數學教學中“講”的再認識
——對一個向量問題教學的思考*

●李旺強

(清水縣第六中學　甘肅清水　741499)

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數學教學中“講”的再認識

——對一個向量問題教學的思考*

●李旺強

(清水縣第六中學甘肅清水741499)

在高三一輪復習時，根據教學內容和學生的認知情況，以“問題”引領為導向，恰當把握課堂教學時機，實行變式教學，提升學生的探究、思維、綜合運用能力，幫助學生有效內化知識、構建知識網絡，從而提高一輪復習的效率.

“問題”引領；變式教學；一題多解；辨析反思

翻開聽課筆記，筆者看到了在一次高三聽課中，執教教師講授“平面向量的數量積”一節復習課的相關內容，有點感想和看法，現整理歸納如下：

1　教學片斷

首先師生一起復習回顧“平面向量的數量積”一節中的基礎知識(教師一邊說，學生一邊填寫資料).

……

題目已知a,b是單位向量，且a·b=0，若向量c滿足|c-a-b|=1，則|c|的最大值是

()

教師留時間讓學生思考，接著學生進行成果展示：

解法1由題意知

|a|=|b|=1,a·b=0,

從而

因為|c-a-b|=1，所以

|c-a-b|2=|c|2-2c·(a+b)+(a+b)2=1.

設c與a+b的夾角為θ，則

即

從而

圖1

教師與學生進行互動、點評，糾正學生在解題過程中出現的失誤，同時引領學生從向量坐標角度分析問題，得出另一種解法(記為解法3)如下：

解法3設向量a=(1,0),b=(0,1),c=(x,y),則

c-a-b=(x-1,y-1),

從而

(c-a-b)2=(x-1)2+(y-1)2=1,

令

x-1=cosθ,y-1=sinθ,

于是x2+y2=(1+cosθ)2+(1+sinθ)2=

3+2(sinθ+cosθ)=

因此

教師再次強調解決這道題時所應用的知識方法和在計算過程中易忽視的地方，接著講解另一道題目……

課后與執教教師簡短的交談中得知，執教教師認為現在是第一輪復習，重在回歸課本、夯實基礎，而且縱觀近幾年的全國數學高考，試題的解答趨于常規化，注重通性通法的考查.因此在第一輪復習中應以常規解法為主，以提高學生的運算效率為重點……，筆者卻產生了與執教教師不同的想法.

2　點評與思考

2.1點評

本節課從給出問題到放手學生、預留空白讓學生自主探究、展示成果(得出解法1、解法2)，再到執教教師參與、幫助學生糾正失誤、同時引領學生轉換角度(得出解法3)，最后師生互動、點評，體現了一個“引、放、收”3步曲的教學過程[1]——看似是一節完美的新課改模式課堂，究其本質其實是執教教師在無形中“秀”課.

從給出的問題來分析，本是一道常規題，教師大可不必預留太多時間讓學生做所謂的探究與交流，只需稍作停頓采用提問、競答的方式就會收到預期的效果.

從問題的特點來分析，選擇題只注重結果體現而忽略解題過程的表述，但對思維能力卻提出了更高的要求.學生的目標是花最少的時間、用最快的速度取得最大的收獲，因此幫助學生找到最佳解決方法才是教學目標之一.解法3雖然是向量的常規運算，但涉及到解決數學問題很重要的一種方法——構造法，因此教師可重在引導、幫助學生初步建立構造法解決問題的思想和意識.這看似簡單卻是難點，教師應當給學生說明學習構造法的重要性和理解掌握的必要性，為今后更好地學習構造法奠定基礎，這是本節課的第2個教學目標.

從學生角度和考查的意圖來分析，面對一個問題(不論熟悉還是陌生)，學生首先會想到什么(要弄懂題意)；其次是學生要會分析如何解決問題(找到解決的方法和途徑)；最后經過思考學生會選擇哪種解法(選擇最優解決途徑).面對該問題至少找到了3種解決的方法(向量的代數符號運算、坐標運算、幾何運算)，通過類比、分析，發現解法2是最行之有效的(用幾何法去解決此題會省時、省力、收效最大).因此，本節課的重點不僅是追求一題多解，而且是對多種解法進行對照、類比、反思，從中選擇一種最優解法，這是本節課的第3個教學目標.

誠然，用該問題做引例，本節課的重、難點應該放在向量的幾何性，筆者認為執教教師不要急于求成忙著講下一個問題，若能根據解法2再設計幾個相同背景下不同的變式問題，讓學生的思維螺旋上升以便加深理解，突破本節課的重難點，則可以達到“做一題，會一類，連一片”的效果，而不是“做一題，會一題”的局面.

