一次函數(shù)中的相遇與追及

□高　峰

一次函數(shù)中的相遇與追及

□高峰

一次函數(shù)圖象信息題中，有一類相遇或追及的“雙線圖”問(wèn)題，由于這類問(wèn)題的情景比較復(fù)雜，圖象信息豐富，許多同學(xué)在解答這類問(wèn)題時(shí)，感覺(jué)十分棘手，下面舉例說(shuō)明此類問(wèn)題的求解方法.

例1甲、乙兩地之間有一條筆直的公路l，小明從甲地出發(fā)沿公路l步行前往乙地，同時(shí)小亮從乙地出發(fā)沿公路l騎自行車前往甲地，小亮到達(dá)甲地停留一段時(shí)間，原路原速返回，追上小明后兩人一起步行到乙地.設(shè)小明與甲地的距離為y1米，小亮與甲地的距離為y2米，小明與小亮之間的距離為s米，小明行走的時(shí)間為x分鐘.y1、y2與x之間的函數(shù)圖象如圖1，s與x之間的函數(shù)圖象（部分）如圖2.

（1）求小亮從乙地到甲地過(guò)程中y2（米）與x（分鐘）之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）求小亮從甲地返回到與小明相遇的過(guò)程中s（米）與x（分鐘）之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）在圖2中，補(bǔ)全整個(gè)過(guò)程中s（米）與x（分鐘）之間的函數(shù)圖象，并確定a的值.

圖1

圖2

分析：本題涉及的過(guò)程比較復(fù)雜，我們可以從以下幾個(gè)方面進(jìn)行分析.

一、將實(shí)際情景與圖象結(jié)合，把圖象分段并與實(shí)際情景對(duì)應(yīng).

根據(jù)題意可知小亮與甲地的距離對(duì)應(yīng)的圖象是AB、BE、ED、DC，小明與甲地的距離對(duì)應(yīng)的圖象是OC.

我們可以把圖象分為四段進(jìn)行分析，如圖1，用虛線BG、EF、MN進(jìn)行分割，從左向右，第一段為小亮到甲地的過(guò)程，第二段為小亮到達(dá)甲地停留一段時(shí)間，第三段為小亮從甲地返回追上小明的過(guò)程，第四段為兩人一起走的過(guò)程.

二、將一次函數(shù)中的自變量、函數(shù)、系數(shù)與實(shí)際情景中的數(shù)量進(jìn)行對(duì)應(yīng)，嘗試根據(jù)已知數(shù)量求一些特殊點(diǎn)的坐標(biāo)或根據(jù)坐標(biāo)求相關(guān)數(shù)量.

本題自變量表示時(shí)間、函數(shù)表示距離、而一次函數(shù)中自變量系數(shù)的絕對(duì)值則是速度，本題已經(jīng)給出了相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，可以根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求出相關(guān)的時(shí)間、距離和速度.

由圖象可得C（40，2000）、A（0，2000）、B（10，0），根據(jù)C（40，2000）可得小明的速度為2000÷40=50米/分，根據(jù)A（0，2000）、B（10，0）小亮的速度為2000÷10=200米/分.

三、嘗試求出相關(guān)圖象的函數(shù)關(guān)系式，利用函數(shù)關(guān)系式解決問(wèn)題.

（1）根據(jù)小亮從乙地到甲地過(guò)程對(duì)應(yīng)的圖象是AB，可設(shè)小亮從乙地到甲地過(guò)程中y2（米）與x（分鐘）之間的函數(shù)關(guān)系式為y2=kx+b，將A（0，2000）、B（10，0）代入，可得k= -200，b=2000，所以y2=-200x+ 2000.

（2）從圖象上可以看出，小亮從甲地返回到與小明相遇的過(guò)程是第三段，所以只需求出DE和OC的對(duì)應(yīng)函數(shù)關(guān)系式作差即可.

小亮從甲地返回追小明的過(guò)程對(duì)應(yīng)的圖象是DE，設(shè)yDE=kx+b，根據(jù)小亮的速度為200米/分，由勻速直線運(yùn)動(dòng)中斜率即表示速度，可知k=200，又有點(diǎn)E（24，0），即可求出b=-4800，于是yDE=200x-4800，而根據(jù)圖象可求出yOC=50x，

所以小亮從甲地返回到與小明相遇的過(guò)程中s（米）與x（分鐘）之間的函數(shù)關(guān)系式為s=50x-（200x-4800）=-150x+4800.

（3）補(bǔ)全整個(gè)過(guò)程中s（米）與x（分鐘）之間的函數(shù)圖象，需要把第一段再分為兩部分，即第一次相遇前和第一次相遇后，所以圖2可分為五段考慮.

