RMI方法在線性代數(shù)中的應(yīng)用

張德全+劉靜靜

【摘 要】闡述RMI方法的思想與含義，對(duì)RMI方法在大學(xué)線性代數(shù)課程中九個(gè)方面的應(yīng)用進(jìn)行探索。

【關(guān)鍵詞】關(guān)系 映射 反演 RMI方法 線性代數(shù) 應(yīng)用

【中圖分類(lèi)號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2016）07C-0131-04

關(guān)系（Relationship）、映射（Mopping）、反演（Inversion）方法是1983年由徐利治教授首先提出來(lái)的，簡(jiǎn)稱(chēng)RMI方法。RMI方法不僅是處理數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種具有普遍意義的思想方法，也是一切工程技術(shù)或應(yīng)用科學(xué)部門(mén)中解決問(wèn)題的普遍方法或工作原則。這個(gè)方法提出伊始就得到了廣泛的重視和應(yīng)用，由于現(xiàn)行大學(xué)數(shù)學(xué)教材中沒(méi)有給出這個(gè)方法，本文首先簡(jiǎn)紹RMI方法，然后給出RMI方法在線性代數(shù)課程中的應(yīng)用，試圖幫助學(xué)生學(xué)好線性代數(shù)課程及大學(xué)數(shù)學(xué)課程的同時(shí)，使學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用RMI這一科學(xué)方法。

一、RMI方法的思想與含義

概括地講，RMI方法是指這樣一個(gè)解決問(wèn)題的過(guò)程；為了解決一個(gè)有困難的領(lǐng)域A中給定的問(wèn)題x，設(shè)法將其映射（變換）成另一個(gè)領(lǐng)域B中的問(wèn)題y，而y在領(lǐng)域B中則是易于解決的，當(dāng)問(wèn)題y解決之后，再映射（反演）回去，便得到領(lǐng)域A中給定問(wèn)題x的解。笛卡爾發(fā)明解析幾何可看作RMI方法的經(jīng)典例子。如圖1。

在數(shù)學(xué)中，RMI方法可描述為：在關(guān)系結(jié)構(gòu)系統(tǒng)A中欲研究問(wèn)題x，若存在較容易研究的關(guān)系結(jié)構(gòu)系統(tǒng)B，并且有雙射f，使B=f（A）、y=f（x），通過(guò)一定的數(shù)學(xué)方法，在B中把問(wèn)題研究清楚，再通過(guò)x=f -1（x），反演出x，較容易地解決了問(wèn)題x。如圖2。

二、RMI方法在大學(xué)線性代數(shù)課程中的應(yīng)用

RMI方法在數(shù)學(xué)中，有著極為廣泛的應(yīng)用。本文就RMI方法在大學(xué)線性代數(shù)課程中的應(yīng)用進(jìn)行一些探索。由于RMI方法屬于“化歸”方法的范疇，為了敘述方便，對(duì)于使用RMI方法解決的問(wèn)題，本文敘述為問(wèn)題的“轉(zhuǎn)化”解決。

（一）線性方程組的求解可轉(zhuǎn)化為矩陣的化簡(jiǎn)

用初等方法求解線性方程組，對(duì)于未知量以及方程個(gè)數(shù)較多時(shí)是困難的。建立可逆映射f，將線性方程組與它的增廣矩陣1-1對(duì)應(yīng)，利用矩陣的初等行變換對(duì)增廣矩陣進(jìn)行化簡(jiǎn)，使之化為行最簡(jiǎn)形矩陣，就可對(duì)應(yīng)得出原線性方程組的解。

例1 求解方程組。

（二）求矩陣的秩可轉(zhuǎn)化為求n維向量組的秩

按照矩陣的非零子式的最高階數(shù)求矩陣的秩，幾乎是一件不可能的事。建立可逆映射f，將矩陣Amn看成由矩陣Amn的m個(gè)行向量組成的向量組，利用向量組的初等變換不改變向量組的等價(jià)性，而等價(jià)向量組的秩相同?？蓪⑾蛄拷M△按行排成矩陣進(jìn)行矩陣的初等行變換，使之化為行階梯形，就可得到該矩陣A的秩和最高階數(shù)的非零子式。

例2 求矩陣 的秩和最高階非零子式。

（三）求一些方陣的n次方冪可轉(zhuǎn)化為與之相似的對(duì)角陣的計(jì)算

從以上可以看到RMI方法在線性代數(shù)課程教學(xué)中的作用和意義。作為數(shù)學(xué)教師，把RMI方法貫穿到高等數(shù)學(xué)的教學(xué)過(guò)程中去，教給學(xué)生RMI這一科學(xué)方法，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力是我們應(yīng)盡的職責(zé)。

【參考文獻(xiàn)】

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[5]張德全 耿秀榮.線性代數(shù)[M].沈陽(yáng)：東北大學(xué)出版社，2012

【基金項(xiàng)目】國(guó)家自然金數(shù)學(xué)天元基金（11326161）；河南省教育廳重點(diǎn)科學(xué)研究項(xiàng)目計(jì)劃（14A110011）

【作者簡(jiǎn)介】張德全（1959— ），男，河南漯河人，桂林航天工業(yè)學(xué)院教授，研究方向：組合數(shù)學(xué)；劉靜靜（1983— ），女，山東東營(yíng)人，鄭州輕工業(yè)學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院講師，博士，研究方向：非線性色散波方程。

（責(zé)編 何田田）