一個解析幾何考題編制的心路歷程*

●周順鈿

(杭州高級中學(xué)　浙江杭州　310003)

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一個解析幾何考題編制的心路歷程*

●周順鈿

(杭州高級中學(xué)浙江杭州310003)

編制試題是一項有趣味、有價值、有意義的活動，也是一項充滿艱辛的教學(xué)和研究的活動，需要對整個學(xué)科知識融會貫通、駕輕就熟，需要掌握試題命制的方法與技巧.文章通過一個解析幾何題的編制過程，領(lǐng)略了從命題立意、素材尋找、編制成題、考試反饋的整個思維過程.

試題編制；素材；反饋

編題是命題者根據(jù)命題要求編制新穎試題.在高考模擬試題的編制過程中，必須考慮4個要素：明確的試題立意、適當(dāng)?shù)碾y度設(shè)置、符合考綱要求的適宜素材、簡潔流暢的表達(dá)方式.在編制2016年春季開學(xué)后的第一次月考卷時，為了編擬一個有質(zhì)量的解析幾何題，筆者頗費(fèi)了一番功夫.

1　命題立意

唐代王維說：“凡畫山水，意在筆先.”編題先要立意，即確定命題的意圖，包括題目的思想內(nèi)容、題目的構(gòu)思設(shè)想、考查的主要目的等，浙江省高考命題重在“本質(zhì)、自然、簡潔”立意，追求意境高遠(yuǎn)、構(gòu)思新穎、目標(biāo)明確.

解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)的方法研究幾何問題，解答題多以圓錐曲線為背景構(gòu)思、選題.浙江省數(shù)學(xué)高考理科解析幾何大題常以橢圓為背景，突出坐標(biāo)法的特點和曲線方程的思想，設(shè)問靈活，立意較高，常充當(dāng)壓軸題的角色.為加大對探究精神和創(chuàng)造能力的考查，解析幾何題常設(shè)計成綜合性、探索性、開放性等“能力型”試題.試題力求新穎別致，給人以“情理之中，意料之外”之感，給人以“做題不在多，有法則行；做題不在難，有意則靈”之感.

2　命題素材

素材是命題的基礎(chǔ).不同類型、不同檔次的題目通常需要不同的素材，只有收集、尋找到一定數(shù)量的好的或可借鑒的素材之后，才能命制出具有較高質(zhì)量的試題.

我們知道，設(shè)A,B,C為橢圓上不同的3個點，若OA⊥OB，則點O到AB的距離為定值，于是讓學(xué)生探究當(dāng)OA⊥OB時，是否存在恒與AB相切的圓；我們又知道，若點O為△ABC的重心，則△ABC的面積為定值，于是讓學(xué)生逆向探究：當(dāng)S△OAB=S△OBC=S△OCA時，求S△ABC的值.

3　編制成題

圖1

試題敘述簡約是浙江省數(shù)學(xué)高考試題的命題風(fēng)格，適宜的表達(dá)是編制試題的一個細(xì)活.語言簡潔易懂、圖形配置漂亮，有利于考生發(fā)揮水平，并提高試題的效度.

1)若OA⊥OB，問：是否存在恒與直線AB相切的圓？若存在，求出該圓的方程；若不存在，請說明理由.

2)若S△OAB=S△OBC=S△OCA，求S△ABC.

4　考試反饋

“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”，一個問題從不同角度去理解，可以有多種不同的解法.以下是筆者從學(xué)生的解答中擷取的有代表性的方法，以及考后對問題的進(jìn)一步研究.

4.1第1)小題的解答

解法1大膽猜想，小心求證.

設(shè)直線AB:y=kx+m，代入x2+2y2=2得

(1+2k2)x2+4kmx+2(m2-1)=0.

設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2),則

由Δ=16k2m2-8(1+2k2)(m2-1)>0，得

m2<1+2k2.

化簡得

3m2=2(1+k2)，

于是原點O到AB的距離

解法2著眼旋轉(zhuǎn)，設(shè)點處理.

相加得

在Rt△OAB中，點O到AB的距離

4.2第1)小題的進(jìn)一步研究

一般地，若有n條中心半徑將中心角n等份，它的n條中心半徑的倒數(shù)平方和是否為定值？

也可以從向量的角度去理解，正n邊形A1A2…An的n個頂點在坐標(biāo)軸上的投影(或位移)之和為0.

圖2

4.3第2)小題的解答

解法1通性通法，質(zhì)樸自然.

接第1)小題的解法1.如圖2，延長CO交AB于點D，由面積S△OAB=S△OBC=S△OCA可知，CD∶OD=3∶1，同理延長AO,BO也有相同結(jié)論，于是點O為△ABC的重心.

設(shè)C(x3,y3)，則

故

解法2合理配方，直奔目標(biāo).

設(shè)點A(x1,y1)，B(x2,y2),C(x3,y3),由O為△ABC的重心知，

x1+x2+x3=0，y1+y2+y3=0，

于是

可得

x1x2+2y1y2=-1，

于是

故

解法3三角代換，減少運(yùn)算.

故

4.4第2)小題的進(jìn)一步研究

由S△OAB=S△OBC=S△OCA知

|sin(α-β)|=|sin(β-γ)|=|sin(γ-α)|.

根據(jù)橢圓參數(shù)離心角的幾何意義，過點A,B,C作x軸的垂線AD,BE,CF，射線DA,EB,FC交大圓x2+y2=a2于點A1,B1,C1，則

故

由S△OAB=S△OBC=S△OCA知S△OA′B′=S△OB′C′=S△OC′A′,

5　一點遺憾

圖3

事物總是一分為二，不可能盡善盡美的，本題的第2)小題白壁有瑕，存在美中不足.

考試結(jié)束后，有學(xué)生給出了這樣一個圖形(如圖3)，若點C位于長軸的頂點，AB垂直平分OC，則

因此，要實現(xiàn)命題意圖，還應(yīng)在題設(shè)條件中增加原點O在△ABC內(nèi)部的限制.

編題是一項細(xì)致、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)墓ぷ?，科學(xué)的數(shù)學(xué)試題結(jié)構(gòu)合理、表述準(zhǔn)確，各個條件、結(jié)論之間具有相容性.在高考及各類模擬考試中，盡管命題者作出了很大的努力，但疏漏現(xiàn)象仍時有發(fā)生.因此，命題時要考慮周全，避免出現(xiàn)這樣或那樣的瑕疵，保證試題的科學(xué)合理.

高考是由合格的高中畢業(yè)生參加的選拔性考試，既考查中學(xué)數(shù)學(xué)的知識和方法，又考查考生進(jìn)入高校繼續(xù)學(xué)習(xí)的潛能，因此高考模擬試題也應(yīng)該具有較高的信度、效度，必要的區(qū)分度，適當(dāng)?shù)碾y度，能夠揣摩命題教師的心理，估測高考命題的方向.一份較好的高考模擬試題不在于猜題壓題，要能夠促進(jìn)考生知識能力的提高，有利于考前復(fù)習(xí)效率的提高.

*收文日期：2016-05-08；2016-06-10

周順鈿(1965-)，男，浙江紹興人，浙江省特級教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O123.1

A

1003-6407(2016)09-33-05