2.2思考

思考1高三一輪復習中該怎樣回歸課本，夯實基礎？

對于高三一輪復習，每位教師的觀點都是以“回歸課本，夯實基礎”為主，然而在實際的操作中，我們該怎么做才能真正達到“回歸課本，夯實基礎”呢？從本節課發現，執教教師依靠的主要對象是手中那本厚厚的一輪復習資料，與學生一起回顧知識的過程幾乎與資料上內容、順序完全一致.事實上，回顧這一過程就是對資料進行填空，那么這種做法到底有沒有效果，效果如何？學生一邊附和一邊填空，不如讓學生在課余時間自己填寫，然后教師在上課檢查更省時.依筆者之愚見，高三一輪復習在回歸課本、夯實基礎的同時還應幫助學生構建系統的知識體系，形成知識網絡，也就是通過復習將平時所學的知識點連成線、線連成面、面交織成體，最終形成學生自己的一套知識體系.在復習中教師要改變傳統的復習方式，善于發現學生的個性和優勢，加強師生互動，因此在一輪復習中要做到以下幾點：

1)回歸教材要具有啟迪性和發展性，在熟悉基本概念、基本定理和公式的基礎上要挖掘數學概念本身的內涵和外延，要明確數學概念中所蘊含的數學思想與數學文化；要培養學生學會自學，學會知識遷移,學會多角度去分析問題,培養學生的發散思維.

2)加強知識間的聯系，體會知識內外的交叉性和多角度性，同時進行類比、辨析、反思，進行滾動式復習，歸納成串.

3)改變單一的教學方式，避免“一講一練，再一講”這種單調的循環復習方式，防止學生在心理、視覺上產生疲勞.

4)精心設計課堂教學的預設和生成，切忌追求大容量、全方位，即在一節課中要解決什么問題，達到什么樣的預期效果，學生通過本節課的學習要掌握什么樣的數學思想和數學方法，不要因為容量大、全、繁而導致課堂教學失去主線.

思考2哪種解法更適合學生？

眾所周知，解題是知識的遷移與應用的過程，也是知識的鞏固和提升的過程，亦是檢查學習者對所學知識掌握的程度、理解的深度、應用的廣度的一種辦法.誠然，與解題者相對應的便是講解者，狹義上來講，講解者就是向解題者單純地介紹做這道題目時的方法、步驟.廣義上來講，就是幫助解題者分析題意中所蘊含的思想及文化、分析題目的考查意圖和目的，研究解決的策略、途徑、方法，理清思路后從中選擇最優解法，提高解題效率.在數學教學中，講題與做題更是形影不離，這就要求教師要認真把握“講”這一技能，充分發揮好“講”的功能與作用，在課堂教學中力爭做到“精”講，用靈活的教學方式將繁簡易化，將抽象具體化[2].

在本節課中，執教教師給出問題，聚攏了學生的注意力,“放手學生—預留空白—成果展示”為學生搭建了自我展示的平臺，體現了學生的主體地位.但在教師強調解法1中的某些細節時，學生的表現很平淡，只有少數幾位學生隨聲附和了一下，便若無其事了.課后筆者與學生的交談中得知，解法1是向量最基本的代數運算，學生都能解決，因此教師重新再提出時，大部分學生認為沒有必要，甚至有學生認為是在浪費時間.學生對解法3有著極大的興趣，他們認為盡管向量的坐標運算也很熟悉，可是這種采用構造向量坐標再將圓的參數方程以及三角函數結合起來解決問題的思想很少見，當教師給出解法3時，學生的熱情程度很高，討論的氣氛很熱烈.筆者認為，此時教師應該順勢再將學生的思維稍作發散，即引入解決數學問題的另一種思想方法——構造性，為今后更好地學習構造法奠定一定的基礎；最后教師應該發揮好自己的引領作用，讓學生自己對3種解法進行類比、辨析，思考采取哪種解法會收到事半功倍的效果,這樣學生就會根據問題本身的特點而選擇解法2.

思考3如何設計題型，才能幫助學生提升解題能力？

在完成上述工作之后，教師依然不要忙著講下一道題目，而是在剛才的基礎之上，再設計幾道類似的題目讓學生解決，學生帶著新問題再次認識向量的幾何身份，從而加深理解.為此，筆者根據上述問題特意設計了以下3個變式題[3].

變式1已知a,b是單位向量，且a·b=0，若向量c滿足|a+b-c|=0，求|c|的最小值和最大值.

3　結束語

高三一輪復習在回歸課本、夯實基礎的同時要注重知識結構、網絡體系的形成，以便提高復習的有效性和高考的針對性；追求一題多解，體會知識之間的交叉性和多角度性的同時，要幫助學生學會類比、辨析，從而在多種解法中選擇最優法，以便提高解題效率；課堂教學中要適當地加入數學思想和數學文化教育，激活數學，改變學生枯燥、乏味的心態，激起學生的學習激情和學習沖動.正如章建躍教授所說:在課堂教學中，如果我們的教學不能從心理上打動學生，學生對我們的“講”無動于衷，那么學生就不可能有心領神會的心靈共鳴，我們講得再精彩也只能是無功而返.教育有法而不定法，貴在得法！

[1]李旺強.數學教學中“講”的再認識——芻議數學教學中“引、放、收”三步曲[J].中小學數學:高中版,2015(6):13-15.

[2]李旺強.數學教學中“講”的再認識[J].中小學數學:高中版,2014(11):10-11.

[3]李歆.對一個數列問題教學的思考[J].中小學數學:高中版,2015(6):20-21.

*收文日期：2016-04-20；2016-05-20

李旺強(1982-)，男，甘肅清水縣人，中學二級教師.研究方向：數學教育.

O123.1

A

1003-6407(2016)09-07-03