基于擴展有限元法的齒根裂紋擴展規律

許德濤， 唐進元，周煒

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基于擴展有限元法的齒根裂紋擴展規律

許德濤， 唐進元，周煒

(中南大學 高性能復雜制造國家重點實驗室，湖南 長沙，410083)

探討基于擴展有限元法的齒輪裂紋擴展計算方法，開展齒根初始裂紋擴展規律研究。借助Abaqus軟件，分析齒根初始裂紋長度、方向和位置對裂紋擴展路徑的影響規律，并與傳統有限元法所得結果進行比較。研究結果表明：對于本文模型，齒根裂紋均為先朝深入輪緣的方向擴展，后朝向齒根位置擴展，總體呈現朝輪齒周向擴展至輪齒斷裂的趨勢；相對初始裂紋位置，其長度和方向對裂紋擴展路徑的影響較小，不同長度和不同方向的初始裂紋的擴展路徑沒有顯著差別；隨著初始裂紋位置向齒頂趨近，裂紋擴展路徑也整體向齒頂偏移；本文結果與傳統有限元法所得結果基本一致，但仿真效率大大提高，為齒輪疲勞裂紋擴展及疲勞壽命的高效分析和精確預測提供一種新途徑。

齒輪；裂紋擴展；擴展有限單元法(XFEM)；Abaqus

航空動力傳動系統的大部分故障源于齒輪失 效[1]，尤以齒輪彎曲疲勞斷裂最為常見[2]。由于裂紋擴展過程是疲勞斷裂失效的重要階段，開展齒輪裂紋擴展規律研究對于齒輪抗疲勞設計與安全監測具有重要意義。目前，國內外許多學者基于傳統有限元法對齒輪裂紋擴展規律進行了大量研究。LEWICKI等研究了輪緣厚度[3?4]、裂紋初始位置和齒輪幾何參數[5?8]對齒輪裂紋擴展的影響規律，并提出一種新型齒輪結構設計方案[9]來提高齒輪服役的可靠性；SPIEVAK等[10?11]則以更為復雜的螺旋錐齒輪為對象開展研究，得到有益結論；林騰蛟等[12]研究了載荷等對圓柱齒輪齒根裂紋擴展的影響，并對其進行了壽命預測；王延忠等[13]則借助FRANC3D軟件模擬了裂紋擴展過程，得到表面粗糙度和表面處理工藝對面齒輪疲勞壽命的定性影響規律。然而，傳統有限元方法模擬裂紋擴展時要求裂紋與單元邊界重合，在裂紋尖端需要劃分足夠精細的網格捕捉裂尖應力奇異性，并通過網格重劃分來更新裂紋，導致仿真效率十分受限，難以應對較為復雜的分析模型，這將不利于齒輪裂紋擴展研究的深入開展。針對傳統有限元方法的缺陷，BELYTSCHKO 等[14?15]提出了擴展有限元方法(XFEM)，XFEM用擴充的帶有不連續性質的形函數基來代表計算域內的間斷從而使裂紋獨立于網格擴展，為齒輪裂紋擴展研究提供了一種新方法。RAD等[16]基于XFEM編制程序對直、斜齒輪的裂紋擴展進行研究，并與PEHAN 等[17]的研究成果進行比較。借助商業軟件則可避免大量的程序開發工作并充分利用相關算法方面的優勢開展針對性強的研究工作，這方面的研究也處于起步階段，本文作者從這條途徑出發，借助Abaqus中的XFEM模塊[18?19]，對直齒輪齒根裂紋擴展進行仿真研究，并與傳統有限元法計算結果進行對比，驗證了本文工作的有效性，為齒輪傳動裂紋擴展的深入研究(比如裂紋擴展壽命的精確預測等)提供技術積累。

1 基于XFEM的裂紋擴展仿真原理

1.1 XFEM基本原理

傳統有限元法通過形函數和單元節點位移來描述位移場。

式中：為所有節點集合；()為形函數；為節點自由度。

XFEM通過在單元內構造具有不連續性質的擴充函數()和()[15]來模擬單元的位移不連續性和應力奇異性，其位移場表述為

式中：()和()為形函數；S和S分別為被()和()擴充的節點集合；和分別為被裂紋貫穿的單元和裂尖單元的節點附加自由度。不對節點進行擴充時，式(2)就退化成式(1)，因此XFEM是在傳統有限法之上發展起來的的一種新方法，更益于復雜的裂紋擴展計算。

1.2 Abaqus裂紋擴展模型

借助Abaqus中的XFEM模塊進行仿真計算，它利用基于牽引分離行為的黏性片段法[20]模擬裂紋擴展過程，包括以下3個部分：1) 損傷初始準則；2) 黏性片段方向準則；3) 損傷演化準則。

論文使用最大主應力準則作為損傷初始準則，黏性片段方向為垂直于最大主應力方向，損傷演化準則取為基于能量法的線性軟化，損傷演化表達式為

單元產生損傷后，單元剛度和裂紋面間的有效牽引力相應地退化成如下形式：

式中：0為單元無損傷時的剛度；′為單元無損傷時，裂紋面間的有效分離量對應的有效牽引力。

2 齒根裂紋擴展仿真

2.1 齒根裂紋擴展有限元模型

本文借用文獻[4]所述的齒輪材料與幾何模型，其主要幾何參數和材料參數如表1所示。圖1所示為本文齒根裂紋擴展的二維平面應力有限元模型。為提高仿真精度，對裂紋擴展的可能區域進行網格優化，單元類型為CPS4R和Tri，共5 592個單元，5 643個節點，載荷施加在單齒嚙合最高點，方向垂直于該處齒廓，邊界條件為內齒圈及邊界固定，采用靜態加載方式，單元最大主應力達到材料抗拉強度時開始產生損傷，損傷過程中耗散的能量達到6.46×10?5J/mm2(由應力強度因子門檻值轉換得到)時，單元完全失效。不考慮齒輪嚙合過程中的載荷幅值與方向變化[21]。

表1 齒輪幾何和材料參數

圖1 齒根裂紋擴展仿真有限元模型