穩(wěn)定性導(dǎo)數(shù)計算方法研究

張瑞民，時曉天

(中國航天空氣動力技術(shù)研究院 第二研究所，北京　100074)

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穩(wěn)定性導(dǎo)數(shù)計算方法研究

張瑞民，時曉天

(中國航天空氣動力技術(shù)研究院 第二研究所，北京100074)

穩(wěn)定性導(dǎo)數(shù)的準(zhǔn)確計算對于飛行器的操穩(wěn)特性具有重要意義。應(yīng)用計算流體力學(xué)(CFD)方法中的非結(jié)構(gòu)化動網(wǎng)格技術(shù)建立能夠模擬飛行器做周期性俯仰運動的強迫振蕩法，以國際動導(dǎo)數(shù)標(biāo)模Finner導(dǎo)彈為驗證算例，獲得不同馬赫數(shù)下俯仰力矩系數(shù)的遲滯環(huán)曲線，進而計算Finner導(dǎo)彈在不同馬赫數(shù)下的靜穩(wěn)定性導(dǎo)數(shù)和動穩(wěn)定性導(dǎo)數(shù)。結(jié)果表明：本文計算得到的俯仰靜穩(wěn)定性導(dǎo)數(shù)與試驗數(shù)據(jù)非常接近；在亞音速和超音速范圍內(nèi)，動穩(wěn)定性導(dǎo)數(shù)計算結(jié)果與試驗值很接近，但在跨音速范圍內(nèi)，本文計算結(jié)果與試驗曲線的規(guī)律性一致，但誤差較大。

穩(wěn)定性；導(dǎo)數(shù)；導(dǎo)彈；動網(wǎng)格；俯仰振蕩

0　引　言

現(xiàn)代飛機型號設(shè)計日趨復(fù)雜，飛行條件也越來越嚴(yán)酷，在高速、大攻角狀態(tài)下，對于帶翼的細長體飛行器而言，其阻尼導(dǎo)數(shù)對飛行器響應(yīng)具有強烈的影響[1-2]，有效、精確的性能評估對所有的型號工程系統(tǒng)設(shè)計都至關(guān)重要。通常，通過飛行測試來確定新型導(dǎo)彈的氣動性能，但現(xiàn)代型號的復(fù)雜性使得測試過程愈加復(fù)雜，且測試費用十分昂貴；有些型號甚至出現(xiàn)了極端的流場狀況，即使風(fēng)洞試驗也無法實現(xiàn)，而且風(fēng)洞試驗還存在著系統(tǒng)機構(gòu)阻尼、支架干擾、洞壁干擾及重心位置干擾等影響，使其無法滿足未來的工程型號需求。

CFD技術(shù)不僅消除了飛行測試和風(fēng)洞試驗所存在的物理條件限制，還在很大程度上節(jié)約了成本，避免了測試中的危險[3]。隨著計算機性能的大幅提高和非定常數(shù)值模擬技術(shù)的飛速發(fā)展，對于飛行器穩(wěn)定性導(dǎo)數(shù)的數(shù)值研究，國內(nèi)外已經(jīng)開展了大量工作。Zhang Weiwei等[4]采用高效的當(dāng)?shù)鼗钊碚搶Τ羲俸透叱羲傧碌臒o粘非定常壓力載荷進行了預(yù)測；盧學(xué)成等[5]將氣動力工程算法推廣到非定常氣動力計算中，求解了任意外形飛行器做強迫振蕩運動的非定常氣動力，并獲得了該飛行器的動導(dǎo)數(shù)；劉溢浪等[6]采用基于定常CFD技術(shù)的當(dāng)?shù)鼗钊碚摚l(fā)展了一種高效高精度的超音速、高超音速飛行器動導(dǎo)數(shù)的計算方法，并通過兩個國際標(biāo)準(zhǔn)算例進行了對比驗證；A.D.Ronch等[7-8]采用線性頻域的諧波平衡法預(yù)測了飛行器的周期性非定常流動特性，使計算效率獲得大幅提升；David Hassan等[9]采用時域諧波平衡法計算了超音速導(dǎo)彈和民航飛機的俯仰動導(dǎo)數(shù)；陳琦等[10]采用諧波平衡法預(yù)測了標(biāo)模導(dǎo)彈的動導(dǎo)數(shù)，其計算效率約為雙時間推進法的13倍，且在大攻角動態(tài)特性計算中取得了令人滿意的結(jié)果；Scott M.Murman[11-12]采用減縮頻率法計算了標(biāo)模導(dǎo)彈的俯仰動導(dǎo)數(shù)；袁先旭等[13]采用CFD方法研究了各種飛行器做俯仰振蕩運動的動態(tài)特性，并計算了靜、動態(tài)穩(wěn)定性導(dǎo)數(shù)；范晶晶等[14]采用CFD方法研究了NACA 0012翼型、彈道外形和有翼導(dǎo)彈做強迫俯仰振蕩的動態(tài)特性。但由于存在計算精度和效率等不足，對于穩(wěn)定性導(dǎo)數(shù)計算問題還需進行深入研究。

