用生長代替重復
——《長方形和正方形的周長》的課例研究

浙江安吉縣實驗小學　　吳韻波

用生長代替重復
——《長方形和正方形的周長》的課例研究

浙江安吉縣實驗小學吳韻波

《長方形和正方形的周長》是三年級上冊的一節傳統計算課，與以往不同，最新審定版的教材在學習本節課之前，專門安排了整整兩節課來認識周長和了解長方形、正方形的特征。通過前面的學習，學生已經充分理解了周長的含義，對于“如何計算平面圖形的周長”也有了相應的感悟。那么，改版后的這節課目標定位又該如何？有了更充裕的教學時間，課堂中的我們應該關注些什么呢？針對這些困惑，我們備課組決定就這一教學內容進行一次課例研究。

【令人汗顏的第一次】

一、復習引入

1.師：什么是周長？說說怎樣的圖形有周長。

2.先指一指下面圖形的周長，再量一量，算出它們的周長各是多少。

二、長方形、正方形的周長公式探究

1.探究長方形周長公式

師出示右圖，讓學生先獨立計算這個長方形的周長，然后組內交流，最后全班交流。

全班展示時，學生共有4種方法：（1）6+4+6+4=20。（2）6+6+4+4=20。（3）6×2+4×2=20。（4）（6+4）×2=20。師讓學生擇優：這么多種方法你比較喜歡哪種方法？為什么？學生普遍喜歡前三種，只有兩個學生認為第四種比較優，理由是這樣做少算一步。

2.探究正方形周長公式

（出示正方形）這個正方形的周長你會算嗎？學生先動手量一量，算一算，再指名反饋。學生共有3種方法：（1）5+5+5+5=20。（2）5×2+5×2=20。（3）5×4=20。

師：這么多算法你喜歡哪種方法？學生大部分喜歡前兩種。

師：為什么？（生：這樣算比較簡便）

三、鞏固深化，解決實際問題

一塊長方形木板，長90分米，寬60分米。如圖截去一塊邊長為30分米的正方形。

（1）周長會變嗎？為什么？

（2）計算它的周長。

【前后測結果對比】

本次課例研究的前后測采用同一個班同樣兩組學生（共12人），前后測結果基本沒有變化，會的還是會，不會的還是不會。

【原因分析】

1.教師注重算法的教學，而忽略了周長意義的理解，更沒有意識到“周長”與“長方形、正方形的周長”的一般與特殊的關系，即沒有找對這節課的知識生長點。

2.本節課教師始終把目光聚焦在長方形、正方形周長公式的推導和優化上，雖然教師希望學生能更傾向于第四種算法，但這只是一廂情愿。課堂中喜歡第二種和第三種算法的學生占大多數。周長的本質就是連加求和，前三種方法思維水平低，比較容易理解，是學生眼中的好方法。而第四種方法思維水平高，內涵豐富，是在“加數相同，用乘法計算比較簡便”基礎上知識進一步發展的結果，是形式的簡化，因為難以理解，所以感受不到它的優越性，以致學生不喜歡，不愿意用。

【達成共識】

基于以上原因的分析，經過大家的共同商討，我們達成了這樣的共識：

1.計算長方形和正方形的周長只是計算周長的一個特例

求平面圖形的周長本質是連加求和，三角形就是三邊之和，四邊形就是四邊之和，五邊形就是五邊之和……即使是不規則圖形，只要將它一周的長度連加即可。任意圖形邊長沒有規律，所以只有連加一種計算方法。而有些特殊圖形的邊的長短是有規律的，如長方形、正方形、平行四邊形、正三角形、正五邊形等，它們可以有多種算法，當然也有屬于自己的特殊算法。本節課的學習就是從一般到特殊，從不規則到規則的過程。

2.長方形和正方形邊的長短特征是它們周長算法多樣化和優化的基礎

數學知識不是孤立存在的，每一種算法都有其存在的基礎和發展形態。長方形周長四種算法中第一、二種“四條邊相加”的方法是原始方法，能直接體現周長的意義。而第三、四種是在“四條邊相加”的基礎上發展起來的。因為正方形有“四邊相等”的特點，長方形有“對邊相等”的特點，因而帶來了數據和計算方法的特殊性。課堂中我們可以引導學生觀察發現長方形和正方形作為特殊四邊形它們到底特殊在哪里，再以“計算長方形和正方形的周長最少要量幾條邊的長度”為切入口，使學生經歷算法的發展過程，理解新算法產生的原因，溝通各算法之間的聯系，使學生知其然，并知其所以然。

