)H(點(diǎn)H,E重合),F，得到DF=DE，于是只需證DG=DF；通過(guò)證明△AGD≌△AFD即可.

證明如圖5，過(guò)點(diǎn)D分別向BC,AB,AC作垂線，垂足分別是點(diǎn)E,F,G，則DF=DE.注意到

從而∠FAD=∠GAD，于是△AGD≌△AFD，故DG=DF=DE，即直線CD為∠ACE的角平分線，亦即∠DCA=45°.

圖5 圖6 圖7

策略2先猜如圖6，將原題目中的Rt△ABC特殊化為等腰直角三角形,則A,B,D在以點(diǎn)C為圓心、BC為半徑的圓上，從而

∠ACD=2∠ABD=∠ABC=45°，

故猜測(cè)∠ACD=45°.

分析在非特殊化情況下，知∠ACB=90°，作∠ACB的角平分線與BD交于點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)AE(如圖7)，得到∠ACE=45°.又∠ADB=45°，從而∠ACE=∠ADB，于是點(diǎn)A,E,C,D共圓，得∠ACD=∠AED.進(jìn)而，通過(guò)找到∠AED的大小得到未知的∠ACD的大小.

證明作∠ACB的角平分線與BD交于點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)AE(如圖7)，則∠ACE=45°=∠ADE,于是點(diǎn)A,E,C,D共圓，從而∠ACD=∠AED.又BE平分∠ABC，則AE平分∠BAC,于是

故∠ACD=45°.

反思策略1和策略2都利用了“先猜后證”的問(wèn)題解決方式，但2者猜測(cè)時(shí)所利用的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是不一樣的.尺規(guī)作圖的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)幫助學(xué)生思考圖形的形成條件，鍛煉學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)圖形的認(rèn)識(shí)和理解能力，對(duì)于問(wèn)題解決更有“活學(xué)巧用”的效果；特殊化的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)則有助于培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般的意識(shí)，抓住特殊時(shí)的不變性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)一般情況的解題策略，加強(qiáng)數(shù)學(xué)問(wèn)題解決意識(shí).

先猜猜測(cè)最大數(shù)M取最小值的情況是當(dāng)a=b=c時(shí).注意到當(dāng)x=y=z=1時(shí)，a=b=c=2 ，因此猜測(cè)M的最小值為2.

證明根據(jù)已知條件知M=max{a,b,c},則M≥a,M≥b,M≥c，于是

故M≥2.因?yàn)楫?dāng)x=y=z=1時(shí)，a=b=c=2,所以M的最小值是2.

反思以特殊值為切入點(diǎn)先猜測(cè)出問(wèn)題的答案，然后觀察出代數(shù)式之間的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合已有的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)證明猜測(cè)，這樣才能增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)觀察力,提升學(xué)生已有的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)數(shù)學(xué)思維發(fā)展.

以學(xué)生已有的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)作為問(wèn)題解決的基礎(chǔ)，以“先猜后證”的解題方式搭建未知結(jié)論和已知條件的橋梁，做出“言之有理”的猜想，幫助學(xué)生變求解為證明，從而更有效地找到問(wèn)題的突破口，發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律,再給出“持之有據(jù)”的證明,有效實(shí)現(xiàn)問(wèn)題解決.在數(shù)學(xué)問(wèn)題解決中,學(xué)生不但要會(huì)邏輯分析,而且更應(yīng)在尋找特例、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題結(jié)構(gòu)特征、洞察問(wèn)題本質(zhì)時(shí)[5],結(jié)合自身已有的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)恰當(dāng)運(yùn)用數(shù)學(xué)猜想，從最簡(jiǎn)單、最特殊的情況入手,找到問(wèn)題解決的突破口，增強(qiáng)“問(wèn)題解決”的能力，從而更有效地立足于新課標(biāo)中的“四基”，提升數(shù)學(xué)思維[6].而這種以已有的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，結(jié)合“先猜后證”的問(wèn)題解決方式不僅對(duì)于學(xué)生問(wèn)題解決能力的培養(yǎng)是非常有幫助的，而且更能幫助學(xué)生找到“問(wèn)題解決”中存在的不變性質(zhì)，抓住問(wèn)題的本質(zhì)，更有效地實(shí)現(xiàn)問(wèn)題解決，幫助知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的遷移與獲得,這對(duì)于學(xué)生今后進(jìn)行更高層次的問(wèn)題解決的學(xué)習(xí)是非常有益的.

[1]鮑建生,徐斌艷.數(shù)學(xué)教育研究導(dǎo)引(二)[M].南京:江蘇教育出版社,2013.

[2]仲秀英.學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)研究[D].重慶:西南大學(xué)，2008:45-56.

[3]喻平.數(shù)學(xué)問(wèn)題解決認(rèn)知模式及教學(xué)理論研究[D].南京:南京師范大學(xué)，2002:17-21.

[4]傅航.先猜后證的數(shù)學(xué)思想在高中教學(xué)中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)通報(bào),2007(4):38-39.

[5]余錦銀.活用特殊化思想巧解數(shù)學(xué)解答題[J].中學(xué)數(shù)學(xué),2009(1):16-18.

[6]中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年)[M].北京:北京師范大學(xué)出版社,2012.

*收文日期：2016-05-05；2016-06-10

房香玉(1991-)，四川德陽(yáng)人，碩士研究生.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

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1003-6407(2016)09-01-04