第1段（AG段中相遇前）：顯然a表示小亮從乙地出發(fā)與小明從甲地出發(fā)第一次相遇的時(shí)間，根據(jù)（2）求出的速度，可得a=2000÷（200+ 50）=8分鐘，本段對(duì)應(yīng)的時(shí)間為0≤x≤8；

第2段（AG段中相遇后）：相遇后到小亮到甲地，這段時(shí)間是2分鐘，總時(shí)間是10分鐘，當(dāng)x=10時(shí)，s=2×（50+200）=500，本段對(duì)應(yīng)的時(shí)間是8≤x≤10；

第3段（GF段）：小亮到甲地后休息了14分鐘，總時(shí)間是24分鐘，相距的距離是小明走的路程，當(dāng)x= 24時(shí)，s=24×50=1200，本段對(duì)應(yīng)的時(shí)間是10≤x≤24；

第4段（FM段）：小亮到甲地休息完到追上小明，這時(shí)s=0，代入s=-150x+4800，可求得x=32，本段對(duì)應(yīng)的時(shí)間是24≤x≤32；

第5段（MC段）：這時(shí)s都為0，本段對(duì)應(yīng)的時(shí)間是32≤x≤40.

根據(jù)以上信息可描出相應(yīng)的點(diǎn)就可以補(bǔ)全圖象，如圖3.

圖3

點(diǎn)評(píng)：本題的難點(diǎn)就是過(guò)程比較復(fù)雜，解決問(wèn)題時(shí)首先將過(guò)程進(jìn)行分段，將每段與對(duì)應(yīng)的圖象結(jié)合起來(lái)，既要充分利用隱含在圖象中的信息，也要挖掘隱含在題目文字中的信息，特別是相關(guān)數(shù)量之間的關(guān)系.對(duì)于最后的補(bǔ)圖，關(guān)鍵是確定好段與段的“界點(diǎn)”的坐標(biāo).

例2（2015·金華）小慧和小聰沿圖4中的景區(qū)公路游覽.小慧乘坐車速為30km/h的電動(dòng)汽車，早上7：00從賓館出發(fā)，游玩后中午12：00回到賓館.小聰騎車從飛瀑出發(fā)前往賓館，速度為20km/h，途中遇見(jiàn)小慧時(shí)，小慧恰好游完一景點(diǎn)后乘車前往下一景點(diǎn).上午10：00小聰?shù)竭_(dá)賓館.圖5中的圖象分別表示兩人離賓館的路程s（km）與時(shí)間t（h）的函數(shù)關(guān)系.試結(jié)合圖中信息回答：

（1）小聰上午幾點(diǎn)鐘從飛瀑出發(fā)？

（2）試求線段AB、GH的交點(diǎn)B的坐標(biāo)，并說(shuō)明它的實(shí)際意義.

（3）如果小聰?shù)竭_(dá)賓館后，立即以30km/h的速度按原路返回，那么返回途中他幾點(diǎn)鐘遇見(jiàn)小慧？

圖4

圖5

分析：（1）求出小聰從飛瀑到賓館所用的時(shí)間即可求得小聰上午從飛瀑出發(fā)的時(shí)間.

（2）應(yīng)用待定系數(shù)法求出直線GH的函數(shù)表達(dá)式，即可由點(diǎn)B的縱坐標(biāo)求出橫坐標(biāo)而得點(diǎn)B的坐標(biāo)；點(diǎn)B的實(shí)際意義是：上午8∶30小慧與小聰在離賓館30km（即景點(diǎn)草甸）處第一次相遇.

（3）求出直線DF和小聰返回時(shí)s關(guān)于t的函數(shù)（HM），二者聯(lián)立即可求解.

解：（1）小聰騎車從飛瀑出發(fā)到賓館所用時(shí)間為50÷20=2.5（小時(shí)），

因?yàn)樯衔?0：00小聰?shù)竭_(dá)賓館，

故小聰上午7點(diǎn)30分從飛瀑出發(fā).

（2）3-2.5=0.5，

則點(diǎn)G的坐標(biāo)為（0.5，50）.

設(shè)GH的解析式為s=kt+b，

把G（0.5，50）、H（3，0）代入，

故s=-20t+60.

當(dāng)s=30時(shí)，t=1.5，

B點(diǎn)的坐標(biāo)為（1.5，30）.

點(diǎn)B的實(shí)際意義是：當(dāng)小慧出發(fā)1.5小時(shí)時(shí)，小慧與小聰相遇，且離賓館的路程為30km.

（3）設(shè)直線DF為s=k1t+b1，

因?yàn)樾』刍氐劫e館的速度是30km/h，所以k1=-30，

又該直線過(guò)點(diǎn)F（5，0），可得b1=150，

∴直線DF的函數(shù)表達(dá)式為s=-30t+150.

如圖6，HM為小聰返回時(shí)的函數(shù)圖象.設(shè)直線HM為s=k2t+b2，因?yàn)樾÷斏衔?0：00到達(dá)賓館后立即以30km/h的速度返回飛瀑，所以k2=30，該直線過(guò)點(diǎn)H（3，0），可得b2=-90，

圖6

故直線HM的函數(shù)表達(dá)式為s= 30t-90.

由-30t+150=30t-90解得t=4，對(duì)應(yīng)時(shí)刻7+4=11，

∴小聰返回途中上午11：00遇見(jiàn)小慧.

點(diǎn)評(píng)：解決問(wèn)題的關(guān)鍵是將每段圖象與實(shí)際情景對(duì)應(yīng)，將特殊點(diǎn)的坐標(biāo)與實(shí)際情景中的量對(duì)應(yīng)，利用數(shù)量之間的關(guān)系求出點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求出對(duì)應(yīng)的關(guān)系式，然后利用關(guān)系式求解.