本文應(yīng)用CFD方法中的非結(jié)構(gòu)化動網(wǎng)格技術(shù)，模擬飛行器繞橫軸做俯仰振蕩的整個運動過程；并以國際動導(dǎo)數(shù)標(biāo)模Finner導(dǎo)彈為驗證算例，采用多種方法計算Finner導(dǎo)彈在不同馬赫數(shù)下的俯仰靜、動穩(wěn)定性導(dǎo)數(shù)，指出當(dāng)前工作中的進步與不足，以期為飛行器工程設(shè)計工作提供參考。

1　數(shù)值方法

1.1控制方程

流場計算采用有限體積法求解時均N-S方程，其積分表達式為

(1)

式中：Q、Fc和Fv分別為守恒變量、對流通量和粘性通量，它們的具體表達式詳見參考文獻[2]。

湍流模型采用TransitionSST模型，該模型是在SSTk-w的基礎(chǔ)上增加了有關(guān)間歇度γ和轉(zhuǎn)捩發(fā)生準(zhǔn)則的兩種輸運方程，其捕捉流場細節(jié)的精度更高。空間離散采用格心格式的有限體積法，時間離散采用隱式離散方法進行雙時間推進。

1.2動網(wǎng)格技術(shù)

動網(wǎng)格技術(shù)可以模擬流場邊界隨時間變化的問題。網(wǎng)格可根據(jù)每次迭代中邊界的變化情況自動完成其更新過程。

在任一控制單元中，廣義標(biāo)量Ф的積分守恒方程為

=∫?VΓΦdA+∫VSΦdV

(2)

式中：ρ為流體密度；u為速度流量；ug為移動網(wǎng)格的網(wǎng)格速度；Γ為擴散系數(shù)；SΦ為源項；?V為控制單元V的邊界；A為控制單元的面積。

1.3網(wǎng)格劃分與邊界條件

網(wǎng)格生成是流場計算的基礎(chǔ)，采用ICEM軟件對Finner導(dǎo)彈模型進行非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格劃分。為了避免邊界干擾，遠場邊界到彈體表面的距離設(shè)為彈長的20倍，彈體表面設(shè)為無滑移壁面邊界。對彈體附近網(wǎng)格進行局部加密以提高計算精度。

2　穩(wěn)定性導(dǎo)數(shù)計算

對于飛行物體，“穩(wěn)定性”是指其受到擾動之后返回平衡位置的趨勢。靜穩(wěn)定性系統(tǒng)不一定具有動穩(wěn)定性，但動穩(wěn)定性系統(tǒng)一定具有靜穩(wěn)定性。俯仰力矩是靜穩(wěn)定性導(dǎo)數(shù)和動穩(wěn)定性導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，本文主要討論俯仰靜、動穩(wěn)定性導(dǎo)數(shù)。

2.1理論分析

2.1.1靜穩(wěn)定性導(dǎo)數(shù)

俯仰靜穩(wěn)定性導(dǎo)數(shù)是當(dāng)攻角α發(fā)生變化時，由于飛行器受到的氣動力變化而引起的，也被稱為俯仰剛度。其表達式為

(3)

2.1.2動穩(wěn)定性導(dǎo)數(shù)

(4)

(5)

式中：q為俯仰角速度。

2.1.3俯仰力矩

飛行器作縱向俯仰運動時，若質(zhì)心速度不變，則在體軸系中的運動獨立變量只有攻角和俯仰角速度。假設(shè)基準(zhǔn)飛行狀態(tài)為對稱直線飛行，且振蕩幅度很小，計算中僅考慮一階動導(dǎo)數(shù)，忽略高階動導(dǎo)數(shù)，則將俯仰力矩在初始攻角處作泰勒展開，有

(6)

2.2公式推導(dǎo)

2.2.1靜穩(wěn)定性導(dǎo)數(shù)

(1) 差值法

(7)

(2) 直線法

畫出力矩系數(shù)隨攻角變化的遲滯環(huán)，找到遲滯環(huán)的最左側(cè)點(最小攻角)和最右側(cè)點(最大攻角)，連接這兩個點畫出一條直線，則該直線必定通過遲滯環(huán)的中心，該直線的斜率即為俯仰靜穩(wěn)定性系數(shù)，如圖1所示。

圖1　靜穩(wěn)定性系數(shù)示意圖Fig.1　Schematic diagram of static stability coefficient

(3) 最小二乘法

該方法將在動穩(wěn)定性導(dǎo)數(shù)計算方法介紹中詳細給出。

2.2.2動穩(wěn)定性導(dǎo)數(shù)

(1) 積分法

當(dāng)剛體飛行器做低頻小振幅的俯仰強迫振動時，其強迫振動模型的運動方程為

α=α0+αmsin(ωt)

(8)

式中：α0為初始攻角；αm為振蕩幅值；ω為振蕩圓頻率。

經(jīng)過簡化處理，其模型運動方程可表示為

(9)

將式(9)代入式(6)，合并同類項，可得

(10)

對式(10)沿遲滯環(huán)線積分相當(dāng)于求解非定常氣動力做功，即

(11)

由此可得

(12)

對式(12)進行無因次化，得到俯仰組合動導(dǎo)數(shù)系數(shù)的表達式為

(13)

式中：k為減縮頻率，k=ωd/2v。

(2) 最小二乘法

根據(jù)式(10)，俯仰力矩還可以表示為

Mz=A+Bsin(ωt)+Ccos(ωt)

(13)

式中：A、B、C為待定系數(shù)。

在完成非定常數(shù)值計算后，可得俯仰力矩系數(shù)隨時間變化的曲線，經(jīng)過無因次化和最小二乘擬合，可求出A、B、C，從而得到靜態(tài)俯仰力矩系數(shù)和俯仰力矩導(dǎo)數(shù)。具體表達式為

(14)

(3) 遲滯環(huán)法

畫出俯仰力矩系數(shù)隨攻角變化的遲滯環(huán)，如圖2所示，“+”表示上仰運動，“-”表示下俯運動。

圖2　動穩(wěn)定性系數(shù)示意圖Fig.2　Schematic diagram of dynamic stability coefficient

大多數(shù)導(dǎo)彈的俯仰力矩系數(shù)隨攻角的變化是準(zhǔn)定常的，且環(huán)線關(guān)于α0中心對稱。力和力矩的動穩(wěn)定性導(dǎo)數(shù)可以取導(dǎo)彈在俯仰振蕩過程中通過α0時的兩點數(shù)值來計算，其表達式為

(15)

3　算例與分析

3.1模型與網(wǎng)格

算例選取國際通用的動導(dǎo)數(shù)標(biāo)模Finner導(dǎo)彈[14]，其頭部為尖錐形，彈身為圓柱形，尾部帶有4個矩形翼，呈“+”形布局，F(xiàn)inner導(dǎo)彈外形示意圖如圖3所示。

圖3　導(dǎo)彈外形示意圖Fig.3　Schematic diagram of basic Finnermissile configuration

為了模擬俯仰振蕩運動，將計算網(wǎng)格劃分為兩個域——靜域和動域。在非定常計算過程中，模型和動域一起按照指定的形式做俯仰振蕩運動，其中，動域網(wǎng)格量為100萬，靜域網(wǎng)格量為320萬。Finner模型網(wǎng)格如圖4所示。

(a) 全局網(wǎng)格

(b) 局部網(wǎng)格 圖4　Finner模型網(wǎng)格Fig.4　Mesh of Finner model

3.2算例驗證

靜態(tài)計算是動態(tài)計算的前提，直接影響動態(tài)計算的數(shù)值結(jié)果。本文首先計算靜穩(wěn)定性導(dǎo)數(shù)，當(dāng)其達到收斂標(biāo)準(zhǔn)之后，再進行動態(tài)計算。具體計算工況如表1所示[15]。

表1　計算工況

3.2.1俯仰力矩系數(shù)遲滯曲線

馬赫數(shù)為1.8時，俯仰力矩系數(shù)分別隨攻角和振蕩時間變化的曲線如圖5所示。

(a) 俯仰力矩系數(shù)隨攻角變化曲線

(b) 俯仰力矩系數(shù)隨振蕩時間變化曲線 圖5　俯仰力矩系數(shù)遲滯曲線(Ma=1.8)Fig.5　Hysteresis curves of pitching momentcoefficient(Ma=1.8)

馬赫數(shù)為2.7時，俯仰力矩系數(shù)隨攻角和振蕩時間變化的曲線如圖6所示。

(a) 俯仰力矩系數(shù)隨攻角變化曲線

(b) 俯仰力矩系數(shù)隨振蕩時間變化曲線 圖6　俯仰力矩系數(shù)遲滯曲線(Ma=2.7)Fig.6　Hysteresis curves of pitching momentcoefficient(Ma=2.7)

從圖5～圖6可以看出：作為攻角的函數(shù)，俯仰力矩系數(shù)遲滯曲線以(α,CM)=(0,0)為圓心中心對稱；作為振蕩時間的函數(shù)，俯仰力矩系數(shù)曲線呈正弦波形式。本文計算結(jié)果與文獻[15]中Ma為0.9和4.5時的動態(tài)曲線趨勢一致，規(guī)律相符。

3.2.2靜導(dǎo)數(shù)結(jié)果

根據(jù)2.2.1節(jié)給出的靜穩(wěn)定性導(dǎo)數(shù)計算方法，求解俯仰力矩靜穩(wěn)定性導(dǎo)數(shù)，計算結(jié)果如表2所示。

表2　俯仰靜穩(wěn)定性導(dǎo)數(shù)(Ma=1.7)

從表2可以看出：采用差值法、直線法和最小二乘法計算出的俯仰靜穩(wěn)定性導(dǎo)數(shù)非常接近，在馬赫數(shù)為1.7時，與試驗值的誤差均小于1%，表明本文靜穩(wěn)定性導(dǎo)數(shù)的計算方法十分可靠。

直線法簡便直觀，故在后續(xù)的計算中，將采用該方法來計算俯仰靜穩(wěn)定性導(dǎo)數(shù)。

為了進一步驗證靜穩(wěn)定性導(dǎo)數(shù)計算結(jié)果的正確性，對亞/跨/超三音速下的俯仰靜穩(wěn)定性導(dǎo)數(shù)進行計算，如圖7所示。

圖7　Finner導(dǎo)彈的俯仰力矩靜穩(wěn)定性導(dǎo)數(shù)Fig.7　Pitching static stability derivative of Finner missile

從圖7可以看出：當(dāng)馬赫數(shù)等于1.1時，俯仰靜穩(wěn)定性導(dǎo)數(shù)達到最大值；當(dāng)馬赫數(shù)小于1.1時，隨著馬赫數(shù)的增加，俯仰靜穩(wěn)定性導(dǎo)數(shù)逐漸增大，且靜導(dǎo)數(shù)隨馬赫數(shù)的變化關(guān)系接近于線性；當(dāng)馬赫數(shù)大于1.1時，隨著馬赫數(shù)的增加，俯仰靜穩(wěn)定性導(dǎo)數(shù)逐漸減小，且趨勢變得緩和。與文獻[15]的結(jié)果相比，本文靜導(dǎo)數(shù)計算結(jié)果與試驗值非常接近。

3.2.3動導(dǎo)數(shù)結(jié)果

根據(jù)2.2.2節(jié)給出的動穩(wěn)定性導(dǎo)數(shù)計算方法，求解俯仰力矩動穩(wěn)定性導(dǎo)數(shù)，計算結(jié)果如表3所示。

表3　俯仰動穩(wěn)定性導(dǎo)數(shù)(Ma=1.83)

從表3可以看出：采用積分法、最小二乘法和遲滯環(huán)法計算出的俯仰動穩(wěn)定性導(dǎo)數(shù)非常接近，在馬赫數(shù)為1.83時，與試驗值的誤差均小于5.8%，表明本文動穩(wěn)定性導(dǎo)數(shù)的計算方法十分可靠。

為了進一步驗證動穩(wěn)定性導(dǎo)數(shù)計算結(jié)果的正確性，對亞/跨/超三音速下的俯仰動穩(wěn)定性導(dǎo)數(shù)進行計算，如圖8所示。

圖8　Finner導(dǎo)彈的俯仰力矩動穩(wěn)定性導(dǎo)數(shù)Fig.8　Pitching dynamic stability derivative ofFinner missile