【精彩紛呈的第二次】

環節一：增加求一般圖形的周長的方法小結

環節二：調換長方形和正方形周長的計算方法的探究過程

在比較擇優正方形周長的計算方法后質疑：為什么只知道一條邊就可以算出正方形的周長？小結板書：加數相同，用乘法計算比較簡便。

除了正方形，你還想到了哪些圖形也只要知道一條邊，就可以算出周長的？

怎么求？你有什么發現？

小結：每條邊長度都相等的圖形都可以用“邊長×邊數”算出它的周長。

環節三：（出示長方形如下圖），請算出它的周長

當學生舉足不前時質疑：不是只知道一條邊就可以算出周長嗎？

長方形與剛才那些圖形相比又有什么不同之處？

要計算長方形的周長最少需要測量出幾條邊的長度？為什么？

已經知道了長是79厘米，還需要知道什么？（出示：寬21厘米）

學生先獨立完成，再匯報結果，同時說明理由和想法，師利用課件相機一一演示。尤其是（79+21）×2，質疑：這種方法是先算什么？請用彩筆在圖中描出（79+ 21）。為什么還要×2呢？（師板書：長+寬×2這樣寫行嗎？）為什么？

這么多種方法你比較喜歡哪種方法？為什么？79 和21加起來剛好是多少？這樣先加起來有什么好處？

環節四：練習鞏固

1.出示長9厘米，寬3厘米的長方形，用自己喜歡的方法算一算它的周長。

①想象：如果寬不變，把長增加1厘米，那么周長會變嗎？怎么變？計算驗證猜測。

質疑：為什么長增加1厘米，而周長增加了2厘米呢？如果長不變，寬增加3厘米呢？

②拉動長方形變成長6厘米，寬6厘米的正方形，求出它的周長。

反饋后質疑：為什么可以用長方形的周長算法求正方形的周長呢？

③比較這個長9厘米，寬3厘米的長方形和邊長6厘米的正方形，說說你的發現？與它們周長一樣的長方形還有哪些？

2.一塊長方形木板，長90分米，寬60分米。如下左圖截去一塊邊長為30分米的正方形，

（1）周長會變嗎？為什么?

（2）計算它的周長。

（3）假如像這樣截去一個正方形（出示右圖），周長會變嗎？

環節五：拓展延伸

3.下面這個樓梯的圖形最少需要量出幾條邊才能算出它的周長？哪幾條？為什么？

量一量，移一移，算一算。

【課后反思】

前后兩節課，作為一個研究者，我坐在學生中間，靜靜地觀察著，記錄著，思考著。

1.理解算理先行，優化算法墊后

長期以來，長方形、正方形的周長采用“公式—例題—習題”的教學結構模式，是把重點放在周長公式的結果上，還是注重引導學生在測量具體圖形中探索周長的過程，則是兩種不同教育觀的反映。第二堂課把教學的側重點放在研究周長算法的策略上，從已知的一般四邊形周長“四條邊相加”入手，再到求相對于簡單些的四邊相等的正方形周長，根據“加數相同，用乘法計算比較簡便”的原則，可以很容易地優化并理解“正方形的周長=邊長×4”的算理。進而聯想到每條邊長度都相等的圖形都可以用“邊長×邊數”算出它的周長。避免了學生學習長方形和正方形的周長后，三角形的周長、多邊形的周長及簡單的不規則圖形的周長不知如何求的尷尬局面，為我們提供了概念教學的新方向。

對學生學習的難點——長方形的周長公式的理解，教師設置了以下幾步：（1）故意設置陷阱，只給出一條邊就讓學生計算它們的周長。學生在拿到問題后，往往會迫不及待地拿起筆想列式計算，然后卻發現沒有必要的數據，使學生更深刻地理解計算長方形與正方形的周長的不同之處，是由長方形邊的特征決定的，從而明白求長方形的周長必須知道長和寬。（2）給出寬的長度，讓學生自主探究長方形的周長算法。（3）教師配合學生的回答用多媒體課件動態演示其周長的拼接過程，幫助學生直觀地理解算法，進而明白其中的算理。（4）在多種方法并存的情況下，教師有意設計的求長79米、寬21米的長方形的周長，使學生體驗到先算長加寬的和能湊整，這樣計算起來非常方便，逐步實現在這種情境下算法的優化。

2.課堂要注重數學思想的滲透

在“有形”的數學知識中，必定蘊含著“無形”的數學思想方法。學生的數學思想形成過程是一個不斷滲透、循序漸進、由淺入深的過程。在這個過程中，需要我們教師做一個“過程”的加強者，不斷用我們的數學思想“敲打”學生的思維、讓學生在一次次的“敲打”過程中，不斷地積累、不斷地感悟、不斷地明朗，直到最后的主動應用。本堂課中可以滲透轉化和優化思想。在測量時，規則圖形沒必要把所有的邊全部測量，而是要根據圖形的特點，比如長方形、平行四邊形都有對邊相等的特性，只需要測量兩條相鄰的邊就行了，而對于正方形則只需要測量一條邊就行了，這樣測量與計算并重，大大提高了效率。最后的拓展題將不規則的形似樓梯的圖形通過線段的平移，轉化為長方形，巧算出周長，培養學生的轉化意識和空間觀念。

最后，用著名特級教師俞正強《種子課》中的一段話為我們這次課例研究作結：用生長代替重復，就是將數學知識植根于學生的經驗之中，這樣，學生的所有經驗就會支撐“種子的芽”進行生長。