從圖8可以看出：當(dāng)馬赫數(shù)小于0.9時，即在亞音速范圍內(nèi)，隨著馬赫數(shù)的增加，動穩(wěn)定性導(dǎo)數(shù)逐漸增大，曲線近似線性，且與文獻[15]相比，本文計算結(jié)果與試驗值更接近；當(dāng)馬赫數(shù)大于1.3時，即在超音速范圍內(nèi)，隨著馬赫數(shù)的增加，動穩(wěn)定性導(dǎo)數(shù)逐漸減小，且趨勢逐漸變得緩和，與文獻[15]相比，本文計算結(jié)果的規(guī)律性更好，與試驗值更接近；當(dāng)馬赫數(shù)介于0.9與1.3之間時，即在跨音速范圍內(nèi)，隨著馬赫數(shù)的增加，動穩(wěn)定性導(dǎo)數(shù)先減小后增大，與文獻[15]相比，本文計算結(jié)果與試驗曲線的規(guī)律性較一致，取得了較大進步，但數(shù)值誤差較大，主要原因可能是計算網(wǎng)格密度不夠，或者是當(dāng)前數(shù)值方法在計算跨音速時尚存在不足。

在跨音速范圍內(nèi)，本文對俯仰動穩(wěn)定性導(dǎo)數(shù)的計算結(jié)果與部分試驗值的對比如表4所示。

表4　跨音速范圍俯仰動穩(wěn)定性導(dǎo)數(shù)

從表4可以看出：當(dāng)馬赫數(shù)等于1.10時，本文數(shù)值計算結(jié)果與試驗值的誤差已達21%，主要原因可能是跨音速區(qū)域數(shù)值方法的計算能力不足，或者是試驗結(jié)果本身有誤。A.B.Vishal等[15]也對試驗值提出了質(zhì)疑，因此本文認(rèn)為，對于跨音速范圍內(nèi)的俯仰動穩(wěn)定性導(dǎo)數(shù)，應(yīng)同時開展風(fēng)洞試驗和數(shù)值計算來相互驗證。

4　結(jié)　論

(1) 計算得到的俯仰力矩系數(shù)分別隨攻角和振蕩時間變化的曲線與文獻[15]趨勢一致，且規(guī)律相符，證明了本文數(shù)值方法的正確性與合理性。

(2) 計算得到的俯仰靜穩(wěn)定性導(dǎo)數(shù)與試驗數(shù)據(jù)非常接近，表明本文關(guān)于靜導(dǎo)數(shù)的計算方法十分可靠。

(3) 在亞音速和超音速范圍內(nèi)，本文關(guān)于動穩(wěn)定性導(dǎo)數(shù)的計算結(jié)果與試驗值更接近，表明本文關(guān)于動導(dǎo)數(shù)的計算方法十分可靠；而在跨音速范圍內(nèi)，本文的計算結(jié)果與試驗曲線的規(guī)律性較一致，但數(shù)值誤差較大，主要原因可能是計算網(wǎng)格密度不夠，或者是當(dāng)前數(shù)值方法在計算跨音速時尚存在不足，也有可能是試驗結(jié)果本身有誤。

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(編輯：馬文靜)

Study of Calculating Stability Derivative

Zhang Ruimin， Shi Xiaotian

(The Second Research Institute, China Academy of Aerospace Aerodynamics, Beijing 100074, China)

It is of significant importance to calculate the stability derivative accurately for stability and control of an aircraft. Dynamic mesh technology in computational fluid dynamics(CFD) are used to simulate periodic pitching oscillation motion of Finner missile circling around a fixed axis. The hysteresis curve of pitching moment coefficient for the basic model Finner missile is obtained at different Mach number. The static and dynamic derivatives of the missile in different Mach numbers are computed. The results show that the static derivatives are close to test data very much, and so as the dynamic derivatives in subsonic and supersonic speed range. The results in transonic speed range is of a similar tendency to test data, but with a big error.

stability; derivative; missile; dynamic mesh; pitching oscillation

2016-04-06；

2016-05-18

時曉天,xxtshi@163.com

1674-8190(2016)03-355-07

V211.3

A

10.16615/j.cnki.1674-8190.2016.03.014

張瑞民(1980-)，男，博士，高級工程師。主要研究方向：非定?？諝鈩恿W(xué)、非線性飛行動力學(xué)、飛行器結(jié)冰模擬、動力學(xué)仿真等。

時曉天(1981-)，男，博士，高級工程師。主要研究方向：空氣動力學(xué)、計算流體力學(